第一作者 肖瑛 女，博士，副教授，1979年生

解相關(guān)EMD：消除模態(tài)混疊的新方法

肖瑛1,2， 殷福亮1

(1.大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部，遼寧大連116024； 2. 大連民族學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院，遼寧大連116600)

摘要：模態(tài)混疊是制約希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform，簡(jiǎn)稱(chēng)HHT)在工程上推廣應(yīng)用的一個(gè)主要難題，采用在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，簡(jiǎn)稱(chēng)EMD)過(guò)程中嵌入解相關(guān)操作有效解決了EMD過(guò)程中產(chǎn)生的模態(tài)混疊問(wèn)題。模態(tài)混疊的本質(zhì)是各本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，簡(jiǎn)稱(chēng)IMF)分量之間信息相互耦合，無(wú)法表征有意義的物理過(guò)程，因此可認(rèn)為模態(tài)混疊現(xiàn)象是由于IMF之間不完全正交導(dǎo)致。根據(jù)零均值隨機(jī)信號(hào)正交性與不相關(guān)具有等價(jià)關(guān)系，在EMD過(guò)程中嵌入解相關(guān)操作，可有效保證IMF之間的正交性，消除模態(tài)混疊。仿真信號(hào)處理結(jié)果證明了方法的有效性。

關(guān)鍵詞：經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；解相關(guān)；正交性；時(shí)頻分析

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(61201418);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助(DC12010218);遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(LJQ2013126)

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2014-02-25

中圖分類(lèi)號(hào):TN957.52文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Decorrelation EMD: a new method of eliminating mode mixing

XIAOYing1,2,YINFu-liang1(1. Faculty of Electronic Information and Electrical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2. College of Information and Communication Engineering, Dalian Nationality University, Dalian 116600, China)

Abstract:Mode mixing is one of difficulties of HHT in engineering applications. Here, a new method embedding a decorrelation operator into EMD process for solving mode mixing was proposed. The essence of mode mixing was mutual coupling of IMFs, it led to that a meaningful physical process could not be expressed with these IMFs, and it was considered that the mode mixing was due to that IMFs were not completely orthogonal. As the orthogonality and the non-correlation of a random process were equivalent, embedding a decorrelation operator into EMD process could improve the orthogonality of IMFs effectively and eliminate mode mixing. The simulation results showed the effectiveness of this method.

Key words: EMD; decorrelation; orthogonality; time-frequency analysis

希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)是1998年N.E Huang等提出的一種處理和分析非平穩(wěn)信號(hào)的新方法[1]，近年來(lái)在故障信號(hào)檢測(cè)、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、地震信號(hào)分析等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2]。但是到目前為止，理論基礎(chǔ)、端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊仍然是HHT方法沒(méi)有完全得到解決的問(wèn)題。在HHT的理論基礎(chǔ)研究上，鐘佑明等[3]做了大量的研究，初步為HHT提供了一個(gè)統(tǒng)一理論依據(jù)。端點(diǎn)效應(yīng)比較有效地方法包括[4]：鏡像閉合延拓法、極值點(diǎn)對(duì)稱(chēng)延拓法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。針對(duì)模態(tài)混疊問(wèn)題，Huang提出了篩選預(yù)設(shè)尺度(極值點(diǎn)間距離)上限的方法來(lái)抑制模態(tài)混疊問(wèn)題，但是并沒(méi)有給出詳細(xì)處理方法，Wu等[5]提出了集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)方法抑制模態(tài)混疊，對(duì)分解混有間斷事件的信號(hào)產(chǎn)生的模態(tài)混疊具有很好的抑制效果，但是對(duì)小頻率比混合信號(hào)產(chǎn)生的模態(tài)混疊效果不理想，同時(shí)為了使EEMD實(shí)現(xiàn)理想的分解結(jié)果，預(yù)先需要知道信號(hào)的信噪比。Ryan等[6]提出了掩膜信號(hào)法，通過(guò)對(duì)原始混合信號(hào)加減掩膜信號(hào)后分別利用EMD進(jìn)行分解，并將對(duì)應(yīng)IMF分量疊加的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)模態(tài)混疊的抑制，對(duì)于小頻率比混合信號(hào)進(jìn)行EMD分解產(chǎn)生的模態(tài)混疊具有很好的抑制效果，但是對(duì)于不同的混合信號(hào)，掩膜信號(hào)的幅度和頻率確定具有一定難度。陳建國(guó)等[7]提出了采用獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)方法進(jìn)行模態(tài)混疊抑制，湯寶平等[8]進(jìn)一步結(jié)合形態(tài)濾波降噪后進(jìn)行峭度最大化的ICA方法進(jìn)行模態(tài)混疊抑制，獨(dú)立分量分析可有效提高EMD分解得到的IMF分量之間的正交性，但是ICA具有幅度不確定性和順序不確定性，順序不確定性對(duì)于信號(hào)特征提取和時(shí)頻分析沒(méi)有影響，但是幅度不確定性往往限制對(duì)信號(hào)能量信息的分析判斷。高云超等[9]提出了差分運(yùn)算、累積求和結(jié)合的方法進(jìn)行模態(tài)混疊的抑制，通過(guò)差分運(yùn)算放大高頻分量引起的極值點(diǎn)，從而使得原本不滿(mǎn)足EMD將多分量信號(hào)分解為單分量信號(hào)的充分條件得到滿(mǎn)足，但是差分運(yùn)算和累積求和運(yùn)算本質(zhì)上等效于低通濾波和高通濾波，因此在差分運(yùn)算和積分運(yùn)算中存在丟失某些信息的可能性。EMD分解過(guò)程具有帶通濾波特性[10]，模態(tài)混疊產(chǎn)生的現(xiàn)象是分解得到的IMF分量之間的信息相互耦合，本質(zhì)上可歸結(jié)為IMF分量之間不完全正交。根據(jù)零均值隨機(jī)信號(hào)之間不相關(guān)和正交性等價(jià)原理，提出了一種在EMD過(guò)程中嵌入解相關(guān)運(yùn)算的改進(jìn)方法，對(duì)于實(shí)際中均值不為零的信號(hào)，通過(guò)去趨勢(shì)項(xiàng)和零均值化處理可以很容易滿(mǎn)足均值為零條件，而事實(shí)上振動(dòng)信號(hào)一般具有零均值特性。仿真結(jié)果證明解相關(guān)EMD(Decorrelation Empirical Mode Decomposition，DEMD)方法可以很好的保證IMF之間的正交性，達(dá)到抑制模態(tài)混疊的目的。

1HHT基本原理

HHT方法是Huang等在對(duì)瞬時(shí)頻率的概念進(jìn)行深入研究后提出的。HHT方法包括兩個(gè)主要組成部分：EMD和希爾伯特變換(Hilbert Transform，HT)，主要思想就是將復(fù)雜的多分量混合信號(hào)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單信號(hào)的合成形式。這些簡(jiǎn)單的信號(hào)稱(chēng)為IMF[11]，并且滿(mǎn)足條件：① 在整個(gè)數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)，極值點(diǎn)的數(shù)目與過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目相等或至多相差一個(gè)；② 在任意一點(diǎn)處，局部極大值點(diǎn)定義的包絡(luò)以及由局部極小值點(diǎn)定義的包絡(luò)的均值為0。在IMF定義基礎(chǔ)上，HHT給出了瞬時(shí)頻率合理的定義、物理意義和求法，建立了以瞬時(shí)頻率表征信號(hào)交變的基本量，以IMF為基本時(shí)域信號(hào)的時(shí)頻分析方法。對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行EMD可以表示為

(1)

式中：ci(t)為EMD得到的第i個(gè)IMF；rn(t)為分解余量，它表征了信號(hào)的平均趨勢(shì)，通常是一個(gè)單調(diào)函數(shù)或者是只有一個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)。

HHT分別對(duì)每一個(gè)IMF分量用HT進(jìn)行譜分析，對(duì)分解得到的IMF分量做HT可以得到

(2)

由此得到對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)

(3)

這樣，幅值函數(shù)為

(4)

對(duì)應(yīng)的相位函數(shù)為

(5)

進(jìn)一步根據(jù)瞬時(shí)頻率的定義可得

(6)

這樣，對(duì)信號(hào)x(t)做整體的HT變換，x(t)在時(shí)頻平面上就可以表示為

(7)

HHT借助于信號(hào)的IMF組合，幅值調(diào)制和頻率調(diào)制被清晰地分離開(kāi)來(lái)，跨越了Fourier變換僅對(duì)線(xiàn)性系統(tǒng)和平穩(wěn)信號(hào)有效的不足之處，使得HHT能夠成功地應(yīng)用于非線(xiàn)性系統(tǒng)和非平穩(wěn)信號(hào)的處理。式(7)的表示以時(shí)間t和瞬時(shí)頻率ωi(t)為自變量，信號(hào)的幅值為時(shí)間t和瞬時(shí)頻率ωi(t)的函數(shù)，這種幅值的時(shí)間-頻率分布被稱(chēng)為Hilbert譜(也稱(chēng)為HHT譜)[12]，記作H(ω,t)。

從HHT進(jìn)行時(shí)頻分析過(guò)程可知，信號(hào)x(t)正確分解為IMF是保證HHT有效的前提。而EMD的分解過(guò)程是一種基于數(shù)據(jù)極值包絡(luò)求均值曲線(xiàn)的一種局部自適應(yīng)分解方法，因此對(duì)于EMD的正交性問(wèn)題，Huang等認(rèn)為在實(shí)際意義上是存在的，因?yàn)槊總€(gè)IMF分量都是上次分解到剩余信號(hào)與其均值的差，這個(gè)IMF分量與均值曲線(xiàn)是局部正交的，因此

(8)

但是，Huang的論證也只能說(shuō)明IMF分量之間的正交性在實(shí)際物理意義上是滿(mǎn)足的，并沒(méi)有給出理論上的嚴(yán)格證明。并且這種正交關(guān)系并不一定嚴(yán)格成立，原因在于均值是通過(guò)包絡(luò)求得的，所以它并不是真實(shí)的均值，而且每一個(gè)IMF分量只是信號(hào)包絡(luò)均值的一部分。在這種情況下，EMD的能量泄露是不可避免的。對(duì)于EMD的全局正交性，HHT沒(méi)有給出嚴(yán)格的理論證明，但是局部能量泄露已經(jīng)可以說(shuō)明EMD全局正交性也是難以保證的。

2EMD的模態(tài)混疊現(xiàn)象

EMD作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的自適應(yīng)分解方法，目的是將復(fù)雜的非平穩(wěn)多分量信號(hào)分解為易于處理的具有內(nèi)蘊(yùn)物理意義的IMF。但是，在某些情況下，EMD往往得不到理想的分解結(jié)果，會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊。模態(tài)混疊現(xiàn)象是指同一IMF分量包含了不同的尺度分量，這直接導(dǎo)致混疊的IMF缺乏足夠的物理意義，致使后續(xù)的時(shí)頻分布混淆[13]。

產(chǎn)生模態(tài)混疊的原因主要有：① 信號(hào)中存在噪聲干擾，改變了信號(hào)原本的極值點(diǎn)分布；② 信號(hào)中含有間斷高頻弱信號(hào)的干擾；③ 混合信號(hào)中組合分量的頻率過(guò)于接近。對(duì)于混合信號(hào)中組合分量頻率接近產(chǎn)生的模態(tài)混疊問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]給出了多分量信號(hào)到單分量信號(hào)可用EMD分解的條件，稱(chēng)為AFDE(Almost Fully Decomposed by EMD)條件，即對(duì)于由兩個(gè)單分量構(gòu)成的多分量信號(hào)而言，EMD能給保證正確分解的條件是：(a)其中一個(gè)單分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率不小于另一個(gè)單分量信號(hào)瞬時(shí)頻率的2倍，即f1≥2f2；(b)兩個(gè)單分量信號(hào)瞬時(shí)頻率與幅度之積滿(mǎn)足a1f1≥a2f2，其中a1和a2分別表示兩個(gè)單分量信號(hào)的幅度。其中條件(a)是必要條件，聯(lián)合條件(a)和條件(b)就構(gòu)成了充分條件。當(dāng)上述條件不滿(mǎn)足的時(shí)候，即會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊。無(wú)論是由于什么原因產(chǎn)生的模態(tài)混疊，其現(xiàn)象表征就是同一IMF分量中包含了不同尺度信息，即某一IMF分量中包含了其他IMF分量中的內(nèi)容。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的本質(zhì)原因可以歸結(jié)為EMD分解不滿(mǎn)足全局正交性。

對(duì)于噪聲影響產(chǎn)生的模態(tài)混疊，可以在進(jìn)行EMD之前進(jìn)行降噪預(yù)處理，文中不作討論。這里只討論混合信號(hào)中組合分量信號(hào)不滿(mǎn)足AFDE條件和信號(hào)中存在間斷性高頻弱信號(hào)產(chǎn)生的模態(tài)混疊問(wèn)題。

仿真信號(hào)1：以仿真信號(hào)說(shuō)明EMD在不滿(mǎn)足AFDE條件時(shí)產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象，仿真信號(hào)1采用兩正弦信號(hào)疊加生成，采樣頻率fs=1 000 Hz，兩正弦信號(hào)的中心頻率分別為f1=50 Hz，f2=80 Hz。

圖1　仿真信號(hào)1的EMD結(jié)果 Fig.1 EMD results of simulation signal 1

(9)

顯然x(t)不滿(mǎn)足AFDE條件。圖1給出了仿真信號(hào)x(t)的EMD結(jié)果及其頻譜，兩個(gè)正弦信號(hào)疊加的合成信號(hào)經(jīng)EMD得到了C1～C4個(gè)IMF和一個(gè)殘余分量r，其中C3～C4并沒(méi)有實(shí)際物理意義，為虛假分量。而在分量C1中，尺度跨越了兩個(gè)正弦信號(hào)分量的頻率，在包含了f2=80 Hz的分量同時(shí)包含了部分f1=50 Hz的成分，產(chǎn)生了模態(tài)混疊。

仿真信號(hào)2：利用仿真信號(hào)說(shuō)明信號(hào)中含有間斷高頻弱信號(hào)的干擾時(shí)，EMD產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。仿真信號(hào)2利用正弦信號(hào)疊加生成，采樣頻率fs=1 000 Hz，兩正弦信號(hào)的中心頻率分別為：f1=10 Hz，f2=100 Hz，仿真信號(hào)如式(10)所示。圖2給出了仿真信號(hào)的EMD結(jié)果和對(duì)應(yīng)頻譜，EMD在混合信號(hào)中含有間斷高頻弱信號(hào)的情況下，無(wú)法正確分解，C1中包含了間歇性高頻弱信號(hào)和低頻正弦信號(hào)，C2的波形嚴(yán)重失真，產(chǎn)生了模態(tài)混疊。

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

(10)

式中:

(11)

圖2　仿真信號(hào)2的EMD結(jié)果 Fig.2 EMD results of simulation signal 2

3解相關(guān)EMD

EMD產(chǎn)生模態(tài)混疊的根本原因可以歸結(jié)為EMD過(guò)程不是嚴(yán)格正交分解，因此導(dǎo)致IMF之間信息相互耦合。尤其是在上述特殊情況下，這種非正交分解體現(xiàn)的尤為明顯。為此可認(rèn)為，保證IMF之間的正交性，是抑制模態(tài)混疊的一個(gè)有效方法。定義兩隨機(jī)變量x和y，其相關(guān)函數(shù)為

Cxy=E{(x-ηx)(y-ηy)}=

E{xy}-E{x}E{y}

(12)

式中：ηx=E{x}，ηy=E{y}，如果Cxy=0，則稱(chēng)x和y是不相關(guān)的。如果E{xy}=0，則稱(chēng)x和y是正交的。顯然，如果x和y是不相關(guān)的，并且有ηx=0，ηy=0，那么x和y是正交的，因此對(duì)于零均值隨機(jī)變量而言，不相關(guān)和正交具有等價(jià)性。對(duì)于EMD而言，待分析信號(hào)大部分滿(mǎn)足零均值特性，典型的如振動(dòng)信號(hào)、沖擊信號(hào)等，即使待分析信號(hào)的均值不為零，仍然可以通過(guò)中心化處理使之滿(mǎn)足零均值特性。因此保證IMF之間的正交性，可以通過(guò)解相關(guān)算法進(jìn)行處理。根據(jù)解相關(guān)算法定義相關(guān)系數(shù)為

(13)

顯然，ry(n)代表了x(n)中與y(n)相關(guān)的部分，如果從x(n)中減去這一部分，就得到了與y(n)不相關(guān)的部分，表示為：

v(n)=x(n)-ry(n)

(14)

(15)

對(duì)比式(13)和式(15)可知

(16)

因此，r只是歸一化相關(guān)系數(shù)rN的比例縮放，并不影響解相關(guān)方法的處理結(jié)果。

基于上述分析，我們?cè)O(shè)計(jì)一種解相關(guān)EMD方法，步驟如下：

步驟1：對(duì)待分析信號(hào)x(t)利用EMD得到M個(gè)IMFci(t)；

步驟4：重復(fù)步驟2和步驟3直到所有IMF分量間相關(guān)系數(shù)小于設(shè)定的閾值δ。

經(jīng)過(guò)在EMD過(guò)程中嵌入解相關(guān)算子，可以有效的保證分解得到的IMF分量之間的正交性，從而達(dá)到抑制模態(tài)混疊的目的。同理，該方法可以推廣應(yīng)用到EEMD過(guò)程中。

4仿真分析

對(duì)由式(9)和式(10)給出的仿真信號(hào)進(jìn)行處理，處理過(guò)程中設(shè)定相關(guān)系數(shù)閾值δ=0.001。處理結(jié)果分別如圖3和圖4所示。從圖3可知，通過(guò)在EMD過(guò)程中嵌入解相關(guān)算子，使得小頻率比混合信號(hào)EMD的模態(tài)混疊現(xiàn)象得到了有效抑制，并且分解未產(chǎn)生冗余分量。從圖4可知，在EEMD過(guò)程中嵌入解相關(guān)操作，進(jìn)一步提高了EEMD的分解性能，抑制模態(tài)混疊的同時(shí)沒(méi)有冗余分量的產(chǎn)生。為了進(jìn)一步說(shuō)明解相關(guān)EMD的性能，根據(jù)文獻(xiàn)[14]定義的標(biāo)準(zhǔn)均方誤差NMSE對(duì)算法性能進(jìn)行分析。

圖3　仿真信號(hào)1的DEMD結(jié)果 Fig.3 DEMD results of simulation signal 1

圖4　仿真信號(hào)2的DEEMD結(jié)果 Fig.4 DEEMD results of simulation signal 2

(17)

(18)

式中：fi(t)為與ci(t)對(duì)應(yīng)的混合信號(hào)中的單分量信號(hào)，仿真信號(hào)1和仿真信號(hào)2對(duì)應(yīng)的NMSE如表1所示。從表1中可以看出，解相關(guān)EMD(DEMD)具有更好的分解性能。

表1　NMSE比較結(jié)果

5結(jié)論

在分析EMD模態(tài)混疊現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，通過(guò)在EMD過(guò)程中嵌入解相關(guān)操作，保證了IMF分量之間的正交性，給出了一種抑制模態(tài)混疊的新方法。對(duì)小頻率比混合信號(hào)和間斷性高頻弱信號(hào)干擾的混合信號(hào)進(jìn)行了仿真處理，并對(duì)直接EMD，EEMD和DEMD的性能進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了解相關(guān)EMD方法的有效性。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Huang N E, Shen Z, LONG S R, et al. The empirical mode decomposition method and the Hilbert spectrum for non-stationary time series analysis [J]. Proceedings of the Royal Society A, 1998(454): 903-995.

[2] 賈春花. 希爾伯特-黃變換及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用研究[J]. 電力學(xué)報(bào), 2013, 28(2): 148-151.

JIA Chun-hua. Study of hilbert-huang transform and its applications in signal processing [J]. Journal of Electric Power, 2013, 28(2): 148-151.

[3] 鐘佑明, 秦樹(shù)人. 希爾伯特-黃變換的統(tǒng)一理論依據(jù)研究[J].振動(dòng)與沖擊, 2006, 25(3): 40-43.

ZHONG You-ming, QIN Shu-ren. Research on the uniform theoretical basis for hilbert-huang transform (HHT) [J]. Journal of Vibration and Shock, 2006, 25(3): 40-43.

[4] 杜陳艷, 張榆鋒, 楊平，等. 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解邊緣效應(yīng)抑制方法綜述[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào), 2009, 30(1): 55-60.

DU Chen-yan, ZHANG Yu-feng, YANG Ping, et al. Approaches for the end effect restraint of empirical mode decomposition algorithm [J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2009, 30(1): 55-60.

[5] Wu Z H, Huang N E. Ensemble empirical mode decomposition: a noise-assisted data analysis method [J]. Advances in Adaptive Data Analysis, 2009, 1(1): 1-41.

[6] Ryan D, James F K. The use of a masking signal to improve empirical mode decomposition [C]. International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP), IEEE, 2005:485-488.

[7] 陳建國(guó), 張志新, 郭正剛等. 獨(dú)立分量分析方法在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2009, 28(1): 109-111.

CHEN Jian-guo, ZHANG Zhi-xin, GUO Zheng-gang, et al. Application of independent component analysis in empirical mode decomposition [J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(1): 109-111.

[8] 湯寶平, 董紹江, 馬靖華. 基于獨(dú)立分量分析的EMD模態(tài)混疊消除方法研究[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào), 2012, 33(7): 1477-1482.

TANG Bao-ping, DONG Shao-jiang, MA Jing-hua. Study on the method for eliminating mode mixing of empirical mode decomposition based on independent component analysis [J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2012, 33(7): 1477-1482.

[9] 高云超, 桑恩方, 許繼友. 分離EMD中混疊模態(tài)的新方法[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 29(9): 963-966.

GAO Yun-chao, SANG En-fang, XU Ji-you. A new method for separating mixed modes in empirical mode decomposition [J].Journal of Harbin Engineering University, 2008, 29(9): 963-966.

[10] 孫世鈞, 李秀坤. 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解WVD方法的水下目標(biāo)特征提取[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 34(8):1-4.

SUN Shi-jun, LI Xiu-kun. Underwater target feature extraction using empirical mode decomposition and WVD method [J]. Journal of Harbin Engineering University, 2013, 34(8):1-4.

[11] 劉強(qiáng), 周瑞忠, 劉宇航. 基于HHT變換的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)與能量計(jì)算分析[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版, 2009, 42(6): 780-784.

LIU Qiang, ZHOU Rui-zhong, LIU Yu-hang. Computation and analysis of seismic response and energy based on hilbert-huang transform [J]. Journal of Wuhan University:Engineering, 2009, 42(6): 780-784.

[12] 公茂盛, 謝禮立. HHT方法在地震工程中的應(yīng)用之初步探索[J]. 世界地震工程, 2003, 19(3): 295-299.

GONG Mao-sheng, XIE Li-li. Discussion on the application of HHT method to earthquake engineering [J]. World Earthquake Engineering, 2003, 19(3): 295-299.

[13] 趙玲, 劉小峰, 秦樹(shù)人,等. 消除經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解中混疊現(xiàn)象的改進(jìn)掩膜信號(hào)法[J].振動(dòng)與沖擊, 2010, 29(9): 13-17.

ZHAO Ling, LIU Xiao-feng, QIN Shu-ren et al. Use of masking signal to improve empirical mode decomposition [J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(9): 13-17.

[14] 徐冠雷, 王孝通, 徐曉剛,等. 多分量到單分量可用EMD分解的條件及判據(jù)[J]. 自然科學(xué)進(jìn)展, 2006, 16(10): 1356-1360.

XU Guan-lei, WANG Xiao-tong, XU Xiao-gang et al. The conditions and criteria of multi-component decompose into single component by EMD[J]. Progress in Natural Science, 2006, 16(10): 1356-1360