朱杰濤

[摘 要]面積的概念是抽象的，而且面積的教學(xué)涉及長方形、正方形、平行四邊形和三角形等平面圖形面積的計算，是學(xué)生建立空間觀念的重要內(nèi)容，具有承上啟下的建構(gòu)意義。因此，教師應(yīng)合理利用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容的選擇和過程的安排，將面積概念的教學(xué)最優(yōu)化。

[關(guān)鍵詞]面積 學(xué)情 教材 有效建構(gòu) 認知起點 教學(xué)節(jié)點

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）35-018

“面積”作為小學(xué)數(shù)學(xué)進行幾何初步知識教學(xué)、建立空間觀念的重要內(nèi)容，是學(xué)生的思維從一維空間轉(zhuǎn)向二維空間的開始，許多教師在展示課和研討課中都選擇此內(nèi)容進行教學(xué)。但面積的概念具有較強的抽象性，學(xué)生初次接觸時一般都難以理解面積是怎么一回事，學(xué)習(xí)存在一定困難，教師在教學(xué)這一課時也會出現(xiàn)許多的困惑與問題。我有幸參加市高研班學(xué)習(xí)，在觀摩專家的課堂教學(xué)后，對本課的教學(xué)進行了再研究。

把握起點·分析學(xué)情·立足教學(xué)之本源

為更好地進行教學(xué)，我對自己學(xué)校的三年級學(xué)生開展關(guān)于面積認識的前測，以此了解學(xué)生對面積有著怎樣的前概念。而在此之前，我重新梳理了學(xué)生的認知起點，以便更好地設(shè)計前測問題。

一、從關(guān)聯(lián)內(nèi)容看學(xué)生的認知起點

二、從校內(nèi)前測看學(xué)生的前概念

有了以上的認識，我設(shè)計3個問題來對學(xué)生進行前測。

問題1：你認為什么是面積？

設(shè)計意圖：了解大約有多少學(xué)生已經(jīng)知道了面積。

測試結(jié)果：

測試結(jié)論：三年級學(xué)生對面積并不是一無所知的，但也表現(xiàn)出學(xué)生對這一內(nèi)容的認知十分模糊，所以教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生由對面積的模糊經(jīng)驗走向逐步清晰。

問題2：用你喜歡的方法表示出該圖形的面積。

設(shè)計意圖：考查學(xué)生能否表示出一個圖形的面積。

測試結(jié)果：

測試結(jié)論：即使是三年級的學(xué)生，還是有一部分學(xué)生對面積所指的區(qū)域不清楚，而且周長是影響學(xué)生認識面積的一個重要因素。

問題3：哪個圖形的面積最大？

設(shè)計意圖：考查學(xué)生對圖形表面大小的認識。

測試結(jié)果：

測試結(jié)論：在比較兩個面積比較相近的圖形時，有一部分學(xué)生就束手無策了，不知道該如何是好。因此，課堂教學(xué)中，教師要著重設(shè)計幫助學(xué)生用面積單位來說明面積大小的探索活動。

通過前測分析，我認為面積的教學(xué)要遵循學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律。在建立面積概念時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對同一封閉圖形的周長和面積進行直觀對比，使學(xué)生明確兩者之間的區(qū)別，完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。同時，教師在教學(xué)中要繼續(xù)加強學(xué)生的探索，強化學(xué)生的體驗學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在認知沖突中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，在解決問題中提煉出面積和面積單位的本質(zhì)屬性。

對比解讀·研究本質(zhì)·思辨教學(xué)之載體

通過前測，我欣喜地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生缺少的、我們在教學(xué)中要重點把握的，正是2011版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)三年級下冊關(guān)于“面積的意義”教學(xué)所呈現(xiàn)的內(nèi)容。那么，義務(wù)教育教科書相對于實驗教材到底有哪些細節(jié)上的變化呢？研究其他版本教材對面積教學(xué)的編排有何異同，有助于教學(xué)的進一步優(yōu)化。

一、實驗教材與2011版義務(wù)教育教科書（以下簡稱2011版教材）之間的對比

1.主題圖的變化。

與實驗教材相比，2011版教材主要體現(xiàn)以下兩個特點。

1.關(guān)注學(xué)生對面積概念的真正理解。

刪去面積的定義和采用描述方式說明面積的含義，既避免學(xué)生死記硬背定義，又不使教師將工夫用在指導(dǎo)學(xué)生敘述面積的定義上，而忽視引導(dǎo)學(xué)生對面積含義的真正理解。

2.注重對面積概念認識的全面性。

由于學(xué)生常常誤認為只有向上擺放的“面”才有面積，因此2011版教材增加了“做一做”的內(nèi)容，使學(xué)生對面積的認識更加廣泛。同時，為避免學(xué)生一提到面積就想到長方形和正方形，2011版教材在練習(xí)中還增加了不規(guī)則圖形面積的比較，以突出面積概念的本質(zhì)。

3.加強用統(tǒng)一的面積單位進行測量的辨析比較。

2011版教材全面呈現(xiàn)了利用正方形、三角形和圓拼擺后得到的不同結(jié)果，并通過操作、對比，以一種強烈的視覺沖擊來引發(fā)學(xué)生選擇合適的面積單位進行測量的需求。

二、不同版本教材之間的對比

各版本教材都在三年級下冊安排了“面積的認識”這一內(nèi)容，但在具體編排上又有所不同。如下表：

由上述比較中不難發(fā)現(xiàn)，三個版本的教材在整體編排上呈現(xiàn)了以下的相同點：先認識面積和面積單位，再探究長方形和正方形的面積計算公式，最后學(xué)習(xí)面積單位之間的進率;通過看一看、比一比的內(nèi)容，安排兩個圖形比較大小的實踐操作活動，讓學(xué)生體會面是有大小之分的;在比較兩個圖形的過程中，都通過重疊和擺一擺的方法來認識面積單位。同時，這三個版本的教材在細節(jié)上又各有不同：在材料的呈現(xiàn)上，人教版教材和蘇教版教材都采用了規(guī)則的表面為長方形的實物，而北師大版教材將長方形、圓和不規(guī)則封閉圖形都呈現(xiàn)出來;在概念的呈現(xiàn)上，人教版教材和蘇教版教材均采用具體描述的方式，北師大版教材依舊采用下定義的方式;在統(tǒng)一面積單位的教學(xué)中，人教版教材比較直接，更注重對拼擺結(jié)果的比較分析，而蘇教版教材和北師大版教材注重比較的層次性，且將統(tǒng)一面積單位的必要性安排在教學(xué)的引入中。

兼容并施·有效建構(gòu)·豐富教學(xué)之內(nèi)涵

根據(jù)本校學(xué)生關(guān)于面積的學(xué)情以及對教材的進一步解讀，我在自己的教學(xué)實踐中，主要通過以下幾個方面來組織學(xué)生開展對“面積”的研究學(xué)習(xí)。

一、抓住知識的生長點，拓展關(guān)于“面積”的內(nèi)涵

教師的教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)。學(xué)生在平時的生活中已經(jīng)知道物體有“面”，知道這些“面”有大有小，這是十分寶貴的教學(xué)資源，也是讓學(xué)生進一步掌握面積知識的基礎(chǔ)。學(xué)生能輕松地找到黑板表面、課本封面以及比較出它們的大小，但這僅僅只是生活經(jīng)驗的再現(xiàn)。為了消除學(xué)生因生活經(jīng)驗而產(chǎn)生的定式，人教版教材安排關(guān)于字典的側(cè)面的認識，教師在課堂中可按照以下幾個層次進行教學(xué)：（1）直接告訴學(xué)生“數(shù)學(xué)書封面的大小就是數(shù)學(xué)書封面的面積”，并通過板書讓學(xué)生模仿著說，規(guī)范學(xué)生的語言，讓學(xué)生逐步內(nèi)化所學(xué)概念。（2）鼓勵學(xué)生尋找身邊一些物體的面，先摸一摸，再說一說，前者是讓學(xué)生用動作來表示對面積的認識，后者是要學(xué)生用含有面積的詞來進行解釋。（3）先通過比一比，引導(dǎo)學(xué)生比較各個面積的大小，再讓學(xué)生體會每個面都是有大小的。在學(xué)生交流舉例時，教師一定要要求學(xué)生邊指邊說，形成正確、清晰的知識表征。（4）制造或利用學(xué)生的認知沖突，解決面積并非只是物體的封面或底面的問題，并將教材中的字典換成數(shù)學(xué)書，用比較小的側(cè)面來強化學(xué)生的認識——原來這里也有面積，完成對物體表面面積概念內(nèi)涵的一次澄清。

在教學(xué)中，學(xué)生對鉛筆盒蓋的面積產(chǎn)生了爭論，教師沒有打斷和直接告訴學(xué)生到底什么是鉛筆盒蓋的面積，而是給予生生之間足夠多的交流時間，引導(dǎo)學(xué)生通過相互間的質(zhì)疑、解釋，總結(jié)出鉛筆盒蓋的面積，最后及時進行評價。

片斷：物體表面的大小是物體表面的面積

師：手掌的大小就是手掌的面積。（板書）輕聲讀一讀這句話，與同桌邊指邊說說什么是手掌的面積。（師示范，學(xué)生模仿說什么是黑板表面的面積）

師：在身邊找一個物體，邊摸邊說說什么是這個物體表面的面積。

生1：鉛筆盒的大小是鉛筆盒表面的面積。

師（指鉛筆盒蓋）：鉛筆盒的表面包括六個面，我猜剛才這位同學(xué)說的是鉛筆盒上面的大小是它上面的面積，是嗎？

生2：鉛筆盒一圈和上面不是平平的，鉛筆盒底面是平的，所以底面的大小是鉛筆盒底面的面積。

師：關(guān)于鉛筆盒某個面的面積，其他同學(xué)的意見呢？

生3：我認為鉛筆盒蓋雖然高高低低，但也是有面積的，把它拉平后的大小仍是上面的面積;鉛筆盒下面的大小是它下面的面積。

師：你的總結(jié)真好，還能舉例嗎？

……

師：將課桌面的面積和黑板面的面積比比大小。（生動手操作并相互舉例）

師：同學(xué)們，我們剛才觀察到各種物體的面，它們有大有小，并且每個面都有它確定的大小。數(shù)學(xué)上，我們把物體表面的大小稱為物體的表面積。

……

二、抓住知識的矛盾點，促進關(guān)于“面積”的內(nèi)化

盡管修訂后的人教版教材不再用下定義的方式來揭示面積的意義，但教師的教學(xué)若停留在此是遠遠不夠的。而且，學(xué)生是在認識周長的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)面積的意義的，所以教師教學(xué)中要通過大量直觀的、日常生活中的實例，引導(dǎo)學(xué)生充分感知、認識面積與周長的不同，并用對比的教學(xué)手段，幫助學(xué)生正確區(qū)別周長與面積的不同含義。但對于更加抽象的平面圖形，周長和面積對于學(xué)生而言更易混淆。因此，教師需要制造認知矛盾，激發(fā)學(xué)生主動內(nèi)化所學(xué)知識的欲望。

第一個矛盾點，讓學(xué)生用彩色粉筆表示出長方形的面積。學(xué)生出現(xiàn)“描邊”和“涂面”兩種不同的意見，但大多數(shù)學(xué)生選擇“涂面”，說明他們對圖形面積的概念有了一定的認識，沒有受到周長知識的負遷移影響。

第二個矛盾點，為學(xué)生準備一個角，讓學(xué)生再次來表示出它的面積。此時學(xué)生相當一致地認為不能表示出面積，并通過與長方形對比得出角不是封閉的，所以面積無法確定，從而更進一步讓學(xué)生感受到封閉圖形的大小就是它的面積。

片斷：封閉圖形的大小叫做面積

師：物體的表面有大小，那平面圖形有大小嗎？（出示長方形）你能用彩色粉筆表示出長方形的面積嗎？（生1用粉筆描出長方形一周的邊線，其他學(xué)生不同意，說“描的是長方形一周的長，是周長”;生2用粉筆涂了長方形的面，多數(shù)學(xué)生贊成）

師：為什么不同意生1的表示？

生3：他描的是邊框，沒有表示出里面的面。

師：用手勢比劃一下，長方形的面在哪里？什么是面積？（板書：長方形的大小是長方形的面積）

師（出示角）：老師這里還有一個圖形，你能表示出它的面積嗎？（生齊聲說“不能”）說說你們的理由。

生4：長方形是封閉的，角是不封閉的，所以面積無法確定。

……

三、抓住認知的層次性，完善關(guān)于“統(tǒng)一面積單位”的學(xué)習(xí)

個人認為，北師大版教材和蘇教版教材中“統(tǒng)一面積單位”這一板塊的內(nèi)容更加飽滿、充實，遵循了學(xué)生的認知規(guī)律。因此，在進行“統(tǒng)一面積單位”的教學(xué)時，我根據(jù)觀察法、重疊法、比較法，設(shè)計了三個不同層次的教學(xué)活動，使學(xué)生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上無法比較出兩個圖形的大小，從而產(chǎn)生認知沖突，激發(fā)學(xué)生進一步探索比較方法的強烈愿望。這里，教師適時為學(xué)生提供所需要的素材，讓學(xué)生擺一擺、想一想，再通過不同小組間對成功和失敗的討論，最終使學(xué)生深刻認識到必須用形狀相同、大小相同的小圖形去擺，也就是用統(tǒng)一的面積單位來進行測量。這一系列的探究學(xué)習(xí)活動，有利于學(xué)生知識的形成和建構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生的探索意識和合作能力。

片斷1：統(tǒng)一面積單位

師（出示兩個大小相似的長方形）：現(xiàn)在有兩個長方形，你能看出誰大誰小嗎？

生1：把兩個圖形重疊起來。

生2：我覺得重疊不行，因為重疊后要把兩個圖形多余的部分剪下來再進行比較。

師：看來，有時候用重疊的方法無法比較圖形的大小。有同學(xué)想到了剪拼的方法，如果現(xiàn)在不破壞這兩個圖形，有更好的比較方法嗎？

生3：先在兩個圖形上擺一些圖形，然后看看擺的數(shù)量就能知道圖形面積的大小了。

師：大家同意嗎？想不想試一試？（生動手操作驗證）有結(jié)果了嗎？

生4：我們在一個長方形上面擺了15個小正方形，在另一個長方形上面擺了14個小正方形。

生5：我們組的工具不能用，因為一個是圓形，一個是三角形，不好比較。

生6（將作品展示，用于比較的正方形有大有?。何覀兊墓ぞ咭膊缓糜谩?/p>

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：要用同樣大小的正方形比較合適。

師：說得真好，在計算面積時就要用面積單位。

……

片斷2：選擇合適的面積單位

（生選擇圖形拼擺，看看能擺多少個同樣的圖形）

師：同學(xué)們通過擺一擺，擺出了這樣幾幅作品（如下圖），誰能說說看，你覺得哪一幅作品更棒？

生1：我喜歡第一幅和第四幅作品，因為它們不僅選擇了同一種圖形，而且擺好以后沒有空的地方。

生2：我最喜歡第一幅和第四幅作品，可能有時候沒法用其他圖形擺出來。

師：同學(xué)們說得非常棒，既說明了理由，又考慮到了要根據(jù)圖形來選擇合適的面積單位。

……

四、彌補認知的不足點，豐富關(guān)于“面積”的外延

在整個研究過程中，學(xué)生對面積的認識停留在對長方形和正方形的大小上。三個版本的教材都涉及關(guān)于圓和其他不規(guī)則的封閉圖形，對于剛開始在長方形和正方形周長的基礎(chǔ)上認識面積的學(xué)生來說，北師大版教材在一開始時就給出變式，我認為這會對學(xué)生建構(gòu)面積的意義造成新的困難，因此更傾向于在練習(xí)中進行突破。

片斷：圖形方向、形狀不同，面積可以相同

出示練習(xí)要求：在練習(xí)紙上畫一個與這個圖形面積一樣的圖形，并想一想它們的面積為什么相同。

師：為什么這些圖形的面積相同呢？

生1：因為它們都是用了4個小正方形。

師：我們再來看幾個形狀不同的圖形，它們的面積相等嗎？（生答略）老師也畫了兩個圖形（如下圖），你們覺得它們的面積一樣嗎？

師（總結(jié)）：形狀的變化，對于圖形的面積沒有影響。任何的封閉圖形都有面積。

……

通過讓學(xué)生整體感受度量的學(xué)習(xí)，體會到所要測量的面的實際意義，勢必對度量的本質(zhì)有整體認知。這樣的學(xué)習(xí)方法還將遷移到體積和體積單位的學(xué)習(xí)，具有舉足輕重的作用。所以，教師要善于從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，為符合學(xué)生認知的理解而教;善于確定教材的重、難點，為學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)而教。

（責(zé)編 藍 天）