多項(xiàng)式環(huán)中單項(xiàng)式理想的分解

唐慧，吳漢捷，褚利忠

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇蘇州215006)

[摘要]利用單項(xiàng)式理想生成元的性質(zhì)，給出了一類特殊單項(xiàng)式理想(生成元是變量的純冪)的冪的分解表達(dá)式，這不僅拓寬了我們對(duì)多項(xiàng)式理論內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，而且這樣的分解表達(dá)式提供了這類單項(xiàng)式理想正則度(Castelnuovo-Mumford regularity) 計(jì)算的方法.

[關(guān)鍵詞]多項(xiàng)式環(huán)； 單項(xiàng)式理想； 單項(xiàng)式理想的分解

[收稿日期]2013-11-30;[修改日期]2015-04-17

[基金項(xiàng)目]蘇州大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃；國(guó)家自然科學(xué)基金(11201326)

[中圖分類號(hào)]O153.3[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要課程， 而多項(xiàng)式環(huán)是抽象代數(shù)里重要的知識(shí)點(diǎn). 本文通過(guò)對(duì)某些特殊單項(xiàng)式理想分解的討論，加深了對(duì)多項(xiàng)式理論內(nèi)容的理解，更為有意義的是，本文中給出的這類特殊單項(xiàng)式理想的分解提供了這類理想正則度(Castelnuovo-Mumford regularity)計(jì)算的方法(見(jiàn)[1]).

約定：在本文中，約定K是一個(gè)數(shù)域.

定義1[2]設(shè)I?R=K[x1，x2，…，xn]是一個(gè)理想，如果I是由單項(xiàng)式生成的，則稱I是多項(xiàng)式環(huán)R的單項(xiàng)式理想.

下面兩個(gè)結(jié)果在文獻(xiàn)[3]習(xí)題中出現(xiàn)過(guò).

引理1設(shè)K是一個(gè)數(shù)域，I1，I2，I3為多項(xiàng)式環(huán)K[x1，x2，…，xn]的單項(xiàng)式理想，則有

I1∩(I2+I3)=I1∩I2+I1∩I3.

引理2設(shè)u1，u2，…，um為多項(xiàng)式環(huán)K[x1，x2，…，xn]的單項(xiàng)式理想，其中u1=ab，a，b為單項(xiàng)式，且(a，b)=1，則有

(ab，u2，…，um)=(a，u2，…，um)∩(b，u2，…，um).

定義2[2]如果單項(xiàng)式理想I可寫成表示式：

定理1[2]令I(lǐng)?K[x1，x2，…，xn]是一個(gè)單項(xiàng)式理想，則存在I的一個(gè)不可約分解：

定理2[2]設(shè)I?K[x1，x2，…，xn]是一個(gè)單項(xiàng)式理想，則I的一個(gè)不可約分解

中出現(xiàn)的Qi(i=1，2，…，m)構(gòu)成的集合由I所唯一確定的.

引理3設(shè)I，J?K[x1，x2，…，xn]是單項(xiàng)式理想，且理想I的極小生成元集的每一個(gè)生成元中都不出現(xiàn)x1，則

其中α1≥1.

證設(shè)I=(u1，u2，…，um)，且(x1，ui)=1，i=1，2，…，n. 則

于是， 由引理2可得

假設(shè)當(dāng)r=k時(shí)，

由歸納假設(shè)得

將前面的m換成t， t=1，2，…，m-1，于是

[參考文獻(xiàn)]

[1]Bermejo I， Gimenez P. Saturation and Castelnuovo-Mumford regularity [J]. Journal of Algebra， 2006，303(2): 592-617.

[2]Herzog J， Hibi， T. Monomial Ideals [M]. London: Springer London Ltd， 2011.

[3]Bruns W， Herzog J. Cohen-Macaulay Rings [M]. New York: Cambridge University Press， 1998.

Monomial Ideal Decomposition in a Polynomial Ring

TANGHui，WUHan-jie，CHULi-zhong

(Department of Mathematics， Soochow University， Suzhou Jiangsu 215006， China)

Abstract:The monomial ideal decomposition of the power of a particular monomial ideal (its generators is pure powers of the variables) is given by some properties of generators of a monomial ideal. This study widen our scope of knowledge to the theory of a polynomial ring and help us compute the Castelnuovo-Mumford regularity of this kind of monomial ideal.

Key words: polynomial ring； monomial ideal； monomial ideal decomposition