關于非齊次樹上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強偏差定理

金少華1，趙玉姝1，閆會強2，宛艷萍3

(1.河北工業(yè)大學理學院，天津300401；2. 河北工業(yè)大學經濟管理學院，天津300401；

3.河北工業(yè)大學計算機科學與軟件學院，天津300401)

[摘要]樹指標隨機過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.本文通過構造適當的非負鞅，將Doob 鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了一類非齊次樹上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強偏差定理.

[關鍵詞]非齊次樹； 鞅； 馬氏信源； 強偏差定理

[收稿日期]2015-03-30

[基金項目]河北省高等學?？茖W技術研究重點項目(ZD2014051)

[中圖分類號]O177.91[文獻標識碼]A

1前言

樹指標隨機過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.Shi和Yang[1]研究給出了m根Cayley 樹指標m階有限狀態(tài)非齊次Markov鏈的一些極限性質. 文獻[2]研究給出了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機場的一類強偏差定理.本文通過構造適當的非負鞅，將Doob 鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究， 研究給出了一類非齊次樹上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強偏差定理.

2定義

設T是一個具有根頂點o的無限樹，{Nn, n≥1}是一列正整數集，如果第n (n≥0)層上的每個頂點均與第n+1層上的Nn+1個頂點相鄰，則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地，若對非負整數集N，用模m的同余關系對其分類得到模m的剩余類

(0)={0,m,2m,3m,…,nm,…},

(1)={1,m+1,2m+1,3m+1,…,nm+1,…},

……………………

(m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…},

當n∈(i)時，令

Nn+1=αi(αi均為正整數且不同時為1)，i=0,1,2,…,m-1，

就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,…αm-1.以下恒以T表示樹Tα0,α1,…αm-1，以Ln表示第n (n≥0)層上所有頂點的子圖，Tn表示含有從o頂點到第n層上所有頂點的子圖.

定義2.1設{Xσ，σ∈T}是定義在概率空間{Ω，F，P}上的取值于連續(xù)狀態(tài)(+，β(+))的任意信源，其聯合密度函數為

f(XTn=xTn)=f(xTn).

(1)

設

{P(X0，1∈A)}，A∈β(+)

(2)

是{Xσ，σ∈T}的初始分布，并有正則條件概率族

P(σ，S(σ);Xσ，A)=E[IA(XS(σ))|Xσ],?Xσ∈+， A∈B(+).

(3)

若

P(σ，S(σ);Xσ，A)=∫Af(σ，S(σ);Xσ，XS(σ))dXS(σ)，

(4)

則稱f(σ，S(σ);Xσ，XS(σ))為轉移密度函數，記

f(σ，S(σ);Xσ，XS(σ))=fS(σ)(Xσ，XS(σ)).

(5)

設fS(σ)(Xσ，XS(σ))是{Xσ，σ∈T}的一列轉移密度函數，初始分布對應的概率密度函數記為f0，則稱{Xσ，σ∈T}為具有初始分布(2)與正則條件概率族(3)的在+上取值的連續(xù)狀態(tài)樹指標非齊次馬氏信源.則{Xσ，σ∈T}的聯合密度函數為

(6)

設Q是(Ω，F)上的另一概率測度，{Xσ，σ∈T}在Q下的聯合密度函數為

(7)

定義2.2設聯合密度函數f(XTn)，g(XTn)均如前定義，令

(8)

稱φ(ω)為Q相對于P的樣本散度.

定義2.3設λ為一實數，{hk(x)}是定義在+上的一函數列，稱

(9)

為函數hk(Xξk)的Laplace變換.

3主要結果及其證明

引理3.1設{Xσ，σ∈T}為定義在概率空間(Ω，F，P)上取值于連續(xù)狀態(tài)(+，β(+))的任意信源，其聯合密度函數由(1)式給出.f(XTn)，g(XTn)與hk(x)均如前定義，φ(ω)如(8)式定義.令

(10)

則{tn(λ，ω)，σ(XTn)，n≥1}在測度Q下為一非負鞅.

證由(7)式，有

(11)

由(10)式，有

tn(λ，ω)=tn-1(λ，ω)·In，

(12)

其中

(13)

而

(14)

由(14)式，有

E[tn(λ，ω)|σ(XTn-1)]=tn-1(λ，ω)，

所以{tn(λ，ω)，σ(XTn)，n≥1}在測度Q下為一非負鞅.

定理3.1設{Xσ，σ∈T}為定義在概率空間(Ω，F，P)上取值于連續(xù)狀態(tài)(+，β(+))的任意信源，其聯合密度函數由(1)式給出.φ(ω)和hk(x)如前定義.若存在λ0>0，使得當λ∈[-λ0，λ0]時，(λ)有定義.令D={ω:φ(ω)<+∞}.若

(15)

則

(16)

(17)

其中

(18)

(19)

并且

(20)

(21)

證根據引理3.1及Doob鞅收斂定理，存在A(λ)∈F且P(A(λ))=1，使得

(22)

由(10)式和(22)式，對任意的λ∈[-λ0，λ0]，有

(23)

于是由(8)式和(23)式，有

(24)

在(24)中取λ=0，有

φ(ω)≥0，ω∈A(0)∩D.

(25)

(26)

有

ω∈A(λ)∩D.(27)

當-λ0<λ<0時，將(27)式兩邊同除以-λ，有

ω∈A(λ)∩D.

(28)

(29)

由于|hk(Xξk)|∈[0，+∞)，則由(29)式，有

(30)

由(28)式及(30)式，有

(31)

(32)

(33)

(34)

由(33)式，有

(35)

由(34)式和(35)式，有

ω∈A*∩A(0)∩D.

(36)

因為P(A*∩A(0))=1，故由(36)式，有(16)式成立.

當0<λ<λ0時，將(27)式兩邊同除以-λ，有

ω∈A(λ)∩D.

(37)

(38)

由于|hk(Xξk)|∈[0，+∞)，則由(38)式，有

(39)

由(37)式及(39)式，有

(40)

(41)

(42)

(43)

由(42)式，有

(44)

由(43)式和(44)式，有

(45)

因為P(A*∩A(0))=1，故由(45)式，有(17)式成立.

[參考文獻]

[1]Shi Z Y， Yang W G. Some limit properties for them-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by anmrooted Cayley tree [J]. Statistics & Probability Letters， 2010， 80(15): 1223-1233.

[2]Yang W G. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree [J]. Stochastic Analysis and Applications， 2012， 30(2):220-237.

A Class of Strong Deviation Theorems of the Entropy Density

of Continuous Markov Information Source on a Non-Homogeneous Tree

JINShao-hua1，ZHAOYu-shu1，YANHui-qiang2，WANYan-ping3

(1. College of Science， Hebei University of Technology， Tianjin 300401，China;

2. College of Economics and Business Administration， Hebei University of Technology， Tianjin 300401，China;

3.School of Computer and Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401，China)

Abstract:In recent years， tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory . The strong deviation theorem has been one of the central issues of the international probability theory. In this paper， through constructing a non-negative martingale and applies Doob’s martingale convergence theorem to the research of a.e. convergence， a class of strong deviation theorems of the entropy density of continuous Markov information source on a non-homogeneous tree are given.

Key words: non-homogeneous tree; martingale; Markov information source; strong deviation theorem