第一作者倪銘男，碩士生，1990年生

通信作者閆維明男，博士，教授，1960年生

簡(jiǎn)諧激勵(lì)下雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器基本特性研究

倪銘,閆維明,許維炳,王瑾

(北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)試驗(yàn)室，北京100124)

摘要：借鑒TMD和MTMD各自的優(yōu)缺點(diǎn)，結(jié)合土木工程結(jié)構(gòu)減震裝置的經(jīng)濟(jì)性和適用性，提出一種雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(DTMD)，建立了簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下單自由度DTMD控制體系(DTMD-SDOF)的運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)其動(dòng)力反應(yīng)放大系數(shù)，提出了針對(duì)DTMD的調(diào)優(yōu)策略及優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)，并通過(guò)相關(guān)算法獲得DTMD-SDOF系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化程序，并利用該程序得到了DTMD的最優(yōu)參數(shù)；具體分析了不同參數(shù)對(duì)DTMD共振峰值和調(diào)頻寬度的影響，并對(duì)阻尼器阻尼參數(shù)或受控結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生變化后DTMD的魯棒性進(jìn)行了評(píng)價(jià)；對(duì)DTMD與TMD、MTMD的有效性和魯棒性進(jìn)行了對(duì)比分析。理論與數(shù)值研究結(jié)果表明，DTMD的控制效果明顯優(yōu)于TMD和MTMD，并且對(duì)主結(jié)構(gòu)頻率的攝動(dòng)擁有更佳的魯棒性。事實(shí)證明，DTMD比TMD和MTMD更具工程適用性。

關(guān)鍵詞：雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(DTMD)；優(yōu)化設(shè)計(jì)；簡(jiǎn)諧激勵(lì)；有效性；魯棒性；振動(dòng)控制

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378039；91315301 - 03)

收稿日期：2014-04-23修改稿收到日期：2014-08-07

中圖分類號(hào):TU317+.1; TU352.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.035

Abstract:Based on advantages and disadvantages of tuned mass damper (TMD) and multi-tuned mass damper (MTMD) in civil engineering vibration control, considering the economic efficiency and the applicability of a vibration-reduction device for structures, a double-tuned mass damper (DTMD) was presented. The motion equation of a DTMD with SDOF system under simple-harmonic excitations was established. The dynamic magnification factor (DMF) expression of the DTMD-SDOF system was derived. An optimization strategy and an evaluation function to judge performances of DTMD were proposed. A parameter optimization program written with MATLAB was used to optimize DTMD. The effect of each parameter on the dynamic magnification factor was analyzed and the robustness of DTMD was evaluated. When the damping ratio of the damper and the natural frequency of the structure controlled were changed. Finally, the effectiveness and the robustness of DTMD were compared with those of TMD and MTMD. The theoretical and numerical results showed that the effectiveness of DTMD is much better than that of TMD and MTMD, and DTMD has the best robustness to the perturbation of the controlled structure frequency; so, DTMD is a very effective device of vibration control.

Fundamental characteristics of a double-tuned mass damper under simple-harmonical excitations

NIMing,YANWei-ming,XUWei-bing,WANGJin(Beijing Municipal Key Laboratory of Earthquake Engineering and Structural Retrofit, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Key words:double-tuned mass damper; optimization design; simple-harmonical excitations; effectiveness; robustness; vibration control

自從1909年Frahm首次提出被動(dòng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)后，利用吸振器控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)成為了一種常用的減振手段[1]。由于TMD能夠有效地減低結(jié)構(gòu)受到地震或風(fēng)荷載所引起的反應(yīng)，因此已有很多TMD被安裝在了各地的高聳建筑上，如美國(guó)紐約的Citicorp Center，波士頓的John Hancock Building，澳大利亞的悉尼塔等[2]。但是TMD存在著對(duì)主結(jié)構(gòu)固有頻率攝動(dòng)十分敏感的缺點(diǎn)，為了改善TMD的魯棒性，Xu等[3]提出了具有分布頻率的多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Multiple Tuned Mass Damper，MTMD)。此后，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了詳細(xì)的研究[6-14]。結(jié)果表明，MTMD的控制效果比TMD有較大的改善，且當(dāng)主結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生較小攝動(dòng)時(shí)，其魯棒性明顯優(yōu)于TMD。但MTMD的系統(tǒng)較復(fù)雜，維護(hù)困難；且當(dāng)主結(jié)構(gòu)固有頻率偏移較大時(shí)，MTMD的控制效果也會(huì)降低，魯棒性明顯下降，甚至比TMD還差。因此，本文擬對(duì)一種雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Doubly Tuned Mass Damper，DTMD)的數(shù)值優(yōu)化策略與方法、參數(shù)影響分析、有效性和魯棒性進(jìn)行系統(tǒng)的研究，并對(duì)DTMD、TMD和MTMD的有效性和魯棒性的優(yōu)劣進(jìn)行對(duì)比分析。

1DTMD理論模型及動(dòng)力方程推導(dǎo)

圖1　DTMD理論模型 Fig.1 Theoretical model of DTMD

DTMD是由兩個(gè)TMD上下串聯(lián)而成，當(dāng)主結(jié)構(gòu)為單自由度結(jié)構(gòu)時(shí)，DTMD與主結(jié)構(gòu)的理論模型如圖1，主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼分別為m0、k0和c0，下層TMD的為m1、k1和c1，上層TMD的為m2、k2和c2，地面加速度為ag。

由圖1的理論模型，可以建立DTMD的動(dòng)力方程如下

(1)

其中：x為位移分量，包含了主結(jié)構(gòu)的位移x0，以及下層和上層TMD的位移x1和x2，即

x=[x0,x1,x2]T

(2)

同理，質(zhì)量、阻尼、剛度和加速度矩陣如下

將相關(guān)參數(shù)代入式(1)，并對(duì)其進(jìn)行Laplace變換可得

(3)

為了將式(3)進(jìn)行化簡(jiǎn)，引入無(wú)量綱化參數(shù)質(zhì)量比、頻率比和阻尼比和頻率比γ，各參數(shù)表示如下

將上述無(wú)量綱參數(shù)代入式(3)整理后得

整理式(4)得

(5)

其中:

解方程組(5)得到結(jié)構(gòu)與子質(zhì)量的傳遞函數(shù)為

結(jié)構(gòu)位移放大系數(shù)

(6)

∴B11=ω2(-1+t0+t1),B12=B21=-ω2t1,

B22=ω2(-μ1+t1+t2),B23=B32=-ω2t2,

B33=ω2(-μ2+t2)

C=ω4[μ1μ2(t1-1)+μ1(t2-t1t2)+

μ2(t1+t2-t1t2)-t1t2]

(7)

D=ω6[μ1μ2(t0+t1-1)+μ1(t2-t0t2-t1t2)+

μ2(t1+t2-t0t1-t0t2-t1t2)-t1t2+t0t1t2]

式(7)即為DTMD控制下單自由度結(jié)構(gòu)的動(dòng)力放大系數(shù)。

2DTMD調(diào)優(yōu)策略及優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)

傳統(tǒng)的TMD調(diào)優(yōu)策略因主結(jié)構(gòu)阻尼的有無(wú)而不同：當(dāng)主結(jié)構(gòu)不存在阻尼時(shí)，無(wú)論TMD本身是否存在阻尼，TMD的最優(yōu)參數(shù)均可利用定點(diǎn)理論得到，具體方法是將動(dòng)力放大系數(shù)(DMF)-γ圖中的定點(diǎn)高度保持一致，并使之成為曲線上的極大值點(diǎn)；而當(dāng)主結(jié)構(gòu)有阻尼時(shí)，定點(diǎn)理論就不再適用了，這時(shí)只能利用數(shù)值方法通過(guò)優(yōu)化函數(shù)尋找TMD的最優(yōu)參數(shù)。常用的優(yōu)化函數(shù)[4]

Z=min.{max[DMF]}

(8)

對(duì)于TMD，要先找出不同的頻率比和阻尼比下的DMF最大值，再?gòu)闹姓业阶钚〉囊粋€(gè)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)即是最優(yōu)參數(shù)。需要指出的是，這種針對(duì)TMD的調(diào)優(yōu)策略用在DTMD上卻十分不便。因?yàn)門MD的尋優(yōu)對(duì)象只有子結(jié)構(gòu)的阻尼比和頻率比，但DTMD中卻有上下兩個(gè)TMD的相對(duì)質(zhì)量比μ′以及其各自的阻尼比(ζ1和ζ2)以及頻率比(λ1和λ2)，總共5個(gè)尋優(yōu)對(duì)象，在上面的優(yōu)化函數(shù)中難以體現(xiàn)。因此，針對(duì)DTMD多參數(shù)的特點(diǎn)，本文提出了一種基于峰值的調(diào)優(yōu)策略和優(yōu)化函數(shù)。

(9)

(10)

P=P1+P2

(11)

其中:式(9)為使各峰值之間相差最小的優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)，式(10)為使各峰值的均值最小的優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)，式(11)中的P值為兩函數(shù)之和，當(dāng)且僅當(dāng)P1和P2均為最小值時(shí)，即P為最小值時(shí)，此時(shí)DTMD的各參數(shù)為最優(yōu)參數(shù)。此時(shí)的P值，是與各峰值相關(guān)的一個(gè)變量，是衡量DTMD共振峰值和調(diào)頻寬度的重要參數(shù)。對(duì)于DTMD-SDOF系統(tǒng)，其位移放大系數(shù)響應(yīng)曲線具有3個(gè)共振峰值，即n=3。

利用這個(gè)優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)，作者通過(guò)MATLAB軟件編寫了DTMD系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化程序，并利用該程序探索得到了DTMD的最優(yōu)參數(shù)。

3DTMD基本參數(shù)分析

3.1DTMD調(diào)優(yōu)分析前提及最優(yōu)參數(shù)

不失一般性，在利用程序?qū)ふ褼TMD最優(yōu)參數(shù)之前，給定結(jié)構(gòu)阻尼比ζ0=0.02，DTMD總質(zhì)量比μ=0.05，定義上下兩TMD的相對(duì)質(zhì)量比μ′=μ2/μ1。綜合考慮分析耗時(shí)和優(yōu)化參數(shù)的實(shí)際可操作性，對(duì)參數(shù)尋優(yōu)的范圍進(jìn)行了限制，阻尼比的范圍限制在了0到0.3之間，頻率比的范圍在0.7到1.3之間。

在以上的分析前提下，利用程序探索得到了DTMD的全局最優(yōu)參數(shù)：

μ′=0.13,ζ1=0,ζ2=0.24,λ1=1.01,λ2=0.89

由此可以得到質(zhì)量比μ1=0.044 25、μ2=0.005 75，P=4.415 3，下文具體各參數(shù)的分析將以此全局最優(yōu)參數(shù)為參照點(diǎn)，比較某個(gè)參數(shù)固定后得到的條件最優(yōu)參數(shù)。值得指出的是，全局最優(yōu)參數(shù)是全部參數(shù)(μ′、ζ1、ζ2、λ1和λ2)都參與搜尋后得到的最優(yōu)參數(shù)，與之相對(duì)應(yīng)，條件最優(yōu)參數(shù)則是固定某個(gè)參數(shù)后搜尋到的最優(yōu)參數(shù)，所以條件最優(yōu)參數(shù)可能和全局最優(yōu)參數(shù)下得到某些結(jié)論相沖突，但并不是說(shuō)條件最優(yōu)參數(shù)就沒(méi)有意義，它可以描述某個(gè)參數(shù)對(duì)于DTMD系統(tǒng)的影響。

3.2下層TMD的阻尼比ζ1

在待優(yōu)化的5個(gè)參數(shù)中，下層TMD的阻尼比ζ1有其獨(dú)特的作用和特征，對(duì)DTMD的有效性有較大的影響。圖2給出了不同阻尼比和質(zhì)量比下主結(jié)構(gòu)P值隨ζ1變化的趨勢(shì)。

由圖2可知，在主結(jié)構(gòu)阻尼比分別為0、0.02、0.05和DTMD總質(zhì)量比分別為0.02、0.05的情況下，對(duì)用不同的ζ1，P值都隨著ζ1的減小而單調(diào)減小，并且都在ζ1=0的時(shí)候達(dá)到數(shù)值上的最小值，即ζ1=0時(shí)結(jié)構(gòu)的反應(yīng)最小。同時(shí)，六條曲線具有相同的單調(diào)性和變化趨勢(shì)，因此對(duì)于阻尼比和質(zhì)量比不同的受控結(jié)構(gòu)，ζ1的影響是一致的。

需要指出的是在某些特定的質(zhì)量比和阻尼比下，曲線的最小值會(huì)出現(xiàn)ζ1≠0處，即ζ1為一極小正數(shù)時(shí)P值最小。但與ζ1=0時(shí)相比，P值相差很小，故工程上仍可將ζ1=0當(dāng)作最優(yōu)參數(shù)。

可見(jiàn)，無(wú)論主結(jié)構(gòu)阻尼比和DTMD質(zhì)量比取何值，DTMD系統(tǒng)ζ1的全局最優(yōu)參數(shù)均為零，與TMD和MTMD相比，由于DTMD中TMD之間是串聯(lián)的，所以該特性無(wú)論是在TMD還是在MTMD上均沒(méi)有體現(xiàn)。

3.3上層TMD的阻尼比ζ2

ζ2對(duì)DTMD系統(tǒng)的影響見(jiàn)表1。表1中均為固定ζ2后程序找到的條件最優(yōu)參數(shù)，其中第六行為全局最優(yōu)參數(shù)。

由表1可以看到，隨著ζ2由0一直增加到0.4，其他參數(shù)(除了P值)也隨之一起單調(diào)變化，其中單調(diào)遞增的有μ′、λ1和μ2，單調(diào)遞減的有ζ1、μ1和λ2。ζ1的情況比較特殊，由于MATLAB程序中設(shè)置的步長(zhǎng)為0.03，所以可以看見(jiàn)在ζ2=0.2之后，ζ1的取值都為0，實(shí)際上，全局最優(yōu)參數(shù)那行ζ1的最優(yōu)參數(shù)已經(jīng)是0了，所以步長(zhǎng)對(duì)這里的影響不大；另外，可以看到表中存在ζ1不為0的最優(yōu)參數(shù)，這是因?yàn)楸碇兴械氖乔拔乃f(shuō)的條件最優(yōu)參數(shù)，故與上節(jié)的結(jié)論并無(wú)沖突。

表1　隨ζ 2變化的條件最優(yōu)參數(shù)

圖3展示了主結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)在不同的ζ2下隨頻率比γ變化的曲線，參數(shù)皆取自表1中的條件最優(yōu)參數(shù)。

圖2 ζ1變化趨勢(shì)圖Fig.2Trendsofζ1圖3 不同ζ2下的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線Fig.3Frequencyresponsecurvesofstructurefordifferentζ2圖4 不同μ'下的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線Fig.4Frequencyresponsecurvesofstructurefordifferentμ'

由圖3可以看到DTMD控制下單自由度結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)曲線明顯存在著次峰值，這是由單個(gè)TMD之間的共振產(chǎn)生的。在阻尼比為0.05時(shí)，三峰之間的落差最大，隨著阻尼比的增大，峰值與峰值之間趨于平緩；在阻尼比小于等于0.24時(shí)，動(dòng)力放大系數(shù)曲線擁有三個(gè)峰值，而在阻尼比大于0.24后，曲線變?yōu)閮煞?，這是因?yàn)樽枘岜仍龃蠛螅瑔蝹€(gè)TMD的反應(yīng)由于過(guò)大的阻尼比變得不明顯，TMD之間的共振受到了抑制，DTMD不能很好地耗散主結(jié)構(gòu)振動(dòng)的能量；而且雖然峰值之間趨于平緩，但峰值變得比全局最優(yōu)參數(shù)(ζ2=0.24)時(shí)更大，調(diào)頻寬度變小，控制效果變差。因此，DTMD中的ζ2與TMD、MTMD中的阻尼比的作用是一致的：當(dāng)阻尼比小于最優(yōu)值時(shí)，峰值之間的落差會(huì)隨著阻尼比的增大而減小，當(dāng)阻尼比大于最優(yōu)值時(shí)，峰值之間會(huì)趨于平緩，峰值會(huì)變大。

3.4上下TMD相對(duì)質(zhì)量比μ′

表2是固定μ′后得到的條件最優(yōu)參數(shù)。由表2可知，各參數(shù)也隨μ′的變化而單調(diào)變化，其中，ζ2和λ1隨μ′的增大而單調(diào)增大，ζ1和λ2隨μ′的增大而單調(diào)減小；由于μ′=μ2/μ1，所以μ′的增大實(shí)際上是上層TMD質(zhì)量比的增大和下層TMD質(zhì)量比的減小。由這個(gè)規(guī)律，可以知道上層TMD的質(zhì)量比是不宜過(guò)大的，因?yàn)槠渥顑?yōu)阻尼比也會(huì)隨之增大，當(dāng)μ′=0.3(即上層TMD質(zhì)量約為下層TMD的1/3)的時(shí)候，上層TMD的條件最優(yōu)阻尼比已經(jīng)達(dá)到了0.46，如此大的阻尼比在工程上是很難實(shí)現(xiàn)的。

表2　隨μ′變化的條件最優(yōu)參數(shù)表

圖4給出了主結(jié)構(gòu)的動(dòng)力放大系數(shù)在不同的μ′ 下的變化，參數(shù)皆取自表2中的條件最優(yōu)參數(shù)。

由圖4可知，當(dāng)μ′較小時(shí)，主峰值為最大值，且伴有次峰值存在；在μ′為全局最優(yōu)參數(shù)時(shí)，主峰值減小，峰值之間高度變得相差不多；當(dāng)μ′大于全局最優(yōu)參數(shù)后，主峰值消失，次峰值隨著μ′的增大而增大，調(diào)頻寬度減小。即較小的相對(duì)質(zhì)量比無(wú)法有效地降低主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，而過(guò)大的相對(duì)質(zhì)量比也會(huì)抑制TMD之間的共振，使得控制效果變差。因此，存在一個(gè)最優(yōu)的相對(duì)質(zhì)量比使得DTMD的有效性達(dá)到最優(yōu)。

3.5下層TMD的頻率比λ1

圖5是在不同λ1條件下程序探索得到的條件最優(yōu)參數(shù)所繪制的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線。

由圖5可知，在λ1小于全局最優(yōu)值時(shí)，隨著其逐漸增大，主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線由單峰轉(zhuǎn)化為三峰，峰值減小，調(diào)頻寬度增大，最終在全局最優(yōu)值處變?yōu)樽钇骄彽娜迩€；而在λ1大于全局最優(yōu)值后，三峰值變?yōu)閮煞逯担ǚ宀ü鹊母卟詈头逯狄搽S之變大，調(diào)頻寬度減小。λ1對(duì)曲線的共振峰值、調(diào)頻寬度以及TMD之間的共振均有一定的影響。因此，存在一個(gè)最優(yōu)的下層TMD頻率比λ1，讓TMD在受控頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生最優(yōu)的共振形式，使得DTMD共振峰值以及調(diào)頻寬度均為最佳。

3.6上層TMD的頻率比λ2

圖6是在不同λ2條件下程序探索得到的條件最優(yōu)參數(shù)所繪制的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線。

由圖6可以看到，λ2的作用與λ1相類似，主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線都經(jīng)歷了峰值減小至全局最優(yōu)值后再增大的過(guò)程；所不同的是，λ2在大于全局最優(yōu)值后，主結(jié)構(gòu)的反應(yīng)對(duì)其變化更為敏感，峰值明顯增大，波峰與波谷的差值也顯著增大，且明顯大于λ1變化的情況?？偨Y(jié)來(lái)說(shuō)，主結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)曲線在頻率比小于全局最優(yōu)值時(shí)對(duì)λ1的變化更敏感，在頻率比大于全局最優(yōu)值后對(duì)λ2的變化更敏感。

4DTMD魯棒性分析

4.1DTMD阻尼系數(shù)的變動(dòng)

TMD系統(tǒng)中的阻尼通常是由液壓阻尼和黏彈性阻尼材料提供的，但這些阻尼器容易受到使用環(huán)境的影響，使得阻尼系數(shù)發(fā)生變動(dòng)。為研究DTMD在阻尼系數(shù)變動(dòng)后的控制效果，以 DTMD全局最優(yōu)參數(shù)中的阻尼比為基準(zhǔn)等倍變化，比較在此情況下的DTMD控制效果。因?yàn)樽枘嵯禂?shù)與阻尼比成正比，所以阻尼比的變化就可以代表阻尼系數(shù)的變化。圖7是阻尼比變動(dòng)情況下的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線。由于在全局最優(yōu)參數(shù)中，下層TMD的阻尼比ζ1為零，故阻尼系數(shù)的等倍變化對(duì)其沒(méi)有影響，只能改變上層TMD的阻尼比ζ2。

圖5 不同λ1下的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線Fig.5Frequencyresponsecurvesofstructurefordifferentλ1圖6 不同λ2下的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線Fig.6Frequencyresponsecurvesofstructurefordifferentλ2圖7 阻尼比變動(dòng)情況下的主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線Fig.7FrequencyresponsecurvesofstructurefordifferentdampingratioofDTMD

由圖7可知，以原全局最優(yōu)參數(shù)的曲線為基準(zhǔn)，在阻尼比由0.6倍到1.8倍的變化范圍內(nèi)，DTMD的控制效果仍然處于可接受的程度，對(duì)主結(jié)構(gòu)的反應(yīng)并沒(méi)有過(guò)度的放大。另外，由圖7可以得到與前文一致的結(jié)論：當(dāng)上層TMD的阻尼比ζ2小于全局最優(yōu)阻尼比時(shí)，隨著ζ2的增大會(huì)減小主峰值；在大于全局最優(yōu)阻尼比后，隨著ζ2的增大會(huì)增大次峰值。

4.2主結(jié)構(gòu)頻率的變動(dòng)

傳統(tǒng)TMD魯棒性差主要體現(xiàn)在兩點(diǎn)，調(diào)頻寬度小，以及對(duì)主結(jié)構(gòu)參數(shù)變動(dòng)十分敏感，而無(wú)論是DTMD還是MTMD，與TMD相比，由于其固有頻率在主結(jié)構(gòu)的共振峰值附近分散開(kāi)來(lái)，因此即使主結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生改變后，多重TMD仍能發(fā)揮作用，從而緩解因固有頻率變動(dòng)帶來(lái)的控制效果的降低。一般來(lái)說(shuō)，固有頻率的變化相當(dāng)于剛度的變化，圖8是主結(jié)構(gòu)剛度成倍變化后的DTMD的控制效果。

由圖8可以看到，以原剛度曲線(即全局最優(yōu)參數(shù))為基準(zhǔn)，當(dāng)剛度衰減時(shí)，曲線峰值偏向左側(cè)；當(dāng)剛度增加時(shí)，曲線峰值偏向右側(cè)，這與MTMD在主結(jié)構(gòu)剛度變動(dòng)后的規(guī)律恰恰相反[3]。但無(wú)論剛度是衰減還是增加，都經(jīng)歷了由三峰逐漸變?yōu)閱畏澹逯翟黾?，調(diào)頻寬度減小的過(guò)程，而這個(gè)過(guò)程則是與MTMD相一致的。另外，在主結(jié)構(gòu)頻率攝動(dòng)方面，DTMD的魯棒性明顯優(yōu)于MTMD，具體將在后文進(jìn)行分析。

5DTMD與TMD、MTMD的性能比較

前文已經(jīng)分析了DTMD的各參數(shù)對(duì)DTMD控制效果的影響規(guī)律，本節(jié)將對(duì)三種吸振器的有效性及魯棒性進(jìn)行比較。比較對(duì)象中TMD和MTMD的主結(jié)構(gòu)與前文DTMD主結(jié)構(gòu)的基本動(dòng)力特性相同。TMD和MTMD的參數(shù)均為程序探索得到的全局最優(yōu)參數(shù)，其中TMD的參數(shù)為：質(zhì)量比為0.05，阻尼比為0.14，頻率比為0.963 5；MTMD為雙重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，即主結(jié)構(gòu)上有兩個(gè)并聯(lián)的質(zhì)量塊，且兩個(gè)質(zhì)量塊質(zhì)量相等，其參數(shù)為：?jiǎn)蝹€(gè)TMD質(zhì)量比為0.025，阻尼比為0.09和0.1，頻率比為0.87和1.0。前文已經(jīng)具體描述了TMD的調(diào)優(yōu)策略，MTMD調(diào)優(yōu)的方法與TMD是一致的，都是找出每個(gè)特定參數(shù)下DMF曲線的最大值，并從這些最大值中找到最小的一個(gè)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)即為MTMD的最優(yōu)參數(shù)。圖9是三種吸振器與原結(jié)構(gòu)的控制效果比較。

從圖9中可以看見(jiàn)，與原結(jié)構(gòu)相比，TMD將主結(jié)構(gòu)的共振峰值降低到了5.2左右，調(diào)頻寬度大約為0.16；MTMD相比TMD在共振峰值上略有降低，但調(diào)頻寬度卻大大提高到了0.24；DTMD在控制效果上又有提高，共振峰值相比TMD降低了15%，相比MTMD降低了10%，DTMD的調(diào)頻寬度大約為0.3，比TMD增大了87.5%，比MTMD增大了25%，DTMD的控制效果顯著。另外，調(diào)頻寬度的意義在于當(dāng)吸振器需要控制除主振型以外的振型時(shí)(特別是對(duì)于高柔結(jié)構(gòu))，更寬的調(diào)頻寬度能夠控制更多的振型，對(duì)結(jié)構(gòu)的適用性更好，魯棒性因此大大提高。

吸振器的魯棒性體現(xiàn)在經(jīng)過(guò)最優(yōu)化調(diào)諧后其控制效果在種種變化因素的作用下仍然能夠維持穩(wěn)定。圖10是主結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)最大值隨吸振器中單個(gè)TMD阻尼系數(shù)變化的曲線，變動(dòng)的基準(zhǔn)均為對(duì)應(yīng)吸振器的全局最優(yōu)參數(shù)，故1.0倍處的動(dòng)力放大系數(shù)最大值最小。

圖8 主結(jié)構(gòu)剛度變化后的響應(yīng)曲線Fig.8Frequencyresponsecurvesofstructurefordifferentstiffness圖9 三種吸振器與原結(jié)構(gòu)的控制效果比較Fig.9Frequencyresponsecurvesofstructureforthreedifferentmassdampers 圖10 三種吸振器阻尼系數(shù)變動(dòng)后的比較Fig.10Frequencyresponsecurvesofstructurechangewithdampingratioforthreedifferentmassdampers

從圖10可以看到，在全局范圍內(nèi)，MTMD動(dòng)力放大系數(shù)最大值都小于TMD，而DTMD在0.7～2.2倍的范圍內(nèi)是優(yōu)于MTMD的，在0.6倍以后的范圍內(nèi)是優(yōu)于TMD的。但是，在阻尼系數(shù)過(guò)小(小于0.6 倍)的情況下，DTMD的動(dòng)力放大系數(shù)最大值則略大于TMD和MTMD，也就是說(shuō)在此范圍內(nèi)DTMD比TMD和MTMD更容易受到阻尼系數(shù)便變動(dòng)的影響；而在阻尼系數(shù)大于最優(yōu)值時(shí)，就受到阻尼系數(shù)變動(dòng)的敏感性而言，DTMD優(yōu)于TMD，但比MTMD差。另外，與MTMD相同，如果把 DTMD的阻尼系數(shù)設(shè)定的比最優(yōu)值大一些，即使阻尼系數(shù)發(fā)生變化，動(dòng)力放大系數(shù)最大值的增加也可以得到抑制。

主結(jié)構(gòu)固有頻率的變化也是衡量吸振器魯棒性的重要因素。和前文一樣，本節(jié)利用主結(jié)構(gòu)剛度的變化來(lái)代替固有頻率的變化，圖11是三種吸振器作用下主結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)最大值隨主結(jié)構(gòu)剛度變化的曲線，圖中三種吸振器的參數(shù)都是相同基本動(dòng)力特性下的全局最優(yōu)參數(shù)。

圖11　三種吸振器在主結(jié)構(gòu)剛度變動(dòng)后的比較 Fig.11 Frequency response curves of structure change with stiffness for three different mass dampers

從圖11中可以看到，MTMD在結(jié)構(gòu)剛度變化幅度為-23%～+8%的范圍內(nèi)，其控制效果是優(yōu)于TMD的，而當(dāng)主結(jié)構(gòu)剛度變化超出這一范圍后，MTMD更容易受到主結(jié)構(gòu)頻率變化的影響，魯棒性雖有提高，但增加的不多。反觀DTMD，在結(jié)構(gòu)剛度變化幅度為-30%～13%內(nèi)是優(yōu)于TMD的，在結(jié)構(gòu)剛度變化幅度為-30%～17%內(nèi)則優(yōu)于MTMD，而且在最優(yōu)值的左側(cè)(剛度減小)，動(dòng)力放大系數(shù)最大值的變化較小，仍能維持很好的控制效果?？偨Y(jié)來(lái)說(shuō)，對(duì)主結(jié)構(gòu)頻率的攝動(dòng)而言，DTMD的魯棒性對(duì)比TMD和MTMD是有較明顯的優(yōu)勢(shì)的。

就魯棒性的兩個(gè)方面來(lái)說(shuō)，主結(jié)構(gòu)頻率的攝動(dòng)顯然更為重要，因?yàn)樽枘嵯禂?shù)是一個(gè)可以調(diào)節(jié)的參數(shù)，可以通過(guò)重新調(diào)試或者更換阻尼系數(shù)變動(dòng)的阻尼器來(lái)解決。相比之下，主結(jié)構(gòu)頻率本身就存在不便測(cè)量和控制的特點(diǎn)，而且一旦主結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生攝動(dòng)，工程上也沒(méi)有有效的方法可以解決這個(gè)問(wèn)題。因此可以認(rèn)為，DTMD的魯棒性比TMD和MTMD更好。

6結(jié)論

本文研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的DTMD的振動(dòng)控制原理，利用新的調(diào)優(yōu)策略和優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)對(duì)DTMD進(jìn)行了數(shù)值優(yōu)化，分析了各參數(shù)對(duì)DTMD共振峰值和調(diào)頻寬度的影響，分析了阻尼器阻尼系數(shù)和主結(jié)構(gòu)頻率變動(dòng)后DTMD的魯棒性，并對(duì)DTMD、TMD和MTMD的有效性和魯棒性進(jìn)行了對(duì)比分析。理論和數(shù)值研究結(jié)果表明：

(1)DTMD系統(tǒng)存在一個(gè)最優(yōu)的相對(duì)質(zhì)量比、阻尼比和頻率比使得結(jié)構(gòu)的反應(yīng)最小。其中，無(wú)論主結(jié)構(gòu)阻尼比和DTMD質(zhì)量比取何值，DTMD系統(tǒng)ζ1的全局最優(yōu)參數(shù)都是零。

(2)全局最優(yōu)參數(shù)條件下，DTMD的有效性比TMD和MTMD更優(yōu)。DTMD控制下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)系數(shù)最大值相比TMD和MTMD控制下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分別降低了15%和10%。DTMD的調(diào)頻寬度比TMD和MTMD分別增大了87.5%和25%，對(duì)高階陣型的控制效果大大增加。

(3)當(dāng)阻尼器的阻尼系數(shù)發(fā)生攝動(dòng)時(shí)，DTMD的魯棒性不如MTMD，但在大部分情況下優(yōu)于TMD；在更為重要的主結(jié)構(gòu)固有頻率攝動(dòng)方面，DTMD的魯棒性顯著優(yōu)于TMD和MTMD。

(4)綜合比較DTMD、TMD和MTMD的有效性、魯棒性和實(shí)用性，結(jié)果證明DTMD更具工程適用性。

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