求一個有限網(wǎng)絡電路的電阻

龍 亮

(寧波市鄞州高級中學浙江 寧波315194)

收稿日期：(2015-01-12)

請看下面一道試題：

圖1是一個由41個電阻連接而成的電路，其中R0=5 Ω,R1=R3=R5=…=R39=50 Ω,R2=R4=R6=…=R40=10 Ω, 求A,B間的電阻大小.

圖1

初看這道題可能有人會覺得很簡單.但請您注意：(1)奇數(shù)號電阻的阻值是50 Ω，而不是5 Ω；(2)這不是無窮多個網(wǎng)格，且R0的阻值和其他偶數(shù)號電阻的阻值不同.

如果奇數(shù)號電阻的阻值都是5 Ω，我們很容易算出A,B間的電阻RAB=5 Ω；若是無窮多個網(wǎng)格，我們可以這樣算.

設RAB=RCD=Rx，則

即

解得

8.541 019 662 496 85 Ω

現(xiàn)在這道題既不是無窮網(wǎng)格，所給的數(shù)值又不好算.那么怎么解決這道題呢？我們必須從最右邊的網(wǎng)格開始一直往左邊算，直到求出結果.顯然，這樣帶來的計算量是很大的.下面筆者想介紹一種用Excel表格來計算此題的方法，希望可以給以后遇到類似情況的各位同仁提供些許借鑒.

打開Excel工作薄，如圖2，在表格第一行輸入對應列數(shù)據(jù)含義的文字描述(如果覺得沒必要也可以省去這一步)；在A2單元格輸入55(因為電路右邊第一網(wǎng)格R0與R39串聯(lián)的結果是55 Ω，故在A2單元格輸入55)；在B2單元格輸入10；在C2單元格輸入公式“=SUM(A2:B2)”；在D2單元格輸入公式“=A2*B2/C2”,這樣D2單元格就顯示出右邊第一單元格兩輸出端(即圖1中E，F(xiàn)兩端)的等效電阻；然后再在A3單元格輸入公式“=D2+50”；接下來我們只需將鼠標分別移動到A3，B2，C2，D2單元格右下角，待鼠標變成十字架后按住鼠標左鍵不動往下拉到所需要的行數(shù)，就能很快地算出從右邊開始第n個單元格兩輸出端的等效電阻(即D列數(shù)據(jù))，非常方便和快捷.

圖2

在這種方法中，為了提高精度，我們還可以選擇所需的數(shù)據(jù)，右擊選擇“設置單元格格式”，調(diào)整數(shù)值小數(shù)點后的位數(shù).如圖3是筆者選擇了小數(shù)點后位數(shù)為15位的結果.

圖3

通過圖3的結果我們會發(fā)現(xiàn)：當從右邊開始算到第3個網(wǎng)格后，等效電阻變化很?。凰愕降?0個網(wǎng)格后，等效電阻能在小數(shù)點后14位保持不變，并且此時等效電阻與前面看成無窮網(wǎng)格計算的結果一致.

通過這種Excel表格來計算的方法，我們還會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：如果賦予R0與R39串聯(lián)后的不同阻值(無論多小或多大)，即改變A2單元格的數(shù)值，經(jīng)過10～11個網(wǎng)格后，算出來的等效電阻值還是與前面看成無窮網(wǎng)格計算出來的結果在小數(shù)點后14位保持一致.這告訴我們，此題A，B間的電阻值與R0無關.

為何會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？讓我們先從數(shù)學上來分析一下(注：以下均為數(shù)學方程，其中的字母均為數(shù)值).

設電路第n網(wǎng)格兩端的等效電阻為Rn，前一網(wǎng)格兩端的等效電阻為Rn-1，則

(1)

設一個常數(shù)k，式(1)兩邊同時減去k，即

此式可化為

(2)

將k1,k2代入式(2)，得到下列兩式

(3)

(4)

式(3)除以式(4)得到

所以

其中R0=5 Ω.即

由此解得Rn的通項表達式為

其中R0=5 Ω.

其實，出現(xiàn)這樣一個結果也不奇怪.讓我們再從物理上來分析一下.如圖4，將R0改成一個滑動變阻器，假設這個滑動變阻器可以從零調(diào)到無窮大.顯然，當R0從零開始增大時，A,B間的等效電阻應該是增大的,但由于最后要與R2并聯(lián)，而并聯(lián)的總電阻是小于任一分電阻的，所以A,B間的等效電阻永遠不可能超過R2，肯定要趨于小于R2的一個有限阻值.

圖4

經(jīng)過上面的分析，筆者希望通過本文能給您帶來以下借鑒和參考：

(1)本題的網(wǎng)絡電路經(jīng)過若干個網(wǎng)格后，等效電阻會趨于某一值，并且與電路最后一格R0的阻值無關；另外，就物理上而言，題中加不加無限網(wǎng)格的條件已無差別.

(2)Excel是一個簡單而強大的計算工具.以后遇到類似的情況，可將Excel作為物理上的數(shù)學計算、驗證工具，這樣可以避免大量的計算或計算器操作，也可避免用高端編程工具去求結果；用Excel去驗證結果和處理數(shù)據(jù)既簡單，又可以一目了然地看出數(shù)據(jù)變化，還可以很方便地調(diào)節(jié)數(shù)據(jù)的精確度(小數(shù)點后的位數(shù)).

(3)Excel中各行數(shù)據(jù)的變化，有助于學生理解數(shù)學上的無窮收斂和物理上的相等之間的聯(lián)系.