反常二重積分收斂性的判定

劉繼成，王湘君

(華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢 430074)

[摘要]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))》教材在第21.8節(jié)介紹了反常二重積分收斂的定義、判定定理，作者發(fā)現(xiàn)教材中對(duì)本節(jié)內(nèi)容的處理不夠清晰，特別是沒(méi)有給出定理21.19關(guān)于反常二重積分收斂等價(jià)于絕對(duì)收斂的直觀解釋.本文優(yōu)化了該節(jié)的內(nèi)容，理順了反常二重積分收斂的判定方法，證明了無(wú)界區(qū)域上的二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分的定理，構(gòu)造例子說(shuō)明了反常一重積分收斂與反常二重積分收斂的本質(zhì)區(qū)別.通過(guò)分析例子表明，在本文框架下判定反常二重積分收斂性及計(jì)算積分值是非常有效的.

[關(guān)鍵詞]反常二重積分； 絕對(duì)收斂； 無(wú)界區(qū)域

[收稿日期]2015-03-24

[基金項(xiàng)目]華中科技大學(xué)自主創(chuàng)新研究基金(2014TS066)

[中圖分類號(hào)]O172.2[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

通訊作者注王湘君為.

1反常二重積分收斂的定義

首先敘述無(wú)界區(qū)域上的反常二重積分收斂的定義，參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]P.279.

定義1設(shè)f(x,y)為定義在無(wú)界區(qū)域D上的二元函數(shù).若對(duì)于平面上任一包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線γ，f(x,y)在曲線γ所圍的有界區(qū)域Eγ與D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可積.令

若極限

存在有限，且與γ的取法無(wú)關(guān)，則稱f(x,y)在D上的反常二重積分收斂，并記

(1)

2非負(fù)函數(shù)反常二重積分收斂的判定

若f(x,y)是非負(fù)的，定義1等價(jià)于只要存在一列包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線序列γn，滿足Eγn?Eγn+1且當(dāng)n→∞時(shí)dγn→+∞，其中Eγ為γn所圍的有界區(qū)域，f(x,y)在Dn=Eγn∩D上可積，且極限(1)存在.由被積函數(shù)的非負(fù)性及單調(diào)收斂定理，極限存在等價(jià)于有上界.因此，對(duì)非負(fù)被積函數(shù)有下面的結(jié)論，見(jiàn)文獻(xiàn)[1]P.280定理21.17.由定義1，下面定理?xiàng)l件的必要性是顯然的.

定理2設(shè)在無(wú)界區(qū)域D上f(x,y)≥0，γ1,γ2,…,γn,…為一列包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線序列，滿足

其中Dn=Eγn∩D，則反常二重積分(1)收斂，并且

正如上面的解釋，利用定理2，要判斷非負(fù)函數(shù)在無(wú)界區(qū)域上反常積分的收斂性及積分值，只需對(duì)為一列包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線序列驗(yàn)證性質(zhì)(i)和(ii)，同時(shí)得到積分收斂性和積分值.通常，選擇En=[-n,n]×[-n,n]或者En={(x,y)|x2+y2≤n2}，γn為其邊界.顯然，γn滿足(i).對(duì)于(ii)，由單調(diào)收斂定理，只需驗(yàn)證

例1證明反常二重積分

(2)

γn滿足(ii).由定理2知，積分(2)收斂，且

注1文獻(xiàn)[1]中證明例1的方法是利用P.281定理21.18.經(jīng)比較，直接利用定理2更簡(jiǎn)單.

定理3設(shè)f(x),g(x)≥0，且無(wú)窮積分

例2計(jì)算反常積分

的值.

解考察二重反常積分

例3若p,q>0，則

證對(duì)Gamma函數(shù)Γ(p)，令x=u2，則dx=2udu，則

對(duì)Beta函數(shù)B(p,q)，令x=cos2θ，則dx=2cosθdθ，則

由定理3，有

=B(p,q)·Γ(p+q).

3一般函數(shù)反常二重積分收斂的判定

為了對(duì)一般函數(shù)反常二重積分收斂性進(jìn)行判定，需要下面的Cauchy收斂準(zhǔn)則.

其中B(0,R)是以原點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓域.

證必要性是顯然的，下證充分性.考慮函數(shù)

函數(shù)F(R)對(duì)所有的R有定義，且由Cauchy條件知，當(dāng)R→+∞時(shí)，F(xiàn)(R)收斂，其極限記為I.?ε>0，存在R>0使|F(R)-I|≤ε.對(duì)于平面上任一包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線γ，且dγ≥R，有

定理5(比較判別法)設(shè)f(x,y)為定義在無(wú)界區(qū)域D上的二元函數(shù).若對(duì)于平面上任一包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線γ，f(x,y)在曲線γ所圍的有界區(qū)域Eγ與D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可積.又設(shè)滿足同樣條件的非負(fù)函數(shù)g(x,y)滿足

|f(x,y)|≤g(x,y)，?(x,y)∈D，

證直接由定理2和定理3立得.

例4設(shè)D=(-∞,+∞)×(-∞,+∞)，判斷反常二重積分

的收斂性，并說(shuō)明理由.當(dāng)積分收斂時(shí)，求積分的值.

解首先證明I絕對(duì)收斂.令Dn=[-n,n]×[-n,n], 則當(dāng)n→+∞時(shí)，dn→+∞，且

所以，I絕對(duì)收斂.其次，直接計(jì)算

4條件收斂蘊(yùn)含絕對(duì)收斂的直觀理解

對(duì)于反常二重積分，可以證明：∫Df(x,y)dσ條件收斂，則必定絕對(duì)收斂 (見(jiàn)[1] P283定理21.19，或者證明見(jiàn)[2] P276定理13.4.2).這一點(diǎn)與反常一重積分有本質(zhì)的不同.為了能直觀上理解該性質(zhì)，在本節(jié)中我們將以例子來(lái)給予分析和比較.由此，要判斷一般函數(shù)反常二重積分的收斂，等價(jià)于判斷其絕對(duì)值的非負(fù)函數(shù)積分的收斂，這已在第2節(jié)和第3節(jié)中討論.

我們首先回顧無(wú)窮限反常一重積分的定義(參見(jiàn)[1]上冊(cè)P272)，然后用例子說(shuō)明，反常一重積分收斂與反常二重積分收斂不同性質(zhì)的本質(zhì)是由于定義不同造成的.

定義6設(shè)函數(shù)f(x)定義在無(wú)窮區(qū)間[a,+∞)上，且在任何有限區(qū)間[a,u]上可積，如果存在極限

則稱此極限J為函數(shù)f(x)在[a,+∞)上的無(wú)窮限反常積分，記作

h(x,y)=f(x)g(y)，

其中f(x)與例5中相同，

現(xiàn)在來(lái)考察反常二重積分

是否收斂，是否絕對(duì)收斂.

最后一個(gè)等式是因?yàn)閿?shù)列

正是如此，反常二重積分必須是定義1中對(duì)任意的區(qū)域Dγ的極限來(lái)定義，而不是某類特別的區(qū)域.

另外，如果將定義6改為下面的形式，則反常一重積分與反常二重積分收斂性質(zhì)相同.

定義6′設(shè)f(x)為定義在無(wú)窮區(qū)間[a,+∞)上的函數(shù)，若對(duì)R上任一包含原點(diǎn)的有界集合En，f(x)在En與[a,+∞)的交集En∩[a,+∞)=Dn上恒可積.設(shè)γn為En的邊界，令

dn=inf{x|x∈γn}.

若極限

存在有限，且與En的選取無(wú)關(guān)，則稱f(x)在[a,+∞)上的無(wú)窮限反常積分收斂，記作

發(fā)散.

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M]. 北京：高等教育出版社， 2014.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路. 數(shù)學(xué)分析[M]. 2版. 北京：高等教育出版社， 2004.

[3]卓里奇B A. 數(shù)學(xué)分析[M]. 蔣鐸，王昆楊，周美珂，鄺榮雨譯. 4版. 北京：高等教育出版社， 2006.

[4]崔尚斌. 數(shù)學(xué)分析教程[M]. 北京：科學(xué)出版社，2013.

[5]吳良森，毛羽輝，韓士安，吳畏. 數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(下冊(cè))[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

On Criteria for Convergence of Improper Double Integral

LIUJi-cheng,WANGXiang-jun

(School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

Abstract:The definition and criteria for convergence of improper double integral were introduced in Section 21.8 of “Mathematical Analysis”, written by Department of Mathematics, East China Normal University. We found that contents in this section are unclear; especially the conclusion of Theorem 21.19 is not intuitively explained. In this paper, we optimize contents of this section, rationalize the criteria for convergence of improper double integral, obtain a theorem to transform improper double integral on unbounded domain into an iterated integral, give the intuitive explanation of Theorem 21.19 and calculate some examples by using the framework in this paper. By analyzing the examples, our framework is very effective to judge the convergence and calculate the value of improper double integral.

Key words: improper double integral; absolute convergence; unbounded domain