第一作者吳錦武男，博士，教授，1976年9月生

分層有限元模型下層合板聲功率優(yōu)化設(shè)計(jì)

吳錦武，彭文輝，趙飛

(南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院，南昌330063)

摘要：基于遺傳算法對(duì)層合板結(jié)構(gòu)輻射聲功率最小化進(jìn)行鋪設(shè)角優(yōu)化；利用分層有限元模型求解層合板固有頻率及振速分布；通過聲輻射模態(tài)理論計(jì)算結(jié)構(gòu)輻射聲功率。以鋪設(shè)角作為設(shè)計(jì)變量、輻射聲功率作為優(yōu)化變量，分別以某4層、8層層合板結(jié)構(gòu)為例，研究不同頻率時(shí)聲功率最小化對(duì)應(yīng)的優(yōu)化鋪設(shè)角。數(shù)值分析結(jié)果表明，在同一優(yōu)化鋪設(shè)角下，優(yōu)化后第一階聲功率與輻射總聲功率差別不大；對(duì)相同層合板結(jié)構(gòu)而言，隨頻率增加聲功率優(yōu)化量增大；相同厚度下層合板鋪設(shè)層越多聲輻射功率優(yōu)化量越小。

關(guān)鍵詞：遺傳算法；聲功率；分層有限元；復(fù)合層合板

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)

收稿日期：2014-04-17修改稿收到日期：2014-08-14

中圖分類號(hào):TB332；TH113.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家973計(jì)劃資助(2011CB013405)；國(guó)家杰出青年科學(xué)基金資助(51125023)

Optimal design of acoustic power of laminated composite plate based on layer-wise FEM

WUJin-wu,PENGWen-hui,ZHAOFei(School of Aircraft Engineering, Nanchang HangKong University, Nanchang 330063, China)

Abstract:An optimization method to minimize the sound power of laminated composite plate based on genetic algorithm was presented. A layerwise finite element model was imposed to determine the natural frequencies and velocity distributions of laminated composite plates. Based on the theory of acoustic radiation mode, the radiated sound power was calculated. A four-layer and an eight-layer laminated plate were used as examples, the fiber orientation angles were taken as design variables and the minimization of sound power was chosen as design objective. The optimal orientation angles to achieve sound power minimization were discussed under different frequencies. The numerical simulations show that the first order sound power and the total sound power are basically identical under the same optimum orientation angle. For laminated composite plates with the same structure, the optimal amount of radiated sound power increases with the increase of vibration frequency. And for laminated composite plates, with the same thickness, the optimal amount of radiated sound power is smaller, the more the layer number of the plate.

Key words:genetic algorithm; sound power; layerwise finite element; laminated composite plates

復(fù)合材料因比強(qiáng)度大、比剛度高、性能可設(shè)計(jì)等特點(diǎn)廣泛用于航空航天、汽車、船舶等領(lǐng)域。復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)減震降噪優(yōu)化設(shè)計(jì)頗受關(guān)注[1-8]，其設(shè)計(jì)分析、鋪層優(yōu)化方法已成重要研究課題。

減振優(yōu)化設(shè)計(jì)，針對(duì)優(yōu)化層合板結(jié)構(gòu)鋪設(shè)角度主要分兩類：①若外激勵(lì)頻率不高，通過提高基頻可減少共振可能性，此時(shí)層合板結(jié)構(gòu)優(yōu)化以基頻最大化為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。羅志軍等[1]以第一階固有頻率最大化為目標(biāo)函數(shù)，以鋪層順序?yàn)樵O(shè)計(jì)變量，將遺傳算法與有限元軟件相結(jié)合，對(duì)層合板鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。為獲得層合板最大臨界屈曲載荷系數(shù)及最大固有基頻，唐文艷等[2]采用改進(jìn)的遺傳算法將鋪層角度作為離散變量對(duì)層合板鋪層順序優(yōu)化設(shè)計(jì)。晏飛等[3]利用遺傳算法針對(duì)復(fù)合材料層合板基頻、鋪設(shè)角度等優(yōu)化研究。②若外部激勵(lì)頻率過高，常用增大相鄰兩階固有頻率間隔減少產(chǎn)生共振的風(fēng)險(xiǎn)。Adali等[4]以最大基頻、最高頻率間隔為設(shè)計(jì)變量在自由振動(dòng)下確定對(duì)稱層合板最佳鋪層順序，但為節(jié)省計(jì)算時(shí)間，其將纖維鋪設(shè)方向限制于預(yù)選的4個(gè)不同角度。

聲優(yōu)化設(shè)計(jì)，以層合板受外激勵(lì)作用的聲輻射功率最小為設(shè)計(jì)變量，優(yōu)化復(fù)合材料鋪層順序[5-6]。陳爐云等[7]利用遺傳算法以聲輻射功率最小化為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)層合板鋪設(shè)層數(shù)、厚度及鋪層順序等進(jìn)行集成優(yōu)化設(shè)計(jì)。

以上研究一般基于等效單層板理論分析其動(dòng)力學(xué)特性。由于該單層板理論分析層合板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性時(shí)忽略板橫向剪切變形，會(huì)導(dǎo)致位移、應(yīng)力偏小、固有頻率偏高。本文擬通過分層理論結(jié)合有限元方法分析固有頻率，在考慮層合板結(jié)構(gòu)振動(dòng)前提下結(jié)合聲輻射模態(tài)理論，采用遺傳算法，以輻射聲功率最小化為目標(biāo)函數(shù)對(duì)復(fù)合材料層合板鋪設(shè)角度鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

基于分層理論沿板厚方向采用分層插值，層合板結(jié)構(gòu)物理模型見圖1。

圖1　層合板結(jié)構(gòu)坐標(biāo)圖 Fig.1 Laminated plate geometry and coordinate system

層合板結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)[9]可表示為

(1)

式中：U(x,y,z,t)，V(x,y,z,t)，W(x,y,z,t)分別為x,y,z方向位移；n為鋪設(shè)層數(shù)；2n+1為插值面數(shù)；ui(x,y,t)，vi(x,y,t)，wi(x,y,t)為第i個(gè)插值平面內(nèi)hj方向位移；Ψ1(z)為沿厚度方向離散化平面內(nèi)位移全局插值函數(shù),取值為

(2)

式中：zk為第k個(gè)插值層坐標(biāo)；φ1i,φ2i為沿厚度方

向離散化橫向位移全局插值函數(shù)，分別等于

(3)

(4)

式中：vi(x,y,t)為層合板第j個(gè)鋪設(shè)層厚度；wi(x,y,t)為板厚局部坐標(biāo)。

據(jù)有限元理論，采用四節(jié)點(diǎn)矩形單元，式(1)中ui(x,y,t),vi(x,y,t)，wi(x,y,t)可表示為

(5)

式中：m為有限元單元節(jié)點(diǎn)數(shù)；Nk(x,y)為形函數(shù)表達(dá)式；uk,vk,wk為有限元節(jié)點(diǎn)k處x,y,z坐標(biāo)；T(t)為時(shí)間函數(shù)。

將式(5)及節(jié)點(diǎn)形函數(shù)代入式(1)，得單元形函數(shù)矩陣N為

(6)

據(jù)彈性力學(xué)位移-應(yīng)變關(guān)系，單元應(yīng)變矩陣為

(7)

式中：

(8)

正交材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣為

[σ]=D[ε]

(9)

(10)

據(jù)有限元理論，層合板結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

(11)

式中：M為單元質(zhì)量矩陣；K為單元?jiǎng)偠染仃嚕?C為阻尼矩陣；F為單元等效節(jié)點(diǎn)力矩陣。

2結(jié)構(gòu)輻射聲功率

設(shè)振動(dòng)平板表面積S置于無窮大剛性障板上，以圓頻率ω向上半空間輻射聲。聲場(chǎng)介質(zhì)密度為ρ,聲速為c。振動(dòng)板表面分成J個(gè)等面積單元。設(shè)每個(gè)單元長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng)，其法向速度構(gòu)成速度向量為U(ω)。總聲功率W(ω)[10]可表示為

(12)

式中：上標(biāo)H為復(fù)數(shù)共軛轉(zhuǎn)置；R為阻抗矩陣；W1(ω)為第一階聲輻射模態(tài)對(duì)應(yīng)輻射聲功率。

由聲輻射模態(tài)理論[11]可知，低頻時(shí)板結(jié)構(gòu)前幾階聲輻射模態(tài)聲功率占總聲功率絕大部分，其中第一階聲功率W1(ω)占總輻射聲功率比重最大。本文以第一階輻射聲功率及總聲功率為目標(biāo)函數(shù)對(duì)鋪設(shè)角度進(jìn)行優(yōu)化，比較最優(yōu)值。

3遺傳算法

圖2　聲功率最小化遺傳算法計(jì)算流程圖 Fig.2 Genetic algorithm frame diagram of sound power minimization

諸多工程應(yīng)用中，層合板結(jié)構(gòu)纖維鋪設(shè)角度常局限于一定范圍內(nèi)，如0，30，45，90等，層合板鋪層順序優(yōu)化即成為離散變量?jī)?yōu)化問題， 且存在多個(gè)極值點(diǎn)，用傳統(tǒng)優(yōu)化求解方法較困難。較傳統(tǒng)優(yōu)化方法遺傳算法具有以決策變量編碼作為運(yùn)算對(duì)象，可處理規(guī)模較大問題；可進(jìn)行多點(diǎn)搜索，具有良好的全局搜索能力；直接以目標(biāo)函數(shù)值作為搜索信息，可用于不連續(xù)變量等優(yōu)點(diǎn)[12]。本文利用matlab遺傳算法工具箱[13]求解復(fù)合材料層合板鋪層順序優(yōu)化問題。用整數(shù)編碼方式對(duì)層合板鋪層角度編碼。編碼串中每個(gè)數(shù)字代表一個(gè)鋪層，稱為基因?；蛟诨虼系呐帕许樞虼韺雍习邃亴禹樞颍?層板[-30°/-60°/60°/30°]的對(duì)應(yīng)基因碼為2/1/5/4。標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法中操作包括選擇、交叉、變異等。引用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法操作方法產(chǎn)生新種群。優(yōu)化目標(biāo)分別為基頻、頻帶最大化頻率及聲功率最小化。遺傳算法流程見圖2。

4結(jié)構(gòu)-頻率優(yōu)化

為有效避免層合板結(jié)構(gòu)共振，研究結(jié)構(gòu)固有頻率。本文規(guī)定頻率參數(shù)Ω[14]為

(13)

(14)

式中：ν12，ν21為泊松比；E2為垂直于纖維方向彈性模量；h為層合板總厚度；D0不隨層合板鋪層角度變化。

針對(duì)層合板固有頻率，取最大相鄰階固有頻率間隔作為優(yōu)化變量。結(jié)構(gòu)-頻率優(yōu)化問題可寫成

(15)

式中：θk為第k層層合板纖維鋪設(shè)角度；Ωi為層合板第i階固有頻率對(duì)應(yīng)頻率參數(shù)。

由于遺傳算法只能求解目標(biāo)函數(shù)最小值問題，因此式(15)取Ωi+1([θ1/θ2/…/θn])-Ωi([θ1/θ2/…/θn])的相反數(shù)。

采用第一、二階無量綱固有頻率間隔Ω12作為優(yōu)化變量，定義鋪設(shè)角度鋪層順序?yàn)樵O(shè)計(jì)變量,鋪設(shè)角度選離散形式(-45°,0°,45°,90°),分別優(yōu)化4，8，12，16層對(duì)稱長(zhǎng)寬比為2的復(fù)合材料層合板鋪層順序；并與文獻(xiàn)[13]結(jié)果對(duì)比。層合板性能參數(shù)為：E1=138 GPa，E2=E3=8.96 GPa，G21=G23=G31=7.1 GPa，ν12=0.3，不考慮結(jié)構(gòu)阻尼。層合板鋪設(shè)角度為[θ1/θ2/…/θn]，θ1為最外層鋪設(shè)角度，θn為最內(nèi)層靠近對(duì)稱面一層鋪設(shè)角度，層合板每層厚度相同。采用前二階無量綱固有頻率間隔Ω12作為優(yōu)化變量時(shí)，優(yōu)化結(jié)果見表1。由表1看出，①隨相同厚度下層合板鋪設(shè)層數(shù)增加Ω12值呈增加趨勢(shì)；②相同鋪設(shè)層數(shù)下本文所得最優(yōu)解優(yōu)于文獻(xiàn)[14]，因該文獻(xiàn)為簡(jiǎn)便忽略層合板拉彎耦合作用，且為避免過多錯(cuò)誤施加額外彎曲剛度；而本文既未忽略層合板耦合剛度亦未施加額外彎曲剛度。

表1　長(zhǎng)寬比為2矩形層合板鋪設(shè)角度優(yōu)化結(jié)果

5結(jié)構(gòu)-聲輻射優(yōu)化

由式(11)知，通過改變層合板鋪層角度可改變結(jié)構(gòu)層合板表面的法向振速分布，從而影響其聲輻射功率。選聲輻射功率作為優(yōu)化變量，層合板結(jié)構(gòu)-聲輻射優(yōu)化模型數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(16)

式中：W(ωp)為激勵(lì)頻率等于ωp時(shí)層合板總聲輻射功率；f1為層合板基頻。

分別以4、8層復(fù)合材料層合板為例，層合板性能參數(shù)為：長(zhǎng)a=0.348 0 m，寬b=0.304 8 m，厚度h=0.002m，E1=181 GPa，E2=E3=10.3 GPa，G21=G23=G31=7.17 GPa，ν12=0.28，阻尼比=0.05；固定激勵(lì)頻率分別為低頻ωp=200 Hz，高頻ωp=500 Hz，激勵(lì)力為1 N，作用點(diǎn)位于板結(jié)構(gòu)中心，采用遺傳算法優(yōu)化層合板鋪層順序，初始角度分別為[0°]4、[0°]8。激勵(lì)頻率ωp=200 Hz，4、8層板鋪層順序優(yōu)化結(jié)果見表2、表3，對(duì)應(yīng)鋪層順序下4、8層鋪設(shè)層合板優(yōu)化輻射總聲功率級(jí)曲線對(duì)比見圖3、圖4。由兩表知，激勵(lì)力頻率200 Hz時(shí)，相同層數(shù)層合板結(jié)構(gòu)優(yōu)化后第一階聲輻射功率與總輻射功率基本相同。說明低頻時(shí)第一階聲功率占總聲功率絕大多數(shù)。由兩圖看出，激勵(lì)力頻率200 Hz時(shí)，4層復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)最優(yōu)角度為[0°/-45°/30°/90°]，結(jié)構(gòu)聲功率優(yōu)化前后降低量為1.9 dB；而8層層合板最優(yōu)角度為[90°2/-30°2/-15°/0°3]，聲功率降低量達(dá)1.1 dB。

表2　激勵(lì)頻率200 Hz四層板鋪層順序優(yōu)化結(jié)果

表3　激勵(lì)頻率200 Hz八層板鋪層順序優(yōu)化結(jié)果

圖3　四層層合板聲功率優(yōu)化結(jié)果(ω p=200 Hz) Fig.3 Optimum acoustic power of four layer plate (ω p=200 Hz)

圖4　八層層合板聲功率優(yōu)化結(jié)果(ω p=200 Hz) Fig.4 Optimum acoustic power of eight layer plate (ω p=200 Hz)

隨激勵(lì)力頻率增高，對(duì)應(yīng)激勵(lì)頻率ωp=500 Hz四、八層板鋪層順序優(yōu)化結(jié)果見表4、表5，ωp= 500 Hz對(duì)應(yīng)鋪層順序下4、8層鋪設(shè)層合板優(yōu)化總聲功率級(jí)曲線對(duì)比見圖5、圖6。由兩表可知，隨頻率增高，激勵(lì)力頻率為500 Hz時(shí)相同層數(shù)層合板結(jié)構(gòu)優(yōu)化后第一階聲輻射功率與總輻射功率差別不大，小于1.1 dB。因此優(yōu)化第一階聲功率與輻射總聲功率效果基本相同。由兩圖看出，激勵(lì)力頻率為500 Hz時(shí)4層層合板結(jié)構(gòu)最優(yōu)角度為[-30°/-15°/75°/45°]，聲功率優(yōu)化前后降低量為6.2 dB。8層層合板最優(yōu)角度為[90°2/0°2/90°2/0°/90°]，聲功率降低量達(dá)3.2 dB。

表4　激勵(lì)頻率500 Hz四層板鋪層順序優(yōu)化結(jié)果

表5　激勵(lì)頻率500 Hz八層板鋪層順序優(yōu)化結(jié)果

圖5　四層層合板聲功率優(yōu)化結(jié)果(ω p=500 Hz) Fig.5 Optimum acoustic power of four layer plate (ω p=500 Hz)

綜上所述，通過優(yōu)化鋪設(shè)角度，層合板結(jié)構(gòu)聲輻射功率優(yōu)化效果明顯，與復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)各向異性有關(guān)。同厚度的8層層合板不同激勵(lì)頻率下聲輻射功率級(jí)均小于4層層合板，因隨層數(shù)增加整個(gè)板結(jié)構(gòu)各項(xiàng)異性有所減弱。

圖6　八層層合板聲功率優(yōu)化結(jié)果(ω p=500 Hz) Fig.6 Optimum acoustic power of eight layer plate (ω p =500 Hz)

6結(jié)論

(1)基于分層有限元模型分析層合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，可有效避免復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振。

(2)據(jù)聲輻射模態(tài)理論，通過分層有限元模型可獲得層合板結(jié)構(gòu)聲功率。通過用遺傳算法分析層合板結(jié)構(gòu)第一階與總聲功率知，優(yōu)化第一階聲功率與總聲功率效果相當(dāng)。

(3)層合板結(jié)構(gòu)層數(shù)相同時(shí)，隨外激勵(lì)力頻率增加優(yōu)化效果提高；板越厚頻率越低，聲功率優(yōu)化效果越好。

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