一類多項(xiàng)式系數(shù)二階線性微分方程解法的研究

胡亦鄭1，李素梅2，羅勇1

(1. 溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州325035；2. 西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安710049)

[摘要]給出了一類具有多項(xiàng)式系數(shù)的二階線性微分方程有多項(xiàng)式型特解和通解的充要條件，并在Maple下實(shí)現(xiàn)了這類微分方程具有多項(xiàng)式型特解和通解自動判定和求解的算法.

[關(guān)鍵詞]多項(xiàng)式系數(shù)； 多項(xiàng)式型特解； 算法實(shí)現(xiàn)

[收稿日期]2014-12-04

[基金項(xiàng)目]浙江省教育廳項(xiàng)目(Y2013127178)

[中圖分類號]O175.1[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

1引言

二階線性常微分方程

P(x)y″+Q(x)y′+R(x)y=f(x)

(1)

在自然與工程技術(shù)中有著極其廣泛的應(yīng)用，對于它的求解問題，也一直為大家所關(guān)注.

眾所周知，如果已知(1)對應(yīng)的齊次方程：

P(x)y″+Q(x)y′+R(x)y=0

(2)

的通解，利用常數(shù)變易法，即可求出(1)的通解. 而對于方程(2)，如果已知它的一個(gè)特解，依照Liouville公式，可用積分的方法求出與線性無關(guān)的另一個(gè)特解，從而可求出它的通解[1]，即

(3)

通過這種方法，將求解方程(1)的通解的問題轉(zhuǎn)化為求方程(2)的一個(gè)特解的問題.在學(xué)習(xí)(2)這類方程時(shí)，可知當(dāng)P(x)，Q(x)，R(x)為常數(shù)時(shí)，總是可解的，因此可以把這類方程看作"可解方程".但在實(shí)際問題上遇到的方程大多數(shù)不屬于可解范疇.對于這類問題，通常會采用冪級數(shù)法，可以得到其在某鄰域內(nèi)的局域解，但這是無窮級數(shù)解或近似解；另外還有較多人提出不同的方法來解決一些具有某些特點(diǎn)的變系數(shù)方程，比如將一類變系數(shù)二階線性常微分方程轉(zhuǎn)化為已知的特殊的可解方程或者將變系數(shù)方程化為常系數(shù)方程等[2，3].

本文主要通過遞推公式給出了系數(shù)為多項(xiàng)式的二階線性齊次常微分方程存在多項(xiàng)式特解和通解的充要條件，該條件簡單、易于判斷，是一個(gè)可以算法化的條件. 進(jìn)一步給出了Maple程序，實(shí)現(xiàn)自動判定和求方程的多項(xiàng)式型特解或通解.

2主要結(jié)論

引理1設(shè)A為n×m的矩陣，X為m維列向量，齊次線性方程組AX=0有非零解且非零解第一個(gè)分量不為零的充要條件是

為AX=0的解.將AX=0寫成分塊矩陣方程的形式，即

(4)

等價(jià)于矩陣方程(4)有解

當(dāng)且僅當(dāng)

即有

首先來討論方程系數(shù)為2次多項(xiàng)式的情形.不妨設(shè)方程(2)的系數(shù)為

(5)

定理2具有(5)形式系數(shù)的二階齊次線性常微分方程(2)存在m次多項(xiàng)式型特解的充要條件是

其中Tm為(m+2)×(m+1)矩陣，即

證若方程(2)具有一次多項(xiàng)式特解，即

y=A1x+A0(A1≠0)，

則將y代入方程(2)的左邊，有

左邊 =a32A1x3+(a22A1+a31A1+a32A0)x2+(a21A1+a30A1+a31A0)x+a20A1+a30A0

這里

故由引理1可知，要使方程(2)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)有

若方程(2)具有二次多項(xiàng)式特解，即

y=A2x2+A1x+A0(A2≠0)，

則將y代入方程(2)的左邊，有

左邊 =a32A2x4+(2a22+a31)A2x3+(2a12+2a21+a30)A2x2+(2a11+2a20)A2x+2a10A2

這里

故由引理1可知，要使方程(2)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)有

一般地，若方程(2)具有m次多項(xiàng)式特解，即

y=Amxm+Am-1xm-1+…+A1x+A0(Am≠0)，

則將y代入方程(2)的左邊，有

左邊 =a32Amxm+2+(ma22+a31)Amxm+1+[(m2-m)a12+ma21+a30]Amxm

+[(m2-m)a11+ma20]Amxm-1+(m2-m)a10Amxm-2+a32Am-1xm+1

這里

故由引理1可知，要使方程(2)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)有

定理2得證.

定理3若a22≠0，則系數(shù)具有(5)形式的二階齊次線性常微分方程(2)存在m次多項(xiàng)式型特解的充要條件是

證由定理2可知，微分方程(2)具有m次多項(xiàng)式特解當(dāng)且僅當(dāng)

注意到Tm的第一行中第一個(gè)元素為ma22+a31，其余為0，故由

知必有

ma22+a31=0，

即

且Tm-1中對角線元素為

ka22+a31≠0，k=0,…,m-1,

即

故在上述條件下，微分方程(2)具有多項(xiàng)式特解等價(jià)于

注由定理3知，當(dāng)a22≠0，具有(5)形式的二階齊次線性常微分方程(2)至多具有一多項(xiàng)式特解.

定理4系數(shù)具有(5)形式的二階齊次線性常微分方程(2)存在多項(xiàng)式通解的充要條件是

a32=0,a22=0，a31=0,f(m)=m(m-1)a12+ma21+a30

有兩個(gè)整數(shù)解m1

證由定理2，3可知，有

a32=0,a22=0,a31=0.

當(dāng)a32=0,a22=0,a31=0時(shí)，注意到Tm中的

Tm(m+1,m+1)=0,Tm(i,i)=Tm(i,i+1)=0,i=1,2,…,m，

f(m)=0,m∈+.

當(dāng)f(m)=0有唯一正整數(shù)解m(可以是重根)時(shí)，注意到此時(shí)

f(k)≠0,k=0,1,…,m-1，

故TmX=0有一維的非零解，故只有唯一多項(xiàng)式特解，不能構(gòu)成多項(xiàng)式通解.當(dāng)f(m)=0有兩個(gè)正整數(shù)解m1

當(dāng)且僅當(dāng)Det(Tm2,m1)=0.該充要條件得證.

接下來討論方程系數(shù)為n次多項(xiàng)式的情形.不妨設(shè)方程(2)的系數(shù)為

(6)

定理5具有(6)形式系數(shù)的二階齊次線性常微分方程(2)存在m次多項(xiàng)式型特解的充要條件是

其中Tm為(m+n)×(m+1)矩陣，即

證類似定理2的證明. 若方程(2)具有m次多項(xiàng)式特解，即

y=Amxm+Am-1xm-1+…+A1x+A0(Am≠0),

則將y代入方程(2)的左邊

=m(m-1)a1,nAmxn+m-2+m(m+1)a1,n-1Amxn+m-3+…+m(m-1)a1,0Amxm-2

+ma2,nAmxn+m-1+ma2,n-1Amxn+m-2+ma2,n-2Amxn+m-3+…+ma2,0Amxm-1

+a3,nAmxn+m+a3,n-1Amxn+m-1+a3,n-2Amxn+m-2+…+a3,1Amxm+1+a3,0Amxm

+a3,nAm-1xn+m-1+(xn+m-2xn+m-3…x1)Tm-1(Am-1…A0)′

=a3,nAmxn+m+(xn+m-1xn+m-2…x1)Tm(Am…A0)′,

這里

故由引理1可知，要使方程(2)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)有

定理5得證.

由定理5，類似于定理3、定理4的證明可知如下定理.

定理6若a2,n≠0，則具有形式(6)系數(shù)的二階齊次線性常微分方程(2)存在m次多項(xiàng)式型特解的充要條件是

定理7具有形式(6)系數(shù)的二階齊次線性常微分方程(2)存在多項(xiàng)式通解的充要條件是

a3,n=0,a2,n=0,a3,n-1=0,f(m)=m(m-1)a1,n+ma2,n-1+a3,n-2

有兩個(gè)正整數(shù)解m1

rank(Tm1)=m1,rank(Tm2)=m2-1.

3算法和例子

在這節(jié)中將給出自動判定具有多項(xiàng)式系數(shù)的二階線性常微分方程具有多項(xiàng)式型特解和通解的簡單算法，并在Maple下實(shí)現(xiàn)了該算法，同時(shí)給出具體的例子進(jìn)行驗(yàn)證.

算法:

輸入：常微分方程(2)的系數(shù)P(x),Q(x),R(x)[a1,n,…,a10,a2,n,…,a20,a3,n,…,a30].

輸出：判定方程(2)是否存在多項(xiàng)式特解或通解. 若是，給出特解或通解.

PS={二階線性常微分方程(2)系數(shù)a1,n,…,a10,a2,n,…,a20,a3,n,…,a30}

若a3,n≠0返回(無多項(xiàng)式特解);

若a2,n≠0

求解線性方程TmX=0的非零解，構(gòu)造并返回(多項(xiàng)式特解)

否則返回(無多項(xiàng)式特解);

否則/* 即:a2,n=0

若a3,n-1≠0返回(無多項(xiàng)式特解);

求解m(m-1)a1,n+ma2,n-1+a3,n-1=0，設(shè)解為m1,m2;

若m1,m2都不是正整數(shù)，返回(無多項(xiàng)式特解);

若m1,m2中只有一個(gè)是正整數(shù)，設(shè)為m

求解線性方程TmX=0的非零解，構(gòu)造并返回(多項(xiàng)式特解)

否則返回(無多項(xiàng)式特解);

若m1,m2都是正整數(shù)，設(shè)m1

求解線性方程Tm2X=0的非零解，構(gòu)造并返回(多項(xiàng)式通解)

否則返回(無多項(xiàng)式通解).

例1求(x2+x+1)y″+(x2+2x+1)y′+(-x-1)y=0的多項(xiàng)式特解.

解輸入系數(shù)多項(xiàng)式

P(x)=x2+x+1,Q(x)=x2+2x+1,R(x)=-x-1;

利用算法，輸出

存在多項(xiàng)式型特解，特解是y=x+1.

例2求(-1/3x2+x+18)y″+(x+1)y′-y=0的多項(xiàng)式通解.

解輸入系數(shù)多項(xiàng)式

P(x)=-1/3x2+x+18,Q(x)=x+1,R(x)=-1;

利用算法，輸出

存在多項(xiàng)式型特解，特解是y=x+1,y=-972-27x2+x3，

故有多項(xiàng)式型特解，通解是y=C1(x+1)+C2(-972-27x2+x3).

例3求如下多項(xiàng)式

(x5-23323/60x4-23323/360x3-23323/2160x2-23353/12960x+6/5)y″

+(23333/2592-6x4+23321/12x3+23321/72x2+23321/432x)y′

+(1/36+6x3+x2+1/6x)y=0

的通解.

解輸入系數(shù)多項(xiàng)式

P(x)=x5-23323/60x4-23323/360x3-23323/2160x2-23353/12960x+6/5,

Q(x)=23333/2592-6x4+23321/12x3+23321/72x2+23321/432x

R(x)=1/36+6x3+x2+1/6x

利用算法，輸出存在多項(xiàng)式型特解，特解是y=-23333+72x,y=432-5x2+432x6，故有多項(xiàng)式型通解，通解是

y=C1(72x-23333)+C2(432-5x2+432x6).

[參考文獻(xiàn)]

[1]東北師范大學(xué)微分方程教研室. 常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]閻恩讓. 變系數(shù)二階線性微分方程可解的充要條件[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，31(5)：796-800.

[3]孫智勇. 變系數(shù)二階常微分求解的基本研究及Maple在其中的應(yīng)用[M]. 沈陽：東北師范大學(xué)，2006.

The Study of the Solutions for a Second Order Linear

Differential Equation with Polynomial Coefficients

HUYi-zheng1，LISu-mei2，LUOYong1

(1. College of Mathematics and Information Science ， Wenzhou University，Wenzhou Zhejiang 325035， China;

2. School of Mathematics and Statistics， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049 ，China)

Abstract:The sufficient and necessary condition that there exists the polynomial particular solutions and the generalized solutions of a second order linear differential equation with polynomial coefficients is given. And it is realized to automatically determine whether the second order linear differential equation with polynomial coefficients has polynomial particular solutions and the generalized solutions and to automatically solve the polynomial particular solutions and the generalized solutions in Maple.

Key words: polynomial coefficient; polynomial particular solution; algorithm