關于非齊次樹上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強偏差定理
金少華1,趙玉姝1,閆會強2,宛艷萍3
(1.河北工業(yè)大學理學院,天津300401;2. 河北工業(yè)大學經濟管理學院,天津300401;
3.河北工業(yè)大學計算機科學與軟件學院,天津300401)
[摘要]樹指標隨機過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.本文通過構造適當的非負鞅,將Doob 鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究,研究給出了一類非齊次樹上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強偏差定理.
[關鍵詞]非齊次樹; 鞅; 馬氏信源; 強偏差定理
[收稿日期]2015-03-30
[基金項目]河北省高等學??茖W技術研究重點項目(ZD2014051)
[中圖分類號]O177.91[文獻標識碼]A
1前言
樹指標隨機過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.Shi和Yang[1]研究給出了m根Cayley 樹指標m階有限狀態(tài)非齊次Markov鏈的一些極限性質. 文獻[2]研究給出了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機場的一類強偏差定理.本文通過構造適當的非負鞅,將Doob 鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究, 研究給出了一類非齊次樹上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強偏差定理.
2定義
設T是一個具有根頂點o的無限樹,{Nn, n≥1}是一列正整數集,如果第n (n≥0)層上的每個頂點均與第n+1層上的Nn+1個頂點相鄰,則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地,若對非負整數集N,用模m的同余關系對其分類得到模m的剩余類
(0)={0,m,2m,3m,…,nm,…},
(1)={1,m+1,2m+1,3m+1,…,nm+1,…},
……………………
(m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…},
當n∈(i)時,令
Nn+1=αi(αi均為正整數且不同時為1),i=0,1,2,…,m-1,
就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,…αm-1.以下恒以T表示樹Tα0,α1,…αm-1,以Ln表示第n (n≥0)層上所有頂點的子圖,Tn表示含有從o頂點到第n層上所有頂點的子圖.
定義2.1設{Xσ,σ∈T}是定義在概率空間{Ω,F,P}上的取值于連續(xù)狀態(tài)(+,β(+))的任意信源,其聯合密度函數為
f(XTn=xTn)=f(xTn).
(1)
設
{P(X0,1∈A)},A∈β(+)
(2)
是{Xσ,σ∈T}的初始分布,并有正則條件概率族
P(σ,S(σ);Xσ,A)=E[IA(XS(σ))|Xσ],?Xσ∈+, A∈B(+).
(3)
若
P(σ,S(σ);Xσ,A)=∫Af(σ,S(σ);Xσ,XS(σ))dXS(σ),
(4)
則稱f(σ,S(σ);Xσ,XS(σ))為轉移密度函數,記
f(σ,S(σ);Xσ,XS(σ))=fS(σ)(Xσ,XS(σ)).
(5)
設fS(σ)(Xσ,XS(σ))是{Xσ,σ∈T}的一列轉移密度函數,初始分布對應的概率密度函數記為f0,則稱{Xσ,σ∈T}為具有初始分布(2)與正則條件概率族(3)的在+上取值的連續(xù)狀態(tài)樹指標非齊次馬氏信源.則{Xσ,σ∈T}的聯合密度函數為
(6)
設Q是(Ω,F)上的另一概率測度,{Xσ,σ∈T}在Q下的聯合密度函數為
(7)
定義2.2設聯合密度函數f(XTn),g(XTn)均如前定義,令
(8)
稱φ(ω)為Q相對于P的樣本散度.
定義2.3設λ為一實數,{hk(x)}是定義在+上的一函數列,稱
(9)
為函數hk(Xξk)的Laplace變換.
3主要結果及其證明
引理3.1設{Xσ,σ∈T}為定義在概率空間(Ω,F,P)上取值于連續(xù)狀態(tài)(+,β(+))的任意信源,其聯合密度函數由(1)式給出.f(XTn),g(XTn)與hk(x)均如前定義,φ(ω)如(8)式定義.令
(10)
則{tn(λ,ω),σ(XTn),n≥1}在測度Q下為一非負鞅.
證由(7)式,有
(11)
由(10)式,有
tn(λ,ω)=tn-1(λ,ω)·In,
(12)
其中
(13)
而
(14)
由(14)式,有
E[tn(λ,ω)|σ(XTn-1)]=tn-1(λ,ω),
所以{tn(λ,ω),σ(XTn),n≥1}在測度Q下為一非負鞅.
定理3.1設{Xσ,σ∈T}為定義在概率空間(Ω,F,P)上取值于連續(xù)狀態(tài)(+,β(+))的任意信源,其聯合密度函數由(1)式給出.φ(ω)和hk(x)如前定義.若存在λ0>0,使得當λ∈[-λ0,λ0]時,(λ)有定義.令D={ω:φ(ω)<+∞}.若
(15)
則
(16)
(17)
其中
(18)
(19)
并且
(20)
(21)
證根據引理3.1及Doob鞅收斂定理,存在A(λ)∈F且P(A(λ))=1,使得
(22)
由(10)式和(22)式,對任意的λ∈[-λ0,λ0],有
(23)
于是由(8)式和(23)式,有
(24)
在(24)中取λ=0,有
φ(ω)≥0,ω∈A(0)∩D.
(25)
(26)
有
ω∈A(λ)∩D.(27)
當-λ0<λ<0時,將(27)式兩邊同除以-λ,有
ω∈A(λ)∩D.
(28)
(29)
由于|hk(Xξk)|∈[0,+∞),則由(29)式,有
(30)
由(28)式及(30)式,有
(31)
(32)
(33)
(34)
由(33)式,有
(35)
由(34)式和(35)式,有
ω∈A*∩A(0)∩D.
(36)
因為P(A*∩A(0))=1,故由(36)式,有(16)式成立.
當0<λ<λ0時,將(27)式兩邊同除以-λ,有
ω∈A(λ)∩D.
(37)
(38)
由于|hk(Xξk)|∈[0,+∞),則由(38)式,有
(39)
由(37)式及(39)式,有
(40)
(41)
(42)
(43)
由(42)式,有
(44)
由(43)式和(44)式,有
(45)
因為P(A*∩A(0))=1,故由(45)式,有(17)式成立.
[參考文獻]
[1]Shi Z Y, Yang W G. Some limit properties for them-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by anmrooted Cayley tree [J]. Statistics & Probability Letters, 2010, 80(15): 1223-1233.
[2]Yang W G. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree [J]. Stochastic Analysis and Applications, 2012, 30(2):220-237.
A Class of Strong Deviation Theorems of the Entropy Density
of Continuous Markov Information Source on a Non-Homogeneous Tree
JINShao-hua1,ZHAOYu-shu1,YANHui-qiang2,WANYan-ping3
(1. College of Science, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China;
2. College of Economics and Business Administration, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China;
3.School of Computer and Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China)
Abstract:In recent years, tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory . The strong deviation theorem has been one of the central issues of the international probability theory. In this paper, through constructing a non-negative martingale and applies Doob’s martingale convergence theorem to the research of a.e. convergence, a class of strong deviation theorems of the entropy density of continuous Markov information source on a non-homogeneous tree are given.
Key words: non-homogeneous tree; martingale; Markov information source; strong deviation theorem