基于泛函極值問題的樹冠形狀分析

劉易成

(國防科學技術(shù)大學理學院， 長沙410073)

[摘要]為了培養(yǎng)工科研究生學習泛函分析課程的興趣，激發(fā)利用泛函分析知識解決實際問題的潛能，鞏固課堂教學效果，本文將樹冠形狀的刻畫問題中的建模過程細化、簡化，提煉成適合研究生課堂教學的教學案例.這種體現(xiàn)數(shù)學思維過程的案例可激發(fā)研究生學習數(shù)學知識的興趣和培養(yǎng)自主思考的創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞]泛函極值; 樹葉質(zhì)量; 樹冠形狀; 案例分析

[收稿日期]2014-10-13

[基金項目]國防科技大學研究生數(shù)學公共課一流課程體系建設(shè)項目

[中圖分類號]O177.1[文獻標識碼]C

1問題背景

在《泛函分析基礎(chǔ)》課程中，泛函的極值問題是一個重點教學內(nèi)容，也是一個教學難點.為了培養(yǎng)工科研究生學習泛函分析課程的興趣，激發(fā)利用泛函分析知識解決實際問題的潛能，鞏固課堂教學效果，根據(jù)我們的研究結(jié)果[1]，將樹冠形狀的刻畫方法提煉簡化為教學案例.

事實上，諸多科學工程問題都可以歸結(jié)為求解給定泛函的極值問題.例如，飛行器的最優(yōu)軌道確定問題可以歸結(jié)為求解給定能量泛函的極小值問題；動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題以及極小曲面問題(肥皂泡)等等.在此，利用泛函極值討論樹冠形狀相關(guān)的問題.

樹木是我們身邊常見的植物，幾乎影響著我們一切生活，比如坐的凳子、睡的床是木材做成的，吸入的氧氣是樹葉釋放的等等.樹冠的外形與哪些因素密切相關(guān)闊葉林為什么多生長在熱帶區(qū)域，而針葉林卻在熱帶區(qū)域很少見為尋找這些問題的答案，通過建立樹冠外形的預(yù)測模型，利用能量守恒原理定性解釋部分問題.

2案例分析與建模

由于每片樹葉為獲得最佳光照效果，都會盡可能暴露于外表面，并減小重疊區(qū).因此，假設(shè)樹冠的外表面積越大，樹葉獲得的光照時間就更多.從而樹冠的外形可以看成是在給定樹冠質(zhì)量條件下，如何使樹冠外表面積最大化而確定的.此時，可以通過建立泛函的條件極值模型確定樹冠的外形.假設(shè)樹的高度為H米，樹冠的高度為HC米，樹干的平均密度為ρ千克每立方米.

由于樹冠的外表面積越大，樹葉暴露在外的面積越大.當樹冠質(zhì)量給定后，可以看做是樹冠的體積給定.因此在樹冠體積固定條件下，樹冠的外形由外表面積最大化確定.由于樹冠是軸對稱的，假設(shè)樹冠外表面由平面曲線旋轉(zhuǎn)而得.記該平面曲線(簡單曲線)的參數(shù)方程為

x(t)=φ(t)，z(t)=ψ(t)，t∈[α，β]，

則樹冠的體積為

同樣，由旋轉(zhuǎn)曲面的表面積計算公式可得

為了確定樹冠的外形，必須計算出φ(t)和ψ(t)的表達式.為此，將樹冠的外形化為如下優(yōu)化問題求解.

(1)

約束條件為

(2)

為了求解優(yōu)化問題(1)和(2)，利用求解泛函極值的歐拉-拉格朗日方法.為此，引入拉格朗日乘子λ，定義拉格朗日函數(shù)：

注意到

利用歐拉-拉格朗日方法，樹冠外形優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為如下歐拉-拉格朗日方程：

化簡后可得

另外，曲線滿足邊值條件：

φ(α)=α0， φ(β)=β0;ψ(α)=α1， ψ(β)=β1.

由此可知，樹冠的外形由上述微分方程邊值問題確定.然而，直接求解上述微分方程邊值問題是一件很困難的事.為此，僅討論幾種常見樹冠外形的樣式.

2.1　旋轉(zhuǎn)心形面

首先，假設(shè)樹冠由倒心形曲線繞中心軸旋轉(zhuǎn)而得. 記該曲線的極坐標方程為

其中a，b為給定常數(shù).由此可知

利用數(shù)學軟件(Mathematica)可計算出此時樹冠的外表面積

同樣可計算出樹冠的體積為

注意到約束條件

求解以上兩個方程可得

因此，這種情形下，樹冠的形狀由曲線

唯一確定.

2.2　旋轉(zhuǎn)橢球面

其次，假設(shè)樹冠由橢圓曲線繞中心軸旋轉(zhuǎn)而得. 記該曲線的極坐標方程為

其中R，Hc為給定參數(shù)(R

與

因此參數(shù)R，Hc滿足關(guān)系式

因此，這種情形下，樹冠的形狀由曲線

唯一確定.

3進一步討論

3.1　如何計算樹冠質(zhì)量

首先確定整棵樹的質(zhì)量.設(shè)樹干在高為h米處的橫截面積為S(h)平方米. 設(shè)樹干的密度為ρ千克每立方米，承載的最大壓強為P(h) 牛每平方米. 考慮樹干的高度從h變到h+Δh， 則橫截面積由S(h)變到S(h+Δh). 基于原料最省原理，橫截面積的變化量

ΔS=S(h+Δh)-S(h).

正好承載樹干發(fā)生的重量變化量ΔG. 一方面，ΔG=-ΔS·P(h). 另一方面，

ΔG≈S(h)·Δh·ρ·g，

其中g(shù)為重力加速度. 因此，

令Δh趨于零， 可得

記地表面的橫截面為S0， 即S(0)=S0， 則樹干的橫截面積滿足如下柯西問題

直接求解可得

為了計算樹的質(zhì)量，將樹枝、樹葉的質(zhì)量看成是集中于樹干.此時，樹干的高度將是無窮大.因此樹干的總質(zhì)量為

從而樹冠的質(zhì)量就是

3.2　樹冠大小與氣候帶的關(guān)系

接下來，從能量角度討論樹冠外形的大小與氣候帶的關(guān)系.以橢球樹冠為例：假設(shè)樹冠的質(zhì)量分布是均勻的.樹的各個部分(樹葉、樹枝等)所需的養(yǎng)分都是通過光合作用完成的.從能量守恒的角度來看，光合作用儲存的能量應(yīng)與從地面將養(yǎng)分輸送到樹冠所做的功相當.首先，輸送養(yǎng)分所做的功為

另一方面，根據(jù)Stefan-Boltzmann原理[2]， 單位時間內(nèi)單位面積的樹葉通過光合作用可轉(zhuǎn)化的能量為

Jy=αyσT4，

其中αy為轉(zhuǎn)化率， σ=5.67×10-8W·m-2·K-4，T表示溫度.因此，樹葉光合作用的總能量為

其中My表示總質(zhì)量，ρy表示樹葉平均密度，τ表示光合作用時長，z表示樹葉的厚度.

鑒于能量守恒原理， 可以給出光合作用轉(zhuǎn)化能量J總與做功WC之間的關(guān)系:

WC=GJ總，

其中G為比例常數(shù).因此，對于橢球樹冠，有如下等式

該公式蘊含樹葉的厚度和氣候帶(溫度刻畫)之間的關(guān)系：當其他參數(shù)固定時，樹葉的厚度隨溫度增加而增加.這可以解釋為什么大部分具有又大又厚樹葉的樹種常常生長在熱帶的原因.

4結(jié)論

樹冠的形狀形形色色，如何確定樹冠外形看似與數(shù)學關(guān)系不是很密切的問題.但事實上，通過合理抽象，將樹葉暴露最大化轉(zhuǎn)化為樹冠外表面積最大化，進而轉(zhuǎn)化為體積固定，表面積最大化的條件極值問題.進一步，在能量守恒的觀點下，定性解釋了為什么具有又大又厚樹葉的樹種常常生長在熱帶的原因. 這種解決問題的思路有助于研究生在課程學習階段接受和自覺應(yīng)用.可激發(fā)研究生學習數(shù)學知識的興趣和培養(yǎng)自主思考的創(chuàng)新能力.

[參考文獻]

[1]Wu J， Liu Y C. Mathematical models to estimate the mass of leaf and sketch the shape of tree[J]. Mathematical Modeling and Analysis， 2013， 18(2): 236-249.

[2]Cole George H A， Woolfson M M. Planetary Science: The Science of Planets Around Stars (1st ed.)[M]. Avon, UK: Institute of Physics Publishing， 2002.

Analysis of the Crown Shape Based on Functional

Extreme Value Problem

LIUYi-cheng

(College of Science， National University of Defense Technology，Changsha 410073， China)

Abstract:In order to develop the interest in learning the course of functional analysis for such graduates in engineering fields， to excite their innovation potential to solve practical problems using the functional analysis knowledge， to evaluate the effect of classroom teaching， in this paper， the author posts a teaching case for graduate teaching by simplifying and refining the modeling process in depiction the crown shape. It reflects the mathematical thought in the modeling process and excites the interest of learning mathematical knowledge， and develops the abilities of independent thinking and innovation.

Key words: functional extreme value; mass of tree leaf; crown shape; teaching case analysis