馬　超，華宏星

(上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海　200240)

第一作者馬超男，博士生，1982年生

基于改進(jìn)正則化方法的狀態(tài)空間載荷識(shí)別技術(shù)

馬超，華宏星

(上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200240)

摘要：由于噪聲和系統(tǒng)特性的影響，載荷識(shí)別問題往往是不適定的，為了克服該問題獲得穩(wěn)定解，一般采用正則化技術(shù)來處理，可是直接利用傳統(tǒng)正則化方法重構(gòu)載荷，識(shí)別出的載荷的精度不是很高，本文提出采用一種改進(jìn)正則化方法，數(shù)值仿真結(jié)果表明該方法能夠有效地抑制噪聲的影響，從而更精確的識(shí)別出載荷。

關(guān)鍵詞：不適定；正則化；穩(wěn)定解；載荷識(shí)別；狀態(tài)空間

收稿日期：2014-03-05修改稿收到日期：2014-06-06

中圖分類號(hào):Tp12；Tp13.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.026

Abstract:Due to the influence of noise and system property, a load identification problem is always ill-posed, in order to deal with this issue, it is necessary to use the regularized technique. Here, an improved regularized technique was proposed to get the stable solution. Numerical tests were made to verify the proposed method, and the results were compared with those identified using the traditional Tikhonov regularization method. It was shown that the proposed method gives better results than the traditional Tikhonov regularization method does.

State space load identification technique based on an improved regularized method

MAChao,HUAHong-xing(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Key words:ill-posed; regularization; stable solution; load identification; state space

載荷識(shí)別技術(shù)已被廣泛地應(yīng)用于土木，運(yùn)輸及航空等領(lǐng)域中。載荷識(shí)別的研究屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方面的第二類逆問題[1]，該技術(shù)是根據(jù)已知結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性和實(shí)測(cè)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)來反演作用于結(jié)構(gòu)上的動(dòng)態(tài)載荷的一門技術(shù)。由于在許多實(shí)際工程問題中，為了保證工程結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性，需要準(zhǔn)確的確定作用于結(jié)構(gòu)上的動(dòng)態(tài)載荷，因此，如何有效精確的識(shí)別出載荷具有十分重要的意義。

從數(shù)學(xué)的角度來看，由于測(cè)量噪聲和系統(tǒng)特性的影響，載荷識(shí)別問題往往屬于不適定問題，解決這類問題通常采用正則化技術(shù)處理[2-5]。本文提出采用一種改進(jìn)正則化技術(shù)來重構(gòu)載荷，數(shù)值結(jié)果表明該方法具有較高的識(shí)別精度。

1狀態(tài)空間載荷識(shí)別模型

對(duì)于線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其離散狀態(tài)空間方程可以表示為：

xk+1=Axk+Bfk

(1)

其中xk表示狀態(tài)空間變量，fk為外載荷向量，A和B分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣。相應(yīng)地輸出方程可以表示為：

yk=Cxk

(2)

式中C為輸出影響矩陣，yk為響應(yīng)向量。本文以位移數(shù)據(jù)作為測(cè)量響應(yīng)量來反演載荷。

假定初始狀態(tài)量x0已知，將式(1)代入式(2)中，則式(2)最終可以表示為：

式(3)即為本文進(jìn)行狀態(tài)空間載荷識(shí)別的數(shù)學(xué)模型。

2傳統(tǒng)Tikhonov正則化方法

一般說來，對(duì)于式(3)的求解，其最小二乘解可表示為：

(4)

(1)矩陣H的奇異值逐漸變?yōu)榱?/p>

(2)矩陣H的條件數(shù)太大。

為了克服該問題，獲得穩(wěn)定解，必須采用正則化方法。目前應(yīng)用廣泛且相當(dāng)有效的正則化方法是Tikhonov正則化方法，其表達(dá)式為：

(5)

式中φ為正則化參數(shù)。其正則解表示為：

(6)

與式(4)比較發(fā)現(xiàn)，式(6)右端系數(shù)矩陣部分增加了φI項(xiàng)，因?yàn)樵擁?xiàng)可以起到克服方程系數(shù)矩陣病態(tài)的作用，所以可以得到穩(wěn)定解。由于式(6)中的正則化解與參數(shù)φ有關(guān)，φ的取值不同，其解也不同，故如何選取合適的參數(shù)φ是式獲得穩(wěn)定解的關(guān)鍵。對(duì)于參數(shù)的確定準(zhǔn)則常用方法有：GCV法[7]，L-曲線法[8]等。文中在利用傳統(tǒng)Tikhonov正則化技術(shù)反演載荷時(shí)，采用GCV法來確定正則化參數(shù)。

3改進(jìn)正則化技術(shù)

引入穩(wěn)定泛函：

(7)

式中λ為正則化參數(shù)，滿足0<λ<1。

正則解F為泛函φλ(F)的最小值點(diǎn)。使式(7)對(duì)F求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)等于零，得：

(1-λ)H*(HF-Y)+λF=0

(8)

求解上式得：

Fλ=[(1-λ)H*H+λI]-1(1-λ)H*Y

(9)

式(9)即為改進(jìn)正則化方法的正則解。對(duì)于式(9)中正則化參數(shù)λ的確定，本文采用以下公式選取[9]：

(10)

式中N為迭代步數(shù)，N0為初值選取參數(shù)(一般選0～5之間的整數(shù))，β為下降速率參數(shù)(一般建議取0.5左右的數(shù)值)，λ(N)為第N步時(shí)的正則化參數(shù)值。在本文中N0取零值，β等于0.5。

為了評(píng)估載荷識(shí)別的精度，定義相對(duì)誤差函數(shù)如下：

(11)

式中Fk為第k次迭代后重構(gòu)的載荷，F(xiàn)為真實(shí)的載荷值。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于F未知，該評(píng)價(jià)指標(biāo)無法使用，需采用其它指標(biāo)來評(píng)價(jià)(如響應(yīng)相對(duì)誤差函數(shù)指標(biāo))。

4算例研究與試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，通過數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

4.1數(shù)值仿真

圖1　平面桁架結(jié)構(gòu)Fig.1 The plane truss structure

(12)

由于實(shí)際測(cè)量的響應(yīng)數(shù)據(jù)都含有噪聲，為模擬真實(shí)的工程情景，利用公式(13)來添加噪聲。

(13)

圖2 無噪聲情況下的Picard圖Fig.2ThePicardplotwithnoisefreedata圖3 無噪聲情況下的識(shí)別結(jié)果圖(其中a和b分別表示f3和f7的辨識(shí)結(jié)果圖)Fig.3Theforceidentificationresultsoff3(a)andf7(b)withnoisefreedata

圖4 Picard圖Fig.4ThePicardplot圖5 在α=0.1噪聲下的辨識(shí)結(jié)果圖(其中a和b分別表示f1和f2的辨識(shí)結(jié)果圖)Fig.5Theforceidentificationresultsoff1(a)andf2(b)withα=0.1noise

表1　不同噪聲情況的誤差值

表2　不同采用時(shí)間間隔下的誤差值

4.2試驗(yàn)驗(yàn)證

圖6為本文進(jìn)行試驗(yàn)的試件圖，其設(shè)計(jì)尺寸見圖中所示，圖中‘A’表示激勵(lì)點(diǎn)位置，‘1’和‘2’表示測(cè)點(diǎn)位置。表3列出了該結(jié)構(gòu)前四階的固有頻率及阻尼比。在進(jìn)行載荷識(shí)別前，本文采用子空間辨識(shí)法[11]對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別獲取系統(tǒng)矩陣(A，B和C)。為了驗(yàn)證本文方法的有效性，在激勵(lì)點(diǎn)施加107 Hz的正弦信號(hào)，利用加速度傳感器(HD-YD-216)測(cè)量出響應(yīng)數(shù)據(jù)，同時(shí)利用力傳感器(B&K 8200)測(cè)量出載荷數(shù)據(jù)作為辨識(shí)結(jié)果的對(duì)比值。在試驗(yàn)過程中，采樣時(shí)間間隔為1/1 024 s。由于文中建立的載荷辨識(shí)模型是基于位移響應(yīng)建立的，因此需將加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為位移響應(yīng)，文中采用頻域積分法[12]對(duì)該問題進(jìn)行了處理。在獲得以上數(shù)據(jù)后，采用本文推薦的方法就可辨識(shí)出載荷，圖7為辨識(shí)結(jié)果圖。從圖7可知,改進(jìn)法的辨識(shí)結(jié)果曲線與真實(shí)載荷曲線基本吻合，識(shí)別精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)法。

圖6　試件圖Fig.6 The figure for specimen

序號(hào)固有頻率/Hz阻尼比/%113.1360.64253.8570.54384.9450.164107.9280.14

圖7　辨識(shí)結(jié)果圖Fig.7 The identified results

5結(jié)論

由于載荷識(shí)別問題往往是不適定的，本文提出了一種基于改進(jìn)正則化方法的狀態(tài)空間載荷識(shí)別技術(shù)，并把辨識(shí)結(jié)果與傳統(tǒng)Tikhonov正則化的結(jié)果進(jìn)行比較研究，數(shù)值仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的方法在對(duì)狀態(tài)空間載荷辨識(shí)方面具有更高的辨識(shí)精度和魯棒性。

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