關于利用逐差法減小實驗誤差的有效性理性辨析

董光順

(曲靖市第一中學云南 曲靖655000)

摘 要：基于打點紙帶求解加速度的實際誤差來源，討論逐差法與兩段法在數(shù)據(jù)測量和處理中的異同，進而辨析逐差法的有效性.

關鍵詞：兩段法逐差法區(qū)別 誤差來源 有效性

收稿日期：(2014-06-27)

逐差法(常指隔項逐差)主要是對等間距的有序數(shù)據(jù)進行分組后隔項作差再求平均值，以便于能夠使各組數(shù)據(jù)均得到有效利用，從而減小隨機誤差的一種常用方法.這一方法在大學階段諸如用拉伸法測量金屬絲的楊氏彈性模量、邁克爾孫干涉儀測波長等實驗中有廣泛應用.近年來，此類方法逐漸出現(xiàn)在利用打點紙帶測加速度、測定彈簧的勁度系數(shù)等中學物理實驗中，但關于這一方法的有效性備受同行爭議.筆者基于自身理解，嘗試對這一頗具迷惑性的問題進行分析，行文如下，以供與同仁探討.

1逐差法有效性的研究現(xiàn)狀簡述

據(jù)不完全統(tǒng)計，僅近兩年在中學物理教學的六大主流期刊上就陸續(xù)刊發(fā)了近10篇對逐差法分析紙帶加速度存有質(zhì)疑或否定逐差法有效性的文章，而這一類質(zhì)疑和討論均源于逐差法的處理結(jié)果與一種被稱為“兩段法”的處理方式獲得相同的實驗結(jié)果.

為方便討論，現(xiàn)以使用打點紙帶測定勻加速直線運動的加速度實驗為例，對“兩段法”進行扼要說明.假設在該實驗中獲得如圖1所示的打點紙帶.

圖1

為了充分利用打點紙帶，常規(guī)的做法是對數(shù)據(jù)進行隔項逐差后再通過求平均值獲取紙帶的加速度實驗值

為便于計算，不少同仁提出了所謂的“兩段法”，認為若紙帶上相鄰兩段位移sⅠ,sⅡ分別與(s1+s2+s3)、(s4+s5+s6)相等，時間T′=3T，則

結(jié)果與逐差法保持了一致.而在數(shù)據(jù)測獲環(huán)節(jié)，逐差法需多次測量，但兩段法卻只需進行兩次測量.基于此，相關教師認為，數(shù)據(jù)的多段利用并不能夠減少誤差，而且測量次數(shù)的增多反而產(chǎn)生了更大的偶然誤差，正如使用量程為20 cm的刻度尺和量程為3 m的刻度尺測量一個人的身高，前者會帶來更大的誤差，這是逐差法的誤用[1～3].

2逐差法的有效性探討

若僅從紙帶數(shù)據(jù)的測獲次數(shù)角度分析實驗的誤差，上述同仁的觀點準確無誤，但若要以此質(zhì)疑或評定逐差法的有效性則未免有失偏頗.下面筆者從實驗誤差的真實來源出發(fā)，結(jié)合逐差法本質(zhì)，進一步討論逐差法在處理紙帶一類問題時的有效性.

2.1對兩段法的概念界定

為便于討論，首先對上文中提到的“兩段法”進行概念界定.筆者認為，關于“兩段法”至少有兩種完全不同的理解.

第二種,同樣以圖1為例,在打點頻率和計時點不變的情況下，將A,D,G視為3個計數(shù)點，即將紙帶分割為AD和DG兩大段，兩計數(shù)點間T′=3T，此處稱為“兩段法Ⅱ”或“擴大計數(shù)點法”，此方法的實質(zhì)是對數(shù)據(jù)的測量進行優(yōu)化后的逐差法.

以上兩種方法均對紙帶的數(shù)據(jù)進行了充分利用.

2.2回歸實驗的真實誤差來源

對于利用打點紙帶分析勻變速直線運動的加速度的實驗，加速度的實驗值和真實值間存有的偏差主要受到下列因素的影響：

(1)電源頻率的波動導致打點計時器實際打點的時間間隔與期望的打點時間間隔之間存有差異，為便于下文討論，我們可將其視為另一種等效情況，即在打點間隔T無偏差的情況下，紙帶的實際點跡與期望點跡之間出現(xiàn)偏差.

(2)受測量工具、測量人員、數(shù)據(jù)近似等因素的影響，使得紙帶實際點跡的測獲數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)間存在偶然誤差.

(3)對測獲數(shù)據(jù)進行計算時，會存有誤差.

特別說明，紙帶與打點計時器間的摩擦影響的是紙帶的真實運動，不會影響實驗值的偏差.

2.3挖掘逐差法減小誤差的緣由 辨析引文的分析誤區(qū)

據(jù)上文所述，我們不妨將打點紙帶實驗的誤差來源劃分為“打點偏差”和“點距測量”.嚴格來說，在使用打點紙帶求解加速度或進行逐差法有效性評定時，電源波動所導致的打點偏差相對于點距測量的誤差而言是必須考慮的，更何況“點距測量”所帶來的誤差可通過增加測量次數(shù)或使用高精度測量儀器進行有效地減小,就這個角度而言，相較于“點距測量”，“打點偏差”不僅不能忽略，且更值得關注.

逐差法提出的初衷是為了能夠在處理數(shù)據(jù)時更充分地使用打點紙帶的各段數(shù)據(jù)，然后通過求平均值的方式有效地減小實驗誤差.筆者認為，逐差法所減小的誤差正是因“打點偏差”所帶來的偶然誤差.而不少同仁在討論逐差法有效性時，卻為了將問題簡化，所以默認打點的時間間隔T相同，即在忽略電源波動所帶來的“打點誤差”的前提下，對逐差法的有效性展開討論.正因為這種不恰當?shù)暮雎?，隱藏了逐差法在紙帶點跡獲得過程中減小偶然誤差的優(yōu)勢.同時，根據(jù)“點距”的測量誤差，獲得有失客觀的結(jié)論.

2.4展示逐差法在實際誤差來源下的優(yōu)勢

為凸顯逐差法優(yōu)勢，我們假設某次實驗中，打點計時器在打第2個和第3個點跡(B點、C點)時電源頻率分別變大、變小，且波動幅度相同(其余打點時間間隔無偏差).與上文一樣，我們將電源頻率波動等效為,打點間隔T無偏差的情況下，紙帶的實際點跡與期望點跡之間的偏差.可獲得類似于如圖2所示的打點紙帶，其中，實心點表示實際點跡，空心點表示在電源頻率不波動的理想情況下的期望點跡，即圖中si所表示的是實際點距，而xi表示期望點距.

圖2

據(jù)此，可將加速度的誤差評定轉(zhuǎn)換為速度的實驗值與真實值之間的偏差評定.

現(xiàn)依據(jù)v-t圖像的斜率表示加速度的原理，將使用逐差法、算術平均值法和“兩段法Ⅰ”分別處理該數(shù)據(jù)時，所獲取的加速度實驗值相對于期望值的偏離程度進行對比展示，結(jié)果如圖3所示.

結(jié)果表明，若全面考慮誤差的來源，逐差法對于因“打點偏差”所造成的偶然誤差的減小是有效的.

圖3

3結(jié)語

(1)考慮打點時間間隔的波動確實會使問題顯得復雜，但若要客觀地評定逐差法的有效性，這種考慮是十分必要的.

(2)在引入逐差法時，建議教師進一步明確有效利用紙帶數(shù)據(jù)的具體目的——減小“打點偏差”造成的偶然誤差，并且強調(diào)這種方法的必要性.

(3)在逐差法中，若對(s1+s2+s3)、(s4+s5+s6)分別都進行一次性測量，其實質(zhì)就是上文所提及的“擴大計數(shù)點法”(即“兩段法Ⅱ”)，為簡化操作，同時有效減小“測量誤差”，建議在實際操作中采用此方法.

參 考 文 獻

1魏興文.對逐差法求加速度的質(zhì)疑.中學物理教學參考，2013(9):30～31

2李永.紙帶測加速度的方法比較.中學物理教學參考，2012(3):44～46

3鄧雪益.對逐差法算加速度的原理及紙帶數(shù)據(jù)科學性的疑惑.物理教學探討，2013(5)：39，43