浦天舒

(東華大學(xué)理學(xué)院　上?！?01620)

*上海高校實(shí)驗(yàn)技術(shù)隊(duì)伍建設(shè)專項(xiàng)資金項(xiàng)目：加強(qiáng)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革研究.

定義電磁場(chǎng)矢量的思想實(shí)驗(yàn)*

浦天舒

(東華大學(xué)理學(xué)院上海201620)

*上海高校實(shí)驗(yàn)技術(shù)隊(duì)伍建設(shè)專項(xiàng)資金項(xiàng)目：加強(qiáng)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革研究.

摘 要：通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)定義電通量密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度兩個(gè)電磁場(chǎng)矢量，認(rèn)識(shí)其物理意義．由高斯定律和安培定律并借助實(shí)驗(yàn)上的庫(kù)侖定律和畢奧-薩伐爾定律，找出電通量密度與電場(chǎng)強(qiáng)度以及磁場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度之間所必須滿足的關(guān)系．

關(guān)鍵詞：思想實(shí)驗(yàn)電磁場(chǎng)矢量極化強(qiáng)度矢量磁化強(qiáng)度矢量高斯定律安培定律

1引言

講到電磁場(chǎng)，首先碰到的問(wèn)題是場(chǎng)量的定義．在大多數(shù)大學(xué)物理教科書中通常只定義了電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度(磁通量密度)B，而把電通量密度(電位移)D和磁場(chǎng)強(qiáng)度H作為輔助量引入．這樣雖然在邏輯上沒(méi)有問(wèn)題，但D和H卻沒(méi)有明確的物理意義，而且容易給人造成E，B重要而D，H似乎不太重要的印象．但事實(shí)上我們知道電磁場(chǎng)是由4個(gè)矢量E，B，D，H構(gòu)成的，它們應(yīng)該是同等重要的(當(dāng)然在不同的研究領(lǐng)域它們的重要性會(huì)有所不同)．這一點(diǎn)從麥克斯韋方程組也可以看出．所以最好對(duì)這4個(gè)場(chǎng)量各自單獨(dú)定義．這樣既可賦予D，H以一定的物理意義，而且借助實(shí)驗(yàn)定律也可以找出它們跟E，B的關(guān)系．

2通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)定義D和H

4個(gè)電磁場(chǎng)矢量都可以通過(guò)所謂“思想實(shí)驗(yàn)”進(jìn)行定義[1]．例如電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B可分別通過(guò)作用在靜止和運(yùn)動(dòng)的試驗(yàn)電荷上的力的思想實(shí)驗(yàn)加以定義(借助法拉第定律，也可以從磁通量密度的概念通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)來(lái)定義B[1])．同樣，D和H也可以通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)定義．

2.1定義D的思想實(shí)驗(yàn)

D一般稱為電通量密度，但電通量本來(lái)是從電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E來(lái)定義的．即通過(guò)一個(gè)面元dS的電通量dФe定義為

dФe=E·dS

(1)

因此我們也可以從電通量密度的概念來(lái)定義E．但現(xiàn)在我們從矢量D來(lái)定義電通量

dΨe=D·dS

(2)

(3)

圖1　矢量場(chǎng)D中的一對(duì)薄圓形導(dǎo)電金屬電極

D叫做電通量密度是因?yàn)樗o出了通過(guò)單位面積的場(chǎng)的力線的數(shù)目(稱為通量)，而符號(hào)“D”則表示它是由電荷的位移(Displacement)產(chǎn)生的場(chǎng)，這一名稱是與上述思想實(shí)驗(yàn)中導(dǎo)電極板上的位移電荷相聯(lián)系的．

從D的定義可以引出高斯定律．因?yàn)閷?duì)一個(gè)閉合面來(lái)說(shuō)，D在整個(gè)閉合面的外法線分量上的積分便是ΔQ0，所以ΔQ0也就是抵消原來(lái)場(chǎng)的位移電荷，所謂高斯定律便是

Ψe=D·dS=ΔQ0

(4)

即漏出一個(gè)閉合面的電通量等于由這個(gè)閉合面所包圍的總電荷．

現(xiàn)在我們假設(shè)ΔQ0為一點(diǎn)電荷，則由于球?qū)ΨQ性，在距離ΔQ0為R的球面上任一點(diǎn)處有D=aRD(R)，由高斯定律可以得到

(5)

如果我們?cè)诰嚯xΔQ0為R的球面上任一點(diǎn)放置一靜止測(cè)試電荷Qt，則如果D=ε0E，那么這個(gè)測(cè)試電荷所受的力為

(6)

這正是庫(kù)侖定律．即如果我們假定高斯定律中的ΔQ0是自由電荷，那么D=ε0E便是自由空間中D與E必須滿足的關(guān)系．

當(dāng)存在媒質(zhì)時(shí)，媒質(zhì)分子會(huì)因極化而產(chǎn)生極化電荷，與自由電荷不同的是，極化電荷是正負(fù)電荷錯(cuò)開(kāi)形成的分子偶極矩，所以若因“位移”而穿出閉合面的極化電荷是-ΔQ′的話，則在閉合面內(nèi)便有剩余電荷ΔQ′．對(duì)于極化電荷，我們定義極化矢量P

(7)

則P在整個(gè)閉合面的外法線分量上的積分

(8)

可以證明，此一定義與一般書上以單位體積內(nèi)微觀分子電偶極距的矢量和定義的P是一致的[2]．這樣等于是把D看成是自由電荷產(chǎn)生的場(chǎng)(不論是在媒質(zhì)中還是在自由空間)，把P看成是極化電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，只是極化電荷產(chǎn)生的場(chǎng)并不能像自由電荷產(chǎn)生的場(chǎng)那樣抵消原來(lái)的場(chǎng)(即自由電荷的場(chǎng))，所以P和D是不同的場(chǎng)矢量．但不論是在媒質(zhì)中還是在自由空間，D都由式(3)定義．

可令媒質(zhì)中的總電荷Q=ΔQ0+ΔQ′，這里ΔQ0代表自由電荷．于是由式(4)和式(8)有

(9)

即總電荷產(chǎn)生的場(chǎng)是D-P．上式也可看成是矢量

D-P的高斯定律．如果Q為一點(diǎn)電荷，則同樣有

(10)

若

D-P=ε0E

(11)

則位于R處的測(cè)試電荷Qt所受的力

(12)

滿足庫(kù)侖定律．所以式(11)就是媒質(zhì)中D與E必須滿足的關(guān)系．因此我們可以把式(11)看成是由高斯定律借助庫(kù)侖定律得到的．也可以把庫(kù)侖定律看成是由高斯定律借助式(11)得到的．

從上述思想實(shí)驗(yàn)我們看到，D可以看成是自由電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，而真正的電場(chǎng)E則包括了所有電荷的貢獻(xiàn)，但D和E都對(duì)所有電荷(自由電荷與極化電荷)有作用．

2.2定義H的思想實(shí)驗(yàn)

圖2　定義磁場(chǎng)強(qiáng)度的密繞通電螺線管線圈

現(xiàn)在，把一棒形磁體放入螺線管并測(cè)量這一磁體上受到的力矩．結(jié)果發(fā)現(xiàn)力矩的強(qiáng)度在螺線管內(nèi)是均勻的(只要放置的磁體遠(yuǎn)離兩端)并且正比于電流I，而此力矩的方向是使磁棒沿螺線管的軸線．我們定義螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于表面電流JS0，方向?yàn)楫?dāng)右手四指朝電流方向握住螺線管時(shí)大拇指所指的螺線管的軸向，其單位矢量為az[圖2(c)]，即

H=JS0az

(13)

為了測(cè)量空間一點(diǎn)P的磁場(chǎng)強(qiáng)度，我們可以把這個(gè)通電小螺線管放在這一點(diǎn)，然后調(diào)節(jié)電流的大小以及螺線管的取向，直到使螺線管內(nèi)小磁棒上的力矩為零，那么螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)一定為零．由于現(xiàn)在的總場(chǎng)是我們要測(cè)量的原始場(chǎng)和螺線管電流產(chǎn)生的場(chǎng)之和，所以原始場(chǎng)的大小等于螺線管電流產(chǎn)生的場(chǎng)但方向相反．這一測(cè)量也可以在材料媒質(zhì)中進(jìn)行，只要在我們的思想實(shí)驗(yàn)中想象這個(gè)小螺線管是被固定在材料媒質(zhì)中的一個(gè)很細(xì)的管道中．

如果我們把H定義為僅由自由電荷的流動(dòng)形成的電流I0(來(lái)自導(dǎo)電媒質(zhì)或自由空間中移動(dòng)的電子、質(zhì)子、或離子的流動(dòng))產(chǎn)生的場(chǎng)，那么在磁化了的媒質(zhì)中，可以設(shè)想一個(gè)由表面磁化電流nI′形成的螺線管，定義一個(gè)磁化強(qiáng)度矢量M

(14)

∮M·dl=nI′

(15)

而對(duì)于H顯然應(yīng)該相應(yīng)有

∮H·dl=nI0

(16)

式中I0為自由電荷的流動(dòng)產(chǎn)生的電流.這就是安培定律．

因?yàn)橛蓪?shí)驗(yàn)上的畢奧-薩伐爾定律可以導(dǎo)出單位長(zhǎng)度上螺線管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為[2]

(17)

其方向az也由右手規(guī)則確定，但這里的電流是包括了磁化電流的總電流即I=I0+I′．因此磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流的積分關(guān)系可寫成

∮B·dl=μ0n(I0+I′)

(18)

由式(15)、(16)以及(18)，有

(19)

在一般電磁學(xué)書上安培定律是由畢奧-薩伐爾定律導(dǎo)出的，而在這里我們通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)定義了H，相當(dāng)于先假定安培定律，但為了使由畢奧-薩伐爾定律得到的結(jié)果式(17)成立，H與M必須滿足式(19)．當(dāng)然我們也可以把畢奧-薩伐爾定律看做是由安培定律借助式(19)而得到的．

3結(jié)論

我們?cè)诜菚r(shí)變的靜電和靜磁情況下通過(guò)思想實(shí)驗(yàn)定義了電磁場(chǎng)矢量D和H．在第一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)中，電荷位移使電極之間的場(chǎng)為零實(shí)際上是假定高斯定律成立；在第二個(gè)思想實(shí)驗(yàn)中，使放入場(chǎng)中的螺線管中的小磁棒受到的力矩為零實(shí)際上是假定安培定律成立．而式(11)、 (19)必須在實(shí)驗(yàn)定律即庫(kù)侖定律和畢奧-薩伐爾定律成立的條件下得到，或者說(shuō)借助式(11)和(19)可由高斯定律和安培定律導(dǎo)出庫(kù)侖定律和畢奧-薩伐爾定律．在一般電磁學(xué)書上通常是由庫(kù)侖定律和畢奧-薩伐爾定律這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)定律導(dǎo)出高斯定律和安培定律的，但我們知道庫(kù)侖定律原先是在靜電場(chǎng)中得到的實(shí)驗(yàn)定律，而高斯定律則被麥克斯韋推廣到了時(shí)變的情況(這樣等于也把庫(kù)侖定律推廣到了動(dòng)態(tài)情形)；同樣，在麥克斯韋方程組中安培定律也是一個(gè)基本定律(不過(guò)在把它推廣到時(shí)變情況時(shí)加上了位移電流項(xiàng))．所以高斯定律和安培定律(時(shí)變時(shí)應(yīng)加上位移電流項(xiàng))是更普遍的定律，由高斯定律和安培定律導(dǎo)出庫(kù)侖定律和畢奧-薩伐爾定律在邏輯上更合理.

參 考 文 獻(xiàn)

1Paul R. Karmel, Gabriel D. Colef, Raymond L. Camisa. Introduction to Electromagnetic and Microwave Engineering. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1998. 57～64

2趙凱華, 陳熙謀. 電磁學(xué)(上冊(cè)). 北京：人民教育出版社，1978. 141～143,290

3趙凱華, 陳熙謀. 電磁學(xué)(下冊(cè)). 北京：人民教育出版社，1978. 85～88

Thought Experiments on Defining

Electromagnetic Field Vectors

Pu Tianshu

(College of Sciecce of Donghua University，Shanghai201620)

Abstract：Electric flux density and magnetic field intensity are defined in terms of two thought experiments. Physical meanings of the two vectors can be realized. The relationships between electric flux density and electric field intensity, magnetic field intensity and magnetic induction intensity can be found from Gauss's law and Ampère law in virtue of Coulomb's law and Biot-Savart law on experimentation.

Key words：thought experiment; electromagnetic field vectors; polarization intensity vector; magnetization intensity vector; Gauss's law; Ampère law

收稿日期：( 2015-04-01)

作者簡(jiǎn)介：浦天舒(1960-)，男，副教授，主要從事物理光學(xué)、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)、微波技術(shù)的教學(xué)和研究工作.