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        一元h-F凸函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判別法

        2016-01-06 01:40:32時統(tǒng)業(yè),萬福,丁霞
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年3期

        一元h-F凸函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判別法

        時統(tǒng)業(yè),萬福,丁霞

        (海軍指揮學(xué)院信息系,南京211800)

        [摘要]利用h-F凸函數(shù)的定義,在h滿足一定條件的情況下,導(dǎo)出滿足條件P1,P2的h-F凸函數(shù)的等價條件.

        [關(guān)鍵詞]h-F凸函數(shù); 等價條件; 可導(dǎo)函數(shù)

        [收稿日期]2015-03-09

        [中圖分類號]O178[文獻標識碼]C

        1引言

        定義1[1]稱集合K?n是關(guān)于F的廣義凸集,若存在向量值映射F∶K×K×[0,1]→n,使得?λ∈[0,1],?x,y∈K,有F(x,y,λ)∈K.

        與廣義凸集有關(guān)的文獻可見[1-8].

        定義2[2]設(shè)K?n是關(guān)于F的廣義凸集,稱F在K上滿足條件P1,P2,若?α,β∈[0,1],且α<β,?x,y∈K,有

        定義3[3]設(shè)K?n,J?,[0,1]?J.h∶J→[0,+∞)且h不恒為零,集合K?n是關(guān)于F的廣義凸集,稱f∶K→[0,+∞)在K上是h-F凸函數(shù),若?λ∈[0,1],?x,y∈K,有

        f[F(x,y,λ)]≤h(λ)f(x)+h(1-λ)f(y).

        在定義3中,若

        F(x,y,λ)=λx+(1-λ)y,h(λ)=λ,

        本文的目的是當F在K上滿足條件P1, P2,h滿足一定條件,F(xiàn)(x,y,λ)是[0,1]上關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù),f(F(x,y,λ))是[0,1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù),給出h-F凸函數(shù)的等價條件.

        2主要結(jié)果

        定理1設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集,F(xiàn)在K上滿足條件P1,[0,1]?J?.h∶J→[0,+∞)滿足h(0)=0,h(1)=1,且h′+(0)和h′-(1)存在.對任意x,y∈K,F(xiàn)(x,y,λ)是[0,1]上關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù),f(F(x,y,λ))是[0,1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若f∶K→[0,+∞)在K上是h-F凸函數(shù),則對任意x,y∈K,α∈[0,1],有

        (1)

        證因為f在K上是h-F凸函數(shù),F(xiàn)在K上滿足條件P1,所以對任意x,y∈K,α,β∈[0,1],α<β,有

        由此得

        (2)

        (3)

        在式(3)中,令β→α+0,得

        對任意α∈[0,1)成立.在式(3)中,令α→β-0,得

        對任意β∈(0,1]成立.綜上所述,對任意α∈[0,1],式(1)成立.

        定理2設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集,F(xiàn)在K上滿足條件P2,[0,1]?J?.h∶J→[0,+∞)滿足h(0)=0,h(1)=1,且h′+(0)和h′-(1)存在,對任意x,y∈K,F(xiàn)(x,y,λ)是[0,1]上關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù),f(F(x,y,λ))是[0,1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若f∶K→[0,+∞)在K上是h-F凸函數(shù),則對任意x,y∈K,α∈[0,1),有

        (4)

        證因為f在K上是h-F凸函數(shù),F(xiàn)在K上滿足條件P2,所以對任意x,y∈K,α,β∈[0,1],α<β,有

        由此得

        (5)

        (6)

        在式(6)中,令β→α+0得式(4)對任意α∈[0,1)成立.

        定理3設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集,F(xiàn)在K上滿足條件P1,[0,1]?J?.h∶J→[0,+∞),h′+(0)和h′-(1)存在,對任意x,y∈K,f(F(x,y,λ))是[0,1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若對任意x,y∈K,α∈(0,1),式(4)成立,則有式(1)成立.

        證由式(4)可知,對任意x,y∈K,α∈(0,1),有

        (7)

        在式(7)中,以F(x,y,1)替代x,則由條件P1,對任意α∈(0,1),F(xiàn)(y,x,1-α)化為

        F(y,F(x,y,1),1-α)=F(x,y,α),

        而對任意λ∈(0,1],F(xiàn)(y,x,λ)化為

        F(y,F(x,y,1),λ)=F(x,y,1-λ),

        于是式(7)化為式(1).

        定理4設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集,F(xiàn)在K上滿足條件P1,[0,1]?J?.h∶J→[0,+∞),對任意x,y∈K,f(F(x,y,λ))是[0,1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若對任意x,y∈K,α∈(0,1),式(1),(4)成立,則對任意x,y∈K,α∈(0,1),有

        f(F(x,y,α))≤h(α)f(x)+h(1-α)f(y).

        (8)

        證式(4)即

        (9)

        式(9)和式(1)分別乘以1-α和α,然后相加得

        式(8)得證.

        定理5設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集,F(xiàn)在K上滿足條件P1,[0,1]?J?.h∶J→[0,+∞),h′+(0)和h′-(1)存在,對任意x,y∈K,f(F(x,y,λ))是[0,1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若對任意x,y∈K,α∈[0,1],式(1)成立,則對任意x,y∈K,α∈(0,1),有

        (10)

        證由式(1)可知,對任意x,y∈K,α∈[0,1],有

        (11)

        在式(11)中,以F(x,y,1)替代x,則由定理3的證明可知,當α∈(0,1)時,式(11)化為

        也即式(10)成立.

        定理6設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集,F(xiàn)在K上滿足條件P1,[0,1]?J?.h∶J→[0,+∞)滿足h(0)=0,h(1)=1,且h′+(0)>0,h′-(1)>0,對任意α∈[0,1]有

        對任意x,y∈K,F(xiàn)(x,y,λ)是[0,1]上關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù),f(F(x,y,λ))是[0,1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù),則下面命題等價:

        (i)f在K上是h-F凸函數(shù);

        (ii) 對任意x,y∈K,α∈[0,1],式(1)成立,且有

        f(F(x,y,1))≤f(x),f(F(x,y,0))≤f(y);

        (iii) 對任意x,y∈K,α∈(0,1),式(4)成立,且有

        f(F(x,y,1))≤f(x),f(F(x,y,0))≤f(y).

        證(i)?(ii).由定理1得證.

        (ii) ? (iii).若對任意x,y∈K,α∈[0,1],式(1)成立,則由定理5,對任意x,y∈K,α∈(0,1),式(10)成立.又因f(F(x,y,1))≤f(x),h′+(0)>0,故對任意x,y∈K,α∈(0,1),式(4)成立.

        (iii) ? (i).若對任意x,y∈K,α∈(0,1),式(4)成立,則由定理3知,對任意x,y∈K,α∈(0,1),式(1)也成立.再由定理4知對任意x,y∈K,α∈(0,1),有式(8)成立.又因

        f(F(x,y,1))≤f(x),f(F(x,y,0))≤f(y),

        故式(8)對α=0和α=1都成立,由定義知f在K上是h-F凸函數(shù).

        推論6.1設(shè)f(x)是[a,b]?(0,∞)上的可導(dǎo)函數(shù),則f∶[a,b]→[0,+∞)在I上是h凸函數(shù)當且僅當對任意y,z∈[a,b],y≠z,有

        h′-(1)f(z)-h′+(0)f(y)≤(z-y)f′(z).

        (12)

        證根據(jù)定理6,只需證明當F(x,y,λ)=λx+(1-λ)y時,式(1)與式(12)等價.事實上,若式(12)成立,取z=αx+(1-α)y并注意到

        與推論6.1的證明類似,還可證明下面的推論6.2和推論6.3.

        推論6.2設(shè)f(x)是[a,b]?(0,∞)上的可導(dǎo)函數(shù),則f∶[a,b]→[0,+∞)是h-GA凸函數(shù)當且僅當對任意y,z∈[a,b],y≠z,有

        h′-(1)f(z)-h′+(0)f(y)≤zf′(z)(lnz-lny).

        推論6.3設(shè)f(x)是[a,b]?(0,∞)上的可導(dǎo)函數(shù),則f∶[a,b]?(0,∞)→[0,+∞)在[a,b]上是h-p凸函數(shù)當且僅當對任意y,z∈[a,b],y≠z,有

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        Derivation Diagnostic Method of h-F-Convex

        Functions of One Variable

        SHITong-ye,WANFu,DINGXia

        (Department of Information, PLA Naval Command College,Nanjing 211800, China)

        Abstract:With the aid of the definition of h-F-convex functions,several equivalent conditions of h-F-convex functions satisfying condition P1,P2 are obtained when h satisfying certain conditions.

        Key words:h-F-convex function; equivalent condition; differentiable function

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