第一作者葉宇旻女，碩士，工程師，1983年9月生

變分數(shù)階振子振動控制方法研究

葉宇旻1,周林根2,謝興博3

(1.中交第三航務(wù)工程勘察設(shè)計院有限公司，上海200032；2.上海東華建設(shè)管理有限公司，上海200032;3.中國人民解放軍理工大學野戰(zhàn)工程學院，南京210007)

摘要：針對含變分數(shù)階的無量綱振子振動方程，考慮變分數(shù)階微分算子表達式的復(fù)雜性，直接進行控制器設(shè)計不現(xiàn)實。通過分析位移時程曲線，采用截斷變分數(shù)階微分算子方式獲得較好擬合效果。提出變遺忘因子概念，使變分數(shù)階算子變?yōu)橛邢揠A次，用其進行控制器設(shè)計成為可能，并仿真實例驗證該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：變分數(shù)階；振動控制；變遺忘因子；截斷模態(tài)

基金項目：國家自然科學基金重點項目(U1134207)； 國家自然科學基金(51178160)

收稿日期：2014-05-14修改稿收到日期：2014-07-23

中圖分類號:TU311.3文獻標志碼：A

Active vibration control method for variable order oscillator

YEYu-min1,ZHOULin-gen2,XIEXing-bo3(1.CCCC Three Harbor Consultants Co. Ltd, Shanghai 200032, China；2. Shanghai Dong Hua Construction Management Co. Ltd, Shanghai 200032, China;3. College of Field Engineering, PLA University?of Science & Technology, Nanjing 210007, China)

Abstract:The dimensionless version of a model oscillator was studied, whose equation of motion is given. Due to the complication of the approximate expression of variable order(VO) differential operator, it is difficult to design directly the controller. Based on the analysis of the curve of displacement versus time, a truncation mode of VO differential operator was proposed. The concept of variable oblivion factor was introduced, meanwhile, an optimal controller was developed for the VO differential equation under study in order to reduce the dynamic responses.

Key words:VO; vibration control; variable oblivion factor; truncation mode

近年來有關(guān)分數(shù)階的研究日益增加，在流體力學、固體力學、流變、電磁、電化學、生物學等領(lǐng)域已證明分數(shù)階能更好反映系統(tǒng)的物理特性[1]。將分數(shù)階用于振動控制已顯出較好的控制效果[2]，如PID控制[3]等，但分數(shù)階求解較困難，即使周期荷載作用也不存在周期解[4]。目前研究多為常分數(shù)階，即階次為常數(shù)。當階次為函數(shù)表達式時則成為變分數(shù)階，更能反映系統(tǒng)的物理特性。變分數(shù)階概念由Coimbra等[5-6]提出，計算多采用濾波器近似處理。針對變分數(shù)階定義式，Chan等[7]比較FIR與IIR濾波器認為，分別需427及305項方可獲得較好計算精度。由此可見計算的復(fù)雜性。

振動控制常用黏彈性阻尼器，其階次函數(shù)主要有3種函數(shù)[8]，即x，1+x，(1+x2)/2。Balachandran等[9]基于Banach空間探討其可控性。Diaz等[10]提出忽略微分算子的最優(yōu)控制策略。Piotr等[11]為避開變階次項，提出無差拍控制策略。由于變分數(shù)階微分算子表達式含無窮項，直接進行控制器設(shè)計不可能。本文以文獻[8]的黏彈性振子系統(tǒng)為研究對象，對以上3種階次函數(shù)進行仿真發(fā)現(xiàn)，變分數(shù)階表達式主要成分為近計算點的微分算子，可采用有限項近似處理，進行控制器設(shè)計。其中，只有階次函數(shù)為(1+x2)/2時項數(shù)偏少，適合控制器設(shè)計。此類可模擬摩擦阻尼情況(本文研究的主要內(nèi)容)，其它兩類近似項偏多，若用較少項數(shù)進行控制器設(shè)計，效果不理想。

1模型描述

無量綱變黏彈性振子系統(tǒng)為

D2x(t)+c0Dq(x)x(t)+k0D0x(t)=F(t)

(1)

初始條件為

x(0)=0，D1x(0)=0

(2)

對不同黏彈性材料，變階次函數(shù)q(x)表達式不同，即x，1+x，(1+x2)/2。當q(x)=(1+x2)/2時可描述摩擦阻力，此時式(1)可改寫為

D2x(t)+c0D(1+x2)/2x(t)+k0D0x(t)=F(t)

(3)

式(3) 可用離散方式求解，簡記q(x)為q，有

(4)

(5)

振子離散方程為

xn+2=(Δt)2[F(tn)-

c0Dqxn-k0xn]+2xn+1-xn

(6)

2變分數(shù)階截斷模態(tài)

在時間間隔[0,tn]內(nèi)，令h=tn/N，則[tn=nh,n=0,1,…,N]。基于二階Runge-Kutta法可得Euler預(yù)測-校正公式為

(7)

通過仿真發(fā)現(xiàn)，當頻率處于0～1 300 Hz內(nèi)時，若阻尼較小位移時程曲線呈現(xiàn)經(jīng)一段時間波動后位移峰值近似平穩(wěn)特點；若阻尼較大會很快衰減為零，此時無需振動控制。分析式(4)發(fā)現(xiàn)，隨時間推移計算項數(shù)逐漸增加，為減少計算量借鑒遺忘因子概念，提出變遺忘因子概念，即遺忘因子為變量。截斷算法可表示為

(8)

式中：n1為遺忘因子，只保留與當前計算時刻前n1步，即n-n1=const。

考慮高阻尼系統(tǒng)無需進行控制器設(shè)計，故以小阻尼為例，令c0=0.3，k0=1，F(xiàn)(t)=0.5sin(2t)，取N=200，仿真結(jié)果見圖1實線；若以式(8)計算，取n-n1=30，仿真結(jié)果見圖1虛線。由圖1看出，5 s后仿真逼近效果較好。

圖1　完整及截斷模態(tài)位移時程曲線 Fig.1 The history curve of displacement versus time of the whole and oblivion modes

3振子控制策略

利用向前差分公式，一階導(dǎo)數(shù)可寫為

(9)

將式(9)代入式(8)，得

Dqxn≈bn+1xn+1+bnxn+…+bn1+1 xn1+1

(10)

取n-n1=30，令n=200，250，300，式(10)系數(shù)見表1。由表1看出，bi

表1　式(10)對于n=200，250，300時系數(shù)項

此時可利用靠近計算值處前n2項進行控制器設(shè)計，即

Dqxn≈bn+1xn+1+bnxn+…+

bn2+1xn2+1 ,(n2?n1)

(11)

將式(11)代入式(6)，得

xn+2+(h2c0bn+1-2)xn+1+(h2c0bn+h2k0+1)xn+

h2c0bn-1xn-1+…+h2c0bn2+1xn2+1 =h2F(tn)

(12)

將其變?yōu)殡x散狀態(tài)方程，即

(13)

式中：X為(n-n2+1)維狀態(tài)向量；A為(n-n2+1)維矩陣；B，C均為(n-n2+1)向量，均為變換矩陣。

本文以位移為控制對象，兼顧控制力，采用最優(yōu)控制策略，定義性能指標為

u(kh)Ru(kh)]

(14)

式中：Q為(n-n2+1)維正定權(quán)矩陣；R為正數(shù)。

通過極小化方程(14)，可得

u(k)=-KX(k)

(15)

K=[BTP(k+1)B+R]-1BTP(k+1)A

(16)

式中：P(k)滿足Riccati方程，即

P(k)=[A-BK]TP(k+1)[A-BK]+

(17)

(18)

本文提出調(diào)節(jié)系數(shù)概念，定義實際控制力為

u(k)=-βKX(k)

(19)

式中：β為正調(diào)節(jié)系數(shù)。

此時，式(7)最后兩項可重新寫為

(20)

D2xn+1=F(tn+1)-KX(n+1)-

c0Dq(xn+1)xn+1-k0D0xn+1

(21)

仍以上算例為例，取n=200，據(jù)式(11)前二項進行控制器設(shè)計，即

Dqxn≈bn+1xn+1+bnxn=4.2739xn+1+3.5266xn

(22)

式中：

權(quán)矩陣取Q=diag[1×1081×108]，R=0.2，則控制增益為K=[63.865 0-31.992 6]，取β=8，則u(k)=-8×(63.865 0xk+1-31.992 6xk)，控制效果見圖2(實、虛線分別為控制、未控制時響應(yīng))，無量綱控制力見圖3。

圖2　位移控制效果 Fig.2 Control result of displacement

圖3　控制力時程曲線 Fig 3 Dimensionless control force

有關(guān)調(diào)節(jié)系數(shù)β的選取，原則上以仿真效果為基礎(chǔ)進行調(diào)節(jié)，建議在0.1～100之間選取。

有關(guān)變分數(shù)階系統(tǒng)振動控制研究較少，主要因變分數(shù)階表達式具有漸近累加特點，項數(shù)不固定，會對控制器設(shè)計造成很大麻煩。

4結(jié)論

本文針對由二次函數(shù)表示的變分數(shù)階系統(tǒng)，提出基于位移時程擬合的模態(tài)截斷算法及調(diào)節(jié)系數(shù)概念。研究表明控制效果較好。需要說明的是，本文方法不太適合階次為x，1+x情況。

參考文獻

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