一道美國數(shù)學(xué)競賽試題的解答及其思考

●鐘勁松(湖南教育出版社湖南長沙410007)

美國數(shù)學(xué)天才選拔賽(USAMTS)是一項(xiàng)針對美國初、高中學(xué)生進(jìn)行的免費(fèi)的數(shù)學(xué)競賽，該項(xiàng)比賽分3輪——初賽、復(fù)賽和決賽.所有參賽學(xué)生必須在1個月之內(nèi)獨(dú)立完成，學(xué)生可查閱資料，借助計算器和計算機(jī)等.該項(xiàng)比賽主要訓(xùn)練參賽學(xué)生分析問題、解決問題和規(guī)范表達(dá)的能力，對學(xué)生的洞察力、創(chuàng)造力和毅力都有很大幫助.本文選取第26屆(2014~2015)第2輪比賽的第3題加以分析，用3種不同的方法進(jìn)行解答，最后總結(jié)思考，旨在說明在立體幾何的教學(xué)過程中，教師應(yīng)從多角度、多方面審視題目，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法去分析和解決問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

題目已知四棱錐P-OABC底面四邊形的4個頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0,0)，A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1,3)，另一四棱錐與{P-OABC}共底，其頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2,3)，求2個四棱錐公共部分幾何體的體積.

分析1(解析法)求解本題的關(guān)鍵是要了解2個四棱錐公共部分的幾何體形狀，已知條件所給的圖形是學(xué)生熟悉的幾何體，但公共部分不是學(xué)生所熟悉的幾何體形狀，學(xué)生不知如何套用公式，也不知道套用哪個公式求體積.

圖1 圖2

所以

評注解法1通過空間中坐標(biāo)的運(yùn)算得知點(diǎn)P,Q,O,B共面，推知PB,OQ相交，從而得知相交的幾何體為一四棱錐.在解答的過程中一定要注意論證平面POB與底面OABC垂直，否則不能夠直接使用h1+h2=3.

圖3

分析2(不等式法)通過平行于底面的平面{z=c}(其中0≤c≤3)來截2個四棱錐，分別與2個四棱錐的8條棱相交于8個點(diǎn)，通過2個四棱錐公共部分點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的不等關(guān)系求解.

且

(1)

評注本方法思路新穎，通過簡單的不等式運(yùn)算，即可得知“臨界”狀態(tài)下z的值，從而求其體積.

分析3(向量法)由上面的分析可知，2個四棱錐相交部分構(gòu)成一個新的四棱錐，新四棱錐的頂點(diǎn)為直線PB和QO的交點(diǎn)P′.

設(shè)M為線段PB上的任意一點(diǎn)，則

(3-2 λ,3-2 λ,3 λ),

因?yàn)辄c(diǎn)P′既在直線QO上，又在直線PB上，所以

評注本解法使用了向量作為運(yùn)算的工具，前提是已知2個四棱錐相交部分為一個新四棱錐.通過向量的簡單運(yùn)算，可以直接求出新四棱錐的頂點(diǎn)坐標(biāo)，避免了解法1中繁瑣的論證和運(yùn)算.

由此，筆者有以下4點(diǎn)思考：

1)立體幾何知識主要考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算推理能力.除了常規(guī)的考查(如點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的性質(zhì)與判定，簡單計算幾何體的表面積、體積以及異面直線的夾角、直線與平面所成的角、二面角等計算)外，筆者認(rèn)為應(yīng)增加一些考查空間想象能力的題目，充分發(fā)揮學(xué)生的想象能力.

2)立體幾何與不等式，看似關(guān)聯(lián)度不高的知識點(diǎn)，只要勤于思考，它們之間也可以嫁接，產(chǎn)生美妙的解答.我們在平常的解題訓(xùn)練中，要從不同的方面去思考問題，去發(fā)掘優(yōu)美的解答，每一種解法都代表一種思考問題的角度.

3)高考和自主招生作為選撥人才的一種考試，勢必會在題目的難度上設(shè)置一定的梯度.筆者認(rèn)為，以后的考試會逐漸增加一些不常規(guī)的題目，“多考一些想，少考一些固定套路的算”.

4)數(shù)學(xué)的思維過程是“觀察—抽象—猜想—論證”，教師在教學(xué)過程中要帶領(lǐng)學(xué)生遵循數(shù)學(xué)的思維過程，帶領(lǐng)學(xué)生一起去探索、思考問題.平時在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生有“懂而不會”的現(xiàn)象，實(shí)際上學(xué)生不是真的“懂”，而是被迫地接受和記憶知識，沒有探究的過程.因此，為了取得好的教學(xué)效果，教師和學(xué)生必須共同參與，去探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美.