基于動態(tài)軋制力的四輥冷軋機七自由度振動特性研究

劉浩然1，張瑩2，時培明3，趙紅旭3

(1. 河北省 特種光纖與光纖傳感實驗室，秦皇島066004;2.天津 一重電氣自動化公司，天津300457； 3.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島066004)

摘要：針對四輥冷軋機座輥系系統(tǒng)，考慮軋輥振動位移對軋制力影響，建立基于動態(tài)軋制力的非線性七自由度振動模型；用平均法求解該模型獲得系統(tǒng)的幅頻特性方程，利用奇異性理論獲得系統(tǒng)的分岔行為。通過現(xiàn)場數(shù)據(jù)分析各參數(shù)對幅頻特性及對系統(tǒng)分岔、混沌特性影響?？蔀樗妮伬滠垯C的動力學(xué)研究、抑制振動提供理論參考。

關(guān)鍵詞：四輥冷軋機；動態(tài)軋制力；平均法；分岔；混沌

中圖分類號:TH113.1;TB123文獻標(biāo)志碼：A

基金項目：國家973基金資助項目(2011CB0132005)

收稿日期：2014-11-12修改稿收到日期：2015-05-20

收稿日期：2014-07-22修改稿收到日期：2014-12-18

Vibration characteristics of a cold rolling mill with a model of seven degrees of freedom and their influence on dynamic rolling force

LIUHao-ran1,ZHANGYing2,SHIPei-ming3,ZHAOHong-xu3(1. College of Information Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China；2. Tianjin first heavy Electric Automation Co.,Ltd, Tianjin 300457, China；3. Institute of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Abstract:Considering the influence of roll vibration on the rolling force, a nonlinear seven degrees of freedom vibration model was established for the stand rolls system of a four-roll cold mill. The amplitude-frequency characteristic equation of the nonlinear multiple degrees of freedom model was derived by using the average method, further, the bifurcation behavior of the system was revealed in light of the singularity theory. The influence of various parameters on the amplitude-frequency characteristic, and the bifurcation and chaos characteristics of the system were analysed with practical data. The results provide a theoretical reference for studying the kinematics and inhibiting the occurrence of vibration of four-roll cold tandem mills.

Key words:four-roll cold mill; dynamic rolling force; average method; bifurcation; chaos

軋機座系統(tǒng)(尤其高速冷連軋機)在軋制過程中，輥系普遍存在的垂直振動會造成板帶厚度波動及表面振痕，嚴重影響板帶質(zhì)量，降低生產(chǎn)效率，并威脅設(shè)備的生產(chǎn)安全，為亟需解決之問題[1-2]。

Younes等[3]據(jù)實驗所得工藝參數(shù)建立軋機座線性垂直振動模型，且將軋件等效成具有線性剛度的彈性元件。馬維金等[4]提出六自由度集中質(zhì)量模型，利用MATLAB軟件計算模型的固有頻率，并與現(xiàn)場測試結(jié)果對比驗證模型的正確性。楊旭等[5]通過建立兩自由度垂向系統(tǒng)非線性自激振動模型，分析非線性參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性及振動特性影響，并利用數(shù)值方法驗證理論推導(dǎo)結(jié)果的正確性。侯東曉等[6]通過分析非線性剛度、阻尼等參數(shù)對系統(tǒng)振動影響知，非線性剛度變化會引起激勵幅值跳躍。因冷連軋機軋制過程的復(fù)雜性，多自由度模型更能正確反映軋機的工作狀態(tài)，因此本文考慮軋輥振動位移對軋制力影響，建立七自由度非線性垂直振動模型；并用平均法對該系統(tǒng)解析求解；據(jù)某廠實際參數(shù)，通過仿真驗證分析系統(tǒng)的幅頻特性、分岔及混沌特性，為抑制軋機輥系間發(fā)生振動提供理論依據(jù)。

1軋機座輥系七自由度非線性垂直振動模型

1.1垂直振動力學(xué)模型

對軋機垂直系統(tǒng)一般采用集中參數(shù)模型，即將垂直模型視為若干慣性元件與彈性元件組成的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。本文將四輥軋機垂直系統(tǒng)簡化為七自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)計算模型，見圖1。其中，m1～m7分別為上機架、液壓缸、上支撐輥系、上工作輥系、下工作輥系、下支承輥系及下機架等效質(zhì)量；k1，c1分別為上、下機架間等效剛度及阻尼；k2，c2分別為上機架與液壓缸間等效剛度及阻尼；k3，c3分別為液壓缸與上支承輥間等效剛度及阻尼；k4，c4分別為上支承輥與上工作輥間等效剛度及阻尼；k5，c5分別為上、下工作輥間等效剛度及阻尼；k6，c6分別為下工作輥與下支承輥間等效剛度及阻尼；k7，c7分別為下支承輥與下機架間等效剛度及阻尼；k8，c8分別為下機架與地面間等效剛度及阻尼；ΔP為軋制力變化量。

1.2垂直振動數(shù)學(xué)模型

據(jù)垂直振動動力學(xué)模型得軋機機械結(jié)構(gòu)振動方程為

(1)

考慮軋機工作過程中上下輥振動位移、速度時刻變化，因此本文采用動態(tài)軋制力模型[7]，即

P(x)=P(x0)+ΔP(Δx)

(2)

式中：P(x0)為未發(fā)生振動時軋制力；ΔP(Δx)為動態(tài)軋制力變化量，Δx=Δx4-Δx5為上下工作輥位移變化量之差。

ΔP(Δx)=b1Δx+b2Δx2+b3Δx3

(3)

以上工作輥為研究對象，考慮動態(tài)軋制力下用軋制力變化量代替上下工作輥間等效剛度及阻尼，據(jù)圖1模型得上工作輥的振動方程為

P(x0)+ΔP(Δx)

(4)

令x3=x30+Δx3，x4=x40+Δx4，x5=x50+Δx5，且x30、x40、x50為穩(wěn)態(tài)位移，Δx3、Δx4、Δx5為位移變化量，則式(4)轉(zhuǎn)化為

k4(x30+Δx3-x40-Δx4)=

P(x40-x50)+ΔP(Δx4-Δx5)

(5)

P(x40-x50)=-k4(x30-x40)

(6)

將式(3)、(6)代入式(5)，得關(guān)于位移變化量的非線性振動方程為

k4(Δx3-Δx4)-b1(Δx4-Δx5)-

b2(Δx4-Δx5)2-b3(Δx4-Δx5)3=0

(7)

為便于表達，令x3=Δx3，x4=Δx4，x5=Δx5，x=Δx4-Δx5，則式(7)可轉(zhuǎn)化為

b1x-b2x2-b3x3=0

(8)

2七自由度非線性振動方程振動響應(yīng)分析

2.1平均法求解系統(tǒng)非線性振動響應(yīng)方程

冷連軋機軋制過程中機座的垂直輥系系統(tǒng)會受前后機座及周圍環(huán)境影響，從而影響板帶表面質(zhì)量。設(shè)軋機受周期性外部擾動Q，則式(1)可寫為

(9)

式中：Q為外部擾動矩陣。

當(dāng)動態(tài)軋制力中非線性項為高階小量時，可認為式(9)的解具有形式為

(10)

由平均法可解出

(11)

式中：

(12)

設(shè)上工作輥受外部擾動為q4cos(ωt)，由式(12)得

f4(aj,θj,φj)=

K45a5cosφ5)-(C43a3sinφ3+C44a4sinφ4+

b2(a4cosφ4-a5cosφ5)2+b3(a4cosφ4-

(13)

則(aj,θj)的微分方程為

(14)

由平均法定義，可導(dǎo)出系統(tǒng)的平均化方程為

(15)

式中：

b2(a4cosφ4-a5cosφ5)2sinφ4+b3(a4cosφ4-

a5cosφ5)cosφ4+b2(a4cosφ4-a5cosφ5)2cosφ4+

(17)

系統(tǒng)(9)與激勵同頻的解為

xsj=asjcos(ωt-θsj),(j=1,2,…,7)

(18)

對應(yīng)平均化方程(15)的非零平衡點(asj,θsj)，滿足超越方程為

U4(asj,θsj)=0，S4(asj,θsj)=0

(19)

由式(19)導(dǎo)出系統(tǒng)的幅頻特性曲線為

(20)

2.2系統(tǒng)非線性幅頻特性分析

以某四輥軋機實際參數(shù)為例，機架輥系各部等效質(zhì)量見表1，等效剛度見表2，等效阻尼見表3。其中，q4=1.5×105N；b1=-2.291 8×1010N/m；b2=-9.769 5×1012N/m；b3=-9.345 2×1016N/m。

表1　機架輥系各部分等效質(zhì)量(kg)

表2　機架輥系各部分等效剛度(GN/m)

表3　機架輥系各部分等效阻尼(MN·S/m)

因動態(tài)軋制力代替上下工作輥間等效阻尼及剛度，故K44=k4，C44=c4。c4，k4取不同數(shù)值時，由仿真獲得上工作輥振動方程的幅頻特性曲線，見圖2、圖3。由圖2看出，阻尼因子不僅影響振幅，亦影響共振區(qū)域，且阻尼因子增大振幅減小，共振區(qū)域亦減小。由圖3看出，剛度主要影響共振振幅，即剛度增加系統(tǒng)共振振幅逐漸增大。

圖2　不同阻尼下幅頻曲線 Fig.2 The amplitude-frequency curves under different damping

圖3　不同剛度下幅頻曲線 Fig.3 The amplitude-frequency curves under different stiffness

3系統(tǒng)非線性分岔特性分析

式(20)兩邊同除以J1，得系統(tǒng)分岔響應(yīng)方程為

(21)

式中：l=-(J2-J3ω2)/J1；h=(J4ω4+J5ω2+J6)/J1；

g=(J7ω2+J8)/J1。

將式(21)兩邊同乘以a4，得

(22)

據(jù)奇異性理論，此時系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集為

(1)分岔點集：B0(Z2)=B1(Z2)=φ(φ為空集)

(2)滯后點集：H0(Z2)={h=0}，H1(Z2)={h=l2/3,l≤0}

(3)雙極限點集：D(Z2)={h=l2/4,l≤0}

(4)轉(zhuǎn)遷集：∑=B0∪B1∪H0∪H1∪D

系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷集將平面分成四個區(qū)域(1)、(2)、(3)、(4) 見圖4，轉(zhuǎn)遷集臨界點與各區(qū)域?qū)?yīng)的分岔拓撲見圖5。圖5中(1)反映系統(tǒng)在分岔點處于穩(wěn)定狀態(tài)，而(2)、(3)、(4)則表示在分岔點出現(xiàn)滯后、跳躍現(xiàn)象，造成軋機產(chǎn)生振動。因此應(yīng)將開折參數(shù)選在系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域。

圖4　轉(zhuǎn)遷集 Fig.4 Transition

圖5　分岔拓撲結(jié)構(gòu) Fig.5 Bifurcation topology

4七自由度非線性系統(tǒng)混沌特性分析

冷連軋機軋制工藝的復(fù)雜性決定整個軋制過程會呈現(xiàn)不同的運動狀態(tài)。軋機輥系系統(tǒng)全局分岔見圖6、圖7。由兩圖看出，系統(tǒng)出現(xiàn)周期、陣發(fā)性混沌及倍周期分岔等多種不同運動狀態(tài)。外擾力取不同值時相軌跡及Poincare截面見圖8～圖12。

圖6　外擾力q 4變化時分岔圖 Fig.6 Bifurcation with changing of external incentive force q 4

圖7中，當(dāng)外擾力q4<3.3×105時，Lyapunov指數(shù)位于零位以下，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期性運動狀態(tài)。圖8中，q4=1×105時相軌跡由三條閉合曲線組成，Poincare截面由三個孤立點組成，反映出此時系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)。

圖7　Lyapunov指數(shù) Fig.7 Lyapunovexponent

圖8　q 4=1×10 5時相軌跡與Poincare截面 Fig.8 The phase trajectories and Poincare with q 4=1×10 5

圖9　q 4=3.3×10 5時相軌跡與Poincare截面 Fig.9 The phase trajectories and Poincarewith q 4=3.3×10 5

圖10　q 4=5×10 5時相軌跡與Poincare截面 Fig.10 The phase trajectories and Poincarewith q 4=5×10 5

圖11　q 4=6.5×10 5時相軌跡與Poincare截面 Fig.11 The phase trajectories and Poincarewith q 4=6.5×10 5

圖12　q 4=8×10 5時相軌跡與Poincare截面 Fig.12 The phase trajectories and Poincare with q 4=8×10 5

外擾力q4處于3.3×105～4×105區(qū)間時系統(tǒng)發(fā)生陣發(fā)性混沌，由圖7 Lyapunov指數(shù)曲線在零位以上、以下交替出現(xiàn)，即系統(tǒng)運動狀態(tài)在混沌運動與周期運動狀態(tài)之間切換。由圖9看出，q4=3.3×105時相軌跡與Poincare截面的圖像表述均滿足系統(tǒng)陣發(fā)性混沌特征。外擾力q4處于4×105～6×105區(qū)間時系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運動狀態(tài)。由圖10相軌跡與Poincare看出，系統(tǒng)相軌跡由八條閉合曲線組成，Poincare截面由八個孤立點組成，此時系統(tǒng)處于周期8運動狀態(tài)。當(dāng)q4=6.5×105時系統(tǒng)由陣發(fā)性混沌退化為周期3運動。由圖11看出，相軌跡反復(fù)纏繞，Poincare截面出現(xiàn)混沌吸引子，且圖7Lyapunov指數(shù)位于零位以上，證明系統(tǒng)此時處于混沌運動狀態(tài)。當(dāng)q4=8×105時系統(tǒng)再次發(fā)生陣發(fā)性混沌，由圖12看出，Poincare截面出現(xiàn)混沌吸引子，Lyapunov指數(shù)大于零，滿足系統(tǒng)混沌狀態(tài)特征。

5結(jié)論

(1)考慮工作輥在軋制過程中振動因素對軋制力影響，建立基于動態(tài)軋制力的七自由度非線性振動模型。

(2)用平均法求解七自由度非線性振動方程獲得上工作輥的幅頻特性方程。分析幅頻曲線知，阻尼因子增大共振振幅、區(qū)域逐漸減??；剛度增大共振振幅增加。

(3)利用奇異性理論討論系統(tǒng)分岔特性，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定運行的開折區(qū)域。分析分岔圖、Lyapunov指數(shù)、相軌跡及Poincare截面知，外擾力變化會使系統(tǒng)呈現(xiàn)不同運動形式。

參考文獻

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第一作者董得義男，博士，副研究員，1979年生

通信作者李志來男，研究員，1965年生

第一作者張大海男，博士生，1988年生

通信作者費慶國男，教授，1977年生