注重試題改編提升思維品質(zhì)

●沈國(三合中心學(xué)校浙江德清313200)

試題改編是對(duì)原有試題進(jìn)行改造，使之從形式上、考查功能上發(fā)生改變而成為新題.常用的方法有：題型的轉(zhuǎn)換、條件與結(jié)論的轉(zhuǎn)換、試題背景的轉(zhuǎn)換、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)換等.數(shù)學(xué)思維在思維科學(xué)中具有極其特殊的重要地位.數(shù)學(xué)的教學(xué)幾乎無時(shí)無刻不在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維活動(dòng)，而試題改編教學(xué)對(duì)思維品質(zhì)的培養(yǎng)尤為重要.因此，“研究試題改編，從而提升數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)”對(duì)于形成完善的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力具有重要的意義.

1試題改編與數(shù)學(xué)思維廣闊性的培養(yǎng)

例1關(guān)于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下3個(gè)結(jié)論：①當(dāng)m=0時(shí)，方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)解；②當(dāng)m≠0時(shí)，方程有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解；③無論m取何值，方程都有1個(gè)負(fù)數(shù)解.其中正確的是______(填序號(hào))(答案：①③)．

(2015年浙江省臺(tái)州市數(shù)學(xué)中考試題)

改編2關(guān)于x的函數(shù)y=mx2+x-m+1(其中x取任意實(shí)數(shù))，有以下3個(gè)結(jié)論：①無論m取何值，函數(shù)圖像與x軸至少有1個(gè)交點(diǎn)；②無論m取何值，函數(shù)圖像都經(jīng)過1個(gè)固定點(diǎn)；③無論m取何值，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大.其中正確的是______(填序號(hào))(答案：①②)．

改編意圖分式方程與整式方程緊密聯(lián)系在一起，且分式方程中增根的問題能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.拋物線與x軸交點(diǎn)的問題實(shí)際上就是解一元二次方程.因此，為了能讓學(xué)生對(duì)前后所學(xué)的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，完善龐大的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，一元二次方程的問題都可以進(jìn)行類似改編，以此來拓寬學(xué)生的思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性.

()

(2015年浙江省金華市數(shù)學(xué)中考試題)

(答案：C)

圖1 圖2

改編如圖2，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC,CD分別相交于點(diǎn)G,H，聯(lián)結(jié)BE,CE，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

A．CG=BGB．∠ECB=15°

(答案：D)

改編意圖原題只解決了一個(gè)問題，為了盡可能地發(fā)揮試題的功效，全面而深入地考查學(xué)生，該題目還可以進(jìn)一步挖掘.這樣不僅用到等邊三角形、正方形以及圓的一些特殊性質(zhì)，還可以用相似、三角函數(shù)等知識(shí)去解決，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及各種不同思路的掌握程度，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

2試題改編與數(shù)學(xué)思維深刻性的培養(yǎng)

例3方成同學(xué)看到一則材料：甲開汽車、乙騎自行車從M地出發(fā)沿一條公路勻速前往N地．設(shè)乙行駛的時(shí)間為t(h)，甲、乙2人之間的距離為{y(km)}，y與t的函數(shù)關(guān)系如圖3所示．

方成思考后發(fā)現(xiàn)了如圖3的部分正確信息：乙先出發(fā)1 h；甲出發(fā)0.5 h與乙相遇；……

請(qǐng)你幫助方成同學(xué)解決以下問題：

1)分別求出線段BC，CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

2)當(dāng)20

3)分別求出甲、乙行駛的路程S甲，S乙與時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式，并在圖4所給的直角坐標(biāo)系中分別畫出它們的圖像；

圖3 圖4

(2015年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題)

改編方成同學(xué)看到一則材料：甲開汽車、乙騎自行車從M地出發(fā)沿一條公路勻速前往N地．設(shè)乙行駛的時(shí)間為t(h)，甲、乙2人離M地的距離分別為S甲，S乙(km)，且S甲，S乙關(guān)于t的函數(shù)圖像如圖5所示．

圖5 圖6

請(qǐng)你幫助方成同學(xué)解決以下問題：

1)分別求出S甲，S乙關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

2)設(shè)甲、乙2人之間的距離為y,當(dāng)20

3)在圖6所給的直角坐標(biāo)系中畫出y關(guān)于t的圖像；

(2015年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題)

圖7 圖8

上述這2類試題的改編方法很常見:一個(gè)是將條件與結(jié)論互換，另一個(gè)是對(duì)條件進(jìn)行類似的改變，目的就是培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)出相同類型問題的能力.通過形異質(zhì)同、多題歸一試題改編的教學(xué)，挖掘習(xí)題深層次的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生不僅會(huì)解一道題而且會(huì)解一類題,從而幫助學(xué)生迅速找到解題的策略和方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.

3試題改編與數(shù)學(xué)思維批判性的培養(yǎng)

(2015年浙江省義烏市數(shù)學(xué)中考試題)

圖9 圖10

圖11

例6如圖11，某農(nóng)場(chǎng)擬建2間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長)，中間用一道墻隔開，并在如圖11所示的3處地方各留1 m寬的門．已知計(jì)劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27 m，則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為______m2(答案：75)．

(2015年浙江省溫州市數(shù)學(xué)中考試題)

改編某農(nóng)場(chǎng)擬建2間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻，墻長為12 m，中間用一道墻隔開，并在如圖11所示的3處地方各留1 m寬的門．已知計(jì)劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27 m，則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為______m2(答案：72)．

改編意圖原題改編之后唯一的區(qū)別就在于“墻的長度”這一條件，很多學(xué)生在做改編題時(shí)得到的答案會(huì)跟原題一樣，而且不知道自己錯(cuò)在哪里.在二次函數(shù)求最值問題中，學(xué)生比較容易忽視最值能否取到，也就是說學(xué)生容易忽視自變量的取值范圍.原題設(shè)飼養(yǎng)室的寬為x，面積為y,則y={-3(x-5)2}+75(其中1

對(duì)于上述2個(gè)改編題，目的就是讓學(xué)生出錯(cuò)，然后讓學(xué)生自己來糾錯(cuò)，漸漸地弄明白為什么會(huì)錯(cuò)，原來是受思維定勢(shì)的影響.“錯(cuò)在哪里，仔細(xì)對(duì)比，2道題一樣嗎？”只有讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，以后犯錯(cuò)的可能性才會(huì)降低.讓學(xué)生明白要正確的看待2道看上去類似的題目，要善于發(fā)現(xiàn)問題，提出疑問，辨別是非，提高數(shù)學(xué)思維的批判性.

4試題改編與數(shù)學(xué)思維靈活性的培養(yǎng)

(2015年浙江省衢州市數(shù)學(xué)中考試題)

圖12 圖13

圖14 圖15

改編意圖拋物線與等腰三角形或直角三角形相結(jié)合的問題很常見，這2類問題經(jīng)常用到分類討論和一題多解的數(shù)學(xué)思想.尤其是一題多解的思想，在同一問題不同的情況下，為了更方便地解決問題，用到的方法可以不一樣，需要學(xué)生靈活地處理.例如改編題中的直角三角形問題，首先根據(jù)直角三角形的特征和條件，分為2種情況：①如圖14，當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，表示出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)后可以根據(jù)勾股定理求出a的值.也可以構(gòu)造“直M”型相似，即△PCB∽△BDQ，再根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”求出a的值；還可以根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”去求(當(dāng)然筆者最喜歡的還是利用直線PB⊥AB，依據(jù)2條直線垂直，2條直線的斜率值乘積等于-1，求出直線PB的解析式，再將直線PB的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立方程組，解方程組即可求出P1和P2這2種情況).②如圖15，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，前面的方法都可以求，但是此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，直接將y=3代入二次函數(shù)解析式即可求出P3,P4這2種情況.因此本題改編的目的就是培養(yǎng)學(xué)生選擇方法的靈活性和思維的靈活性.

例8已知拋物線y=(x-m)2-(x-m)，其中m是常數(shù)．

1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有2個(gè)公共點(diǎn).

①求該拋物線的函數(shù)解析式；

②把該拋物線沿y軸向上平移多少個(gè)單位長度后，得到的拋物線與x軸只有1個(gè)公共點(diǎn)？

(2015年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題)

改編已知拋物線y=(x-m)2-(x-m)，其中m是常數(shù)．

1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有2個(gè)公共點(diǎn)；

2)當(dāng)m≠0且m≠-1時(shí)，把該拋物線進(jìn)行左右或上下的平移，使得平移之后的拋物線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，試討論m的取值，并求出最短的平移距離．

教師要引導(dǎo)學(xué)生在解題遇到困難時(shí)及時(shí)調(diào)整思維的方向，修定原訂方案，不受思維定勢(shì)和固定模式的束縛，能冷靜地面對(duì)問題，同時(shí)又能靈活地處理.或者在已有的思想方法上再另辟蹊徑，善于發(fā)現(xiàn)新的條件和新的因素，找到眾多解法，再從這些解法中提煉出最優(yōu)方法.這樣學(xué)生才會(huì)越學(xué)越輕松，思維也會(huì)越來越靈活.

總之，靈活、合理地改編原有的數(shù)學(xué)試題能提高學(xué)生的解題能力，提升數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，在解題教學(xué)過程中，起著不可估量的作用.數(shù)學(xué)思維的廣闊性、深刻性、批判性和靈活性并不是孤立的，它們相輔相成，相互促進(jìn).它們常能使問題由大化小、由小化了，巧妙而簡捷地得到解決，讓人頓覺思路自然，條理清晰，顯示出數(shù)學(xué)特有的不容辯駁的邏輯力量和數(shù)學(xué)美感.