靳建明，張智卿，吳章土，李西斌

(1.浙江樹人大學(xué)城建學(xué)院，杭州　310015; 2. 浙江農(nóng)林大學(xué)土木工程系，杭州　311300)

第一作者靳建明男，博士，副教授，1975年生

飽和土中管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性研究

靳建明1，張智卿1，吳章土1，李西斌2

(1.浙江樹人大學(xué)城建學(xué)院，杭州310015; 2. 浙江農(nóng)林大學(xué)土木工程系，杭州311300)

摘要：基于Biot提出的飽和多孔介質(zhì)的波動(dòng)方程，研究了均質(zhì)各向同性飽和土中端承管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題。首先對(duì)土層動(dòng)力平衡方程進(jìn)行求解并得到土體扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移形式解，然后對(duì)管樁的動(dòng)力平衡方程進(jìn)行求解，得到了管樁樁頂轉(zhuǎn)角解析解，進(jìn)一步通過數(shù)值算例分析了樁周土與樁芯土的物理力學(xué)參數(shù)對(duì)管樁樁頂復(fù)剛度和樁身轉(zhuǎn)角的影響。數(shù)值分析結(jié)果表明，在動(dòng)力基礎(chǔ)設(shè)計(jì)所關(guān)注的低頻段，樁周土與樁芯土的剪切模量比、壁厚以及樁的長(zhǎng)徑比對(duì)管樁的動(dòng)力響應(yīng)有較大的影響，而液固耦合系數(shù)的影響很小。

關(guān)鍵詞：管樁；飽和土；樁土相互作用；扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；轉(zhuǎn)角

基金項(xiàng)目：浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY12D02001)；浙江省“十二五”重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目([2012]80-291)

收稿日期：2014-03-28修改稿收到日期：2014-05-20

中圖分類號(hào):TU47

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.010

Abstract:Based on Biot’s dynamic wave equation for porous-saturated soil, torsional vibration of an end-supported pipe pile embedded in homogeneously isotropic saturated soil and subjected to a transient torsional loading was theoretically investigated. Firstly, the torsional vibration displacement form solution of the saturated soil was solved with the dynamic equations of soil layer. Then, by utilizing the continuity and boundary conditions of the pile-soil system and solving the dynamic equation of the pipe pile, the dynamic response of the twist angle of the pipe pile was obtained in a closed form. Finally, the influences of major soil parameters on the complex stiffness of the pile top and the twist angle of the pipe pile were analyzed. It was shown that in the low-frequency range focused by dynamic foundation design, the modulus ratio of soil around pile to inner soil, the thickness and the slenderness of pipe pile have distinct influences on the dynamic response of the pile; but the influence of the liquid-soild coupled coefficient can be neglected.

Torsional vibration of a pipe pile embedded in a porous-saturated soil

JINJian-ming1,ZHANGZhi-qing1,WUZhang-tu1,LIXi-bin2(1. Urban Planning College, Zhejiang Shuren University, Hangzhou 310015, China;2. Civil Engineering Department, Zhejiang Agriculture and Forestry University, Hangzhou 311300, China)

Key words:pipe pile; saturated soil; pile-soil interaction; torsional vibration; twist angle

樁基振動(dòng)理論方面的研究開展于20世紀(jì)70年代。30年來樁基振動(dòng)理論已經(jīng)取得了豐碩的成果，尤其在實(shí)芯樁的振動(dòng)理論方面的研究。在樁基的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)理論研究方面，Novak等[1]將平面應(yīng)變土模型應(yīng)用于動(dòng)力扭轉(zhuǎn)荷載作用下埋置剛性基礎(chǔ)振動(dòng)特性的研究之中，給出了土扭轉(zhuǎn)阻抗的解析表達(dá)式，并用解析的方法研究了彈性半空間以及下臥層為基巖的彈性土體中埋置剛性基礎(chǔ)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性。之后，Rajapakse等[2-6]較細(xì)致地研究了扭轉(zhuǎn)荷載作用下彈性介質(zhì)中埋置彈性圓樁的動(dòng)力響應(yīng)問題。

然而以上這些理論均是研究實(shí)芯樁的振動(dòng)特性問題，隨著管樁生產(chǎn)、施工等技術(shù)的發(fā)展，管樁以其施工方便、承載力高、質(zhì)量可靠、較為經(jīng)濟(jì)等優(yōu)點(diǎn)在各種建筑基礎(chǔ)中得到廣泛的應(yīng)用。急需對(duì)管樁的振動(dòng)特性作進(jìn)一步的分析研究，而現(xiàn)有的文獻(xiàn)報(bào)道關(guān)于這方面的研究較少。基于“徑向不變假定”，劉漢龍[7]推導(dǎo)得到了管樁振動(dòng)響應(yīng)時(shí)域解，但沒有考慮物理量沿徑向的變化，在理論上不夠嚴(yán)格?；谌S波動(dòng)方程，將樁周土、樁芯土和樁底土對(duì)樁的作用簡(jiǎn)化為文克爾彈簧，丁選明[8]通過理論推導(dǎo)求得了大直徑管樁的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)域解析表達(dá)式。基于平面應(yīng)變假定，劉林超[9]在多孔介質(zhì)理論的基礎(chǔ)上研究飽和土中端承管樁的縱向振動(dòng)問題。鄭長(zhǎng)杰[10]考慮土體材料的黏性阻尼和樁-土扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)，建立了軸對(duì)稱均勻黏彈性地基中PCC 樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的定解問題，并運(yùn)用Laplace變換的方法求得了頻域解析解，但沒有考慮土的多孔介質(zhì)屬性。因此，本文基于Biot提出的動(dòng)力固結(jié)理論，研究了諧和激振荷載作用下均質(zhì)各向同性飽和土中端承管樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性，這不僅在理論上有較高價(jià)值，而且對(duì)工程實(shí)踐也有一定指導(dǎo)作用。

1樁土耦合扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題的數(shù)學(xué)模型

1.1樁土系統(tǒng)動(dòng)力平衡方程

本文研究的是均質(zhì)各向同性飽和土層中，樁頂受諧和激振扭矩作用時(shí)，樁底為剛性支承條件下，管樁與飽和土層的耦合扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題。計(jì)算簡(jiǎn)圖見圖1，土層厚度為H，樁長(zhǎng)為H，管樁的內(nèi)外徑分別為r2和r1(下文均以下標(biāo)1表示樁周土的物理力學(xué)參數(shù)或反應(yīng)量，以下標(biāo)2表示樁芯土的物理力學(xué)參數(shù)或反應(yīng)量)，樁頂作用有諧和激振扭矩T(t)=T0eiωt。為了便于推導(dǎo)，本文假定下列條件成立：

(1)樁周土與樁芯土均為飽和均質(zhì)、各向同性線性彈性體，土層底部均為剛性支承邊界；

(2)土層上表面為自由邊界，無(wú)正應(yīng)力、剪應(yīng)力；

(3)樁土體系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，樁周土及樁芯土均只發(fā)生切向位移，而水平徑向及縱向位移可忽略；樁土體系振動(dòng)為小變形諧和振動(dòng)，樁與周圍土體完全連續(xù)接觸，即樁土接觸界面兩側(cè)位移、力連續(xù)；

(4)樁為彈性、垂直、均勻截面管樁；

(5)樁周土與樁芯土對(duì)樁身單位面積的環(huán)向切應(yīng)力分別為f1(z, t)和f2(z, t)。

圖1　樁土動(dòng)力相互作用計(jì)算模型Fig.1 Computational model of pile-soil dynamic interaction

根據(jù)Biot提出的動(dòng)力固結(jié)理論，忽略土顆粒的壓縮性，并假設(shè)流體粘滯性包含在動(dòng)力滲透系數(shù)中，令土體中任一點(diǎn)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固相環(huán)向位移為uθ(r,z,t)及液相相對(duì)于固相的環(huán)向位移為wθ(r,z,t)，土體扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的動(dòng)力平衡方程可以表示為：

(1)

式中：ρ=(1-n)ρs+nρf為飽和土體的密度，其中ρf為流體密度，n為飽和土體的孔隙率，ρs為土顆粒密度，Gs為土的剪切模量；t為實(shí)際時(shí)間；r、z分別為徑向和深度方向的空間坐標(biāo)。

對(duì)于飽和土而言，流體平衡方程環(huán)向?yàn)椋?/p>

(2)

式中：kd為動(dòng)力滲透系數(shù)；g為重力加速度。

由于樁-土系統(tǒng)做發(fā)生諧和振動(dòng)，所有反應(yīng)量都有f(r,z,t)=f(r,z)eiωt的形式，其中f(r,z)表示振幅，ω表示圓頻率。忽略eiωt項(xiàng)后，將式(2)代入式(1)可得：

2uθ(r,z)-

(3)

令φ(z,t)=φ(z)eiωt為樁身質(zhì)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的轉(zhuǎn)角，取樁身微元體作動(dòng)力平衡分析，可得樁作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)基本方程如下(略去eiωt項(xiàng))：

(4)

1.2定解條件

土層的邊界條件為：

(5)

τθzi(r,z=0)=0，uθi(r,z=H)=0,(i=1,2)(6)

樁頂及樁底邊界條件為：

(7)

樁與土接觸面處的銜接條件為：

uθ1(r=r1,z)=φ(z)r1，uθ2(r=r2,z)=φ(z)r2(8)

2問題求解

2.1飽和土層扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題求解

采用分離變量法，令uθ(r,z)=R(r)Z(z)并代入式(3)可得：

(10)

式(10)可以進(jìn)一步分解為：

(11)

解式(11)可得：

(12)

式中：R=R(r)和Z=Z(z)為求解方程引入的單變量函數(shù)；I1(qr)、K1(qr)為一階第一類、第二類修正的貝塞爾函數(shù)；A、B、C、D為由邊界條件決定的積分常數(shù)。

由此可寫出樁周土與樁芯土的位移幅值解分別為：

由土層邊界條件式(5)可知B1=0，A2=0，由土層邊界條件式(6)可得C1=C2=0以及下式：

m=1,2,3…

(14)

那么，樁周土與樁芯土扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移幅值形式解可以表示為：

(15)

由此，結(jié)合修正貝塞爾函數(shù)的遞推公式，可得樁周土與樁芯土對(duì)樁身單位面積的環(huán)向剪應(yīng)力幅值τrθ分別為：

(16)

式中：I2(qm2r)、K2(qm1r)為二階第一類、第二類修正的貝塞爾函數(shù)。

為了數(shù)值計(jì)算中參數(shù)討論的方便，引入以下無(wú)量綱變量：

2.2樁身扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題求解

將式(9)、式(16)代入式(4)，并作無(wú)量綱化處理后，可得：

(17)

方程(17)所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解可表示為：

(18)

方程(17)的特解形式可寫為：

(19)

將式(19)代入式(17)，可以得到：

(20)

式中：

由樁土接觸面的連續(xù)條件，利用固有函數(shù)cos(hmz)的正交性可得：

(21)

可以得到，管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角響應(yīng)幅值可以表示為：

(22)

式中：

式(22)中的待定系數(shù)α1、α2可由邊界條件式(7)求得：

將待定系數(shù)α1、α2代入式(22)，根據(jù)復(fù)剛度定義，可得樁頂扭轉(zhuǎn)復(fù)剛度為：

(23)

3參數(shù)分析

3.1樁頂復(fù)剛度分析

以樁頂復(fù)剛度和樁頂導(dǎo)納來反映管樁的振動(dòng)特性。樁頂復(fù)剛度的實(shí)部代表樁的動(dòng)剛度(下文用kT1表示)，虛部代表動(dòng)阻尼(下文用kT2表示)。本文將主要分析樁周土和樁芯土力學(xué)行為的差異對(duì)管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響。各參量的取值為：r1=1.0 m，ρs1=2 650 kg/m3，Gs1=10 MPa，ρf=1 000 kg/m3，n1=0.5，kd1=0.001，g=10 m/s2，Gp=10 GPa。圖2～圖5為樁芯土與樁周土剪切模量比、液固耦合系數(shù)比、管樁內(nèi)外半徑比和樁長(zhǎng)徑比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響曲線。

圖2　樁芯土與樁周土剪切模量比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響Fig.2 Influence of modulus ratio of soil around pile and inner soil on the complex stiffness at pile top

圖3　液固耦合系數(shù)比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響Fig.3 Influence of ratio of coupled coefficient of fluid and solid phase on the complex stiffness at pile top

圖4反映了管樁壁厚對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響，可以看出，管樁壁厚對(duì)樁頂復(fù)剛度有明顯的影響。樁的內(nèi)外半徑之比越大，復(fù)剛度越大，這是由于內(nèi)外半徑比較大，說明內(nèi)半徑相對(duì)較大，樁芯土提供的摩擦力較大，而樁周土提供的摩擦力相對(duì)較小，而復(fù)剛度卻越大，可見樁周土較樁芯土對(duì)樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)影響要大(文獻(xiàn)[9]也獲得了相同的結(jié)論)。

圖4　管樁內(nèi)外半徑比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響Fig.4 Influence of thickness of pipe pile on the complex stiffness at pile top

圖5　管樁長(zhǎng)徑比對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響(μ=1 000)Fig.5 Influence of slenderness of pipe pile on the complex stiffness at pile top(μ=1 000)

圖5反映了樁長(zhǎng)徑比(θ)對(duì)樁頂復(fù)剛度的影響，可以發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)徑比對(duì)樁頂復(fù)剛度有顯著的影響。隨著樁長(zhǎng)徑比的增加，樁頂復(fù)剛度的實(shí)部和虛部均收斂為一常數(shù)。說明在一定的激振頻率下，存在一個(gè)臨界樁長(zhǎng)的問題，當(dāng)長(zhǎng)徑比大于此臨界樁長(zhǎng)時(shí)，樁頂復(fù)剛度就基本不再變化。

3.2樁身轉(zhuǎn)角分析

頻率對(duì)樁身轉(zhuǎn)角有明顯的影響，同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)頻率對(duì)樁身轉(zhuǎn)角的實(shí)部影響要小于對(duì)虛部的影響(見圖6)。無(wú)量綱頻率越大，樁身的位移實(shí)部越小，但虛部的絕對(duì)值增大。位移虛部沿整個(gè)樁身變化不大，而實(shí)部的變化顯著，且隨著激振頻率的增大，其變化也越趨于平緩。

圖6　不同無(wú)量綱頻率荷載下樁身轉(zhuǎn)角隨深度變化Fig.6 Influence of non-dimensional frequency on the response of twist angle of pile

圖7　樁芯土與樁周土剪切模量比對(duì)樁身轉(zhuǎn)角的影響(a0=1.0)Fig.7 Influence of Gon the response of twist angle of pile (a0=1.0)

圖8　管樁內(nèi)外半徑比對(duì)樁身轉(zhuǎn)角的影響(a0=1.0)Fig.8 Influence of thickness of pipe pile on the response of twist angle of pile (a0=1.0)

4結(jié)論

基于Biot提出的動(dòng)力固結(jié)理論，在三維軸對(duì)稱條件下研究了諧和激振荷載作用下均質(zhì)各向同性飽和土中端承樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性，獲得了管樁在諧和扭轉(zhuǎn)激振作用下樁土耦合振動(dòng)的解析解。分析了樁周土與樁芯土的物理力學(xué)參數(shù)的變化對(duì)管樁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性影響。主要結(jié)論有：

(1)樁芯土與樁周土的液固耦合系數(shù)比的變化對(duì)管樁的扭轉(zhuǎn)特性幾乎沒有影響。

(2)樁芯土與樁周土的剪切模量比在激振頻率較低時(shí)，對(duì)管樁的振動(dòng)特性影響不顯著，但是隨著激振頻率的增大，其影響逐漸得以體現(xiàn)。

(3)管樁的壁厚對(duì)樁頂復(fù)剛度有明顯影響，樁頂復(fù)剛度隨著壁厚的減小而增大，說明了樁周土較樁芯土對(duì)樁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)影響要大。

(4)隨著樁長(zhǎng)徑比的增大，樁頂復(fù)剛度逐漸趨于一恒定值，說明在一定的激振頻率作用下，管樁也存在一個(gè)臨界樁長(zhǎng)。

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