一道函數(shù)問題的多視角探究

●毛良忠(平湖中學浙江嘉興314200)

數(shù)學學習離不開解題，研究經(jīng)典問題，通過分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑之一.在高三復習中我們碰到過許多熟悉的“難題”，但經(jīng)過適當?shù)亍皢栴}包裝”后,“身經(jīng)百戰(zhàn)”的學生仍會迷失解題的方向.如何讓數(shù)學學習更有效，讓更多的學生享受數(shù)學研究的樂趣？在問題教學中我們應(yīng)努力踐行羅增儒先生倡導的：數(shù)學教學中不僅關(guān)注如何獲得解，而且寄希望于對“解”的進一步分析而增強數(shù)學能力、優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)、提高思維素質(zhì)、學會“數(shù)學地思維”.下面提供的一道高三經(jīng)典模擬題的探究正是基于這樣的學習理念下的解題思維呈現(xiàn).

題目設(shè)a>0,b>0，函數(shù)f(x)=ax2-bx-{a+}b．

1)①求不等式f(x)

2)當x∈[0,m]時，對任意的正實數(shù)a,b，不等式f(x)≤(x+1)|2b-a|恒成立，求實數(shù)m的最大值．

這是2015年浙江省杭州市第2次高考科目教學質(zhì)量檢測卷的壓軸題.在解決第①小題時，有些學生在計算f(1)=0后，不會充分利用f(1)=0這個信息將代數(shù)式ax2-bx-a+b進行因式分解，依然利用方程求根公式計算后討論得到解集.同樣在處理第②小題時，若能發(fā)現(xiàn)最大值b-a就是{f(0)}，考慮到函數(shù)f(x)=ax2-bx-a+b的圖像開口向上，則由已知條件f(x)在[0,1]上的最大值為f(0)可直接利用單調(diào)性求解，但在實際求解中很多學生按對稱軸位置進行討論求解.這里暴露出學生思維的缺失，沒有真正理解函數(shù)零點的意義及最值條件所隱含的關(guān)系，缺少逆向思維的方式.

分析1)由

f(x)=ax2-bx-a+b=(x-1)(ax+a-b),

結(jié)合f(1)=0,知不等式f(x)

(x-1)(ax+a-b)<0.

在第2)小題中，由于不等式中涉及的變量較多，大多數(shù)學生沒有真正挖掘題目信息而盲目做題,最后不了了之.事實上，此題的解題入口還是很寬廣的，對問題不同形式的表征以及解題切入點和視角的不同，該問題的求解途徑是多樣的.下面幾種思維視角應(yīng)該是自然的，也是我們平時教學中倡導的“通性通法”.

思維角度1求解集法

解題切入點在解不等式恒成立問題時，直接求出不等式的解集，再利用不等式恒成立的特征探求相應(yīng)字母的范圍是此類問題的“通法”.

分析由f(x)≤(x+1)|2b-a|,得

ax2-(b+|2b-a|)x-a+b-|2b-a|≤0，

即

x2-(t+|2t-1|)x+t-1-|2t-1|≤0，

當Δ=(t+|2t-1|)2-4(t-1-|2t-1|)>0時,不等式的解為

由于

綜上所述，m的最大值為1.

思維角度2變元法

解題切入點我們可以通過討論先去絕對值，如何解含有3個字母的不等式恒成立問題呢？轉(zhuǎn)換視角，如果將a或b看成變量，x視為待求字母，那么呈現(xiàn)在我們面前的只是解決一個一次不等式的問題，相對來說問題變得簡潔了.

分析1)當a<2b時,由不等式

f(x)≤(x+1)|2b-a|,

得

ax2-bx-a+b≤(x+1)(2b-a),

整理得

(x2+x)a≤(3x+1)b.

因為

0

所以當x≥0時,

(x2+x)a≤(x2+x)·2b.

由于不等式對任意的正實數(shù)a,b，f(x)≤(x+{1)|2b-}a|恒成立,故等價于(x2+x)·2b≤(3x+1)b恒成立.于是

2x2-x-1≤0,

且x>0,解得0≤x≤1.

2)當a>2b時,由不等式

f(x)≤(x+1)|2b-a|,

得

ax2-bx-a+b≤(x+1)(a-2b),

整理得

(3+x)b≤(-x2+x+2)a.

2x2-x-1≤1,

且x>0,解得0≤x≤1.

綜合上述，對任意的正實數(shù)a,b，不等式

f(x)≤(x+1)|2b-a|

恒成立，則0≤x≤1,因此0≤m≤1.

思維角度3減元法

圖1

解題切入點在解決含有多個字母的問題時，適當?shù)刈冃卧O(shè)元，從整體角度考慮可以達到減元的目的.觀察已知式不難發(fā)現(xiàn)，不等式左、右2邊是關(guān)于a,b的齊次式，這樣的結(jié)構(gòu)可直接變形設(shè)元求解，運用數(shù)形結(jié)合的方法能更快速求解.

分析ax2-bx-a+b≤(x+1)|2b-a|,

不等式2邊同除以b整理得

(x2-1)t-(x-1)≤(x+1)|t-2|

恒成立問題.在同一坐標系中作出關(guān)于t的圖像

y1=(x2-1)t-(x-1),

和

y2=(x+1)|t-2|，

由題知當t>0時,y1≤y2恒成立,故

解得0≤x≤1.

由此,對任意的正實數(shù)a,b，不等式f(x)≤{(x+}{1)|2b-}a|恒成立，則

0≤x≤1,

因此

0≤m≤1.

思維角度4特值驗證法

解題切入點仔細審題發(fā)現(xiàn)，對于不等式

ax2-bx-a+b≤(x+1)|2b-a|，

圖2

由于正實數(shù)a,b的任意性，當x≥0時，(x+1)|2b-a|的最小值為0，不妨先求得不等式成立的必要條件，再驗證是否成立.根據(jù)題目特征適當?shù)乜s小所要求字母的范圍，再討論驗證的解題策略，對于較為復雜的問題往往能回避一些不必要的討論,直接指向問題本源.

分析考慮到正實數(shù)a,b的任意性，要使

f(x)≤(x+1)|2b-a|

恒成立，令a=2b,則

f(x)=2bx2-bx-b≤0,

即

2x2-x-1≤0,

解得

下面驗證當0≤m≤1時,

am2-bm-a+b≤(m+1)|2b-a|

恒成立即可.不妨設(shè)a=bt，則

btm2-bm-bt+b≤(m+1)|2b-bt|,

消去正數(shù)b得

tm2-m-t+1≤(m+1)|2-t|

| t-2|.

顯然成立.故m的最大值為1.

思維角度5函數(shù)整體思想

解題切入點能不能直接作出函數(shù)圖像，借助圖像尋找到m的值呢？考慮到不等式2邊的式子都是熟悉的二次式和一次式，可以分別構(gòu)造新函數(shù)，尋找函數(shù)的特征點或者特殊關(guān)系是問題解決的關(guān)鍵.

圖3

分析構(gòu)造函數(shù){g(x)=}|2b-a|(x+1)，易知函數(shù){g(x)=}|2b-a|(x+1)的圖像是一條斜率k=|2b-a|≥0且恒過定點(-1,0)的直線，它在y軸上的截距為{|2b-}{a|}.由二次函數(shù)f(x)={ax2-}bx-a+b易知圖像恒過點(1,0)，且在y軸上的截距為b-a.由于a>0,b>0,則

|2b-a|=|(b-a)+b|>b-a，

其意義即為直線與y軸的交點恒位于拋物線與y軸交點的上方.

如圖3,當k=|2b-a|→0時，直線與拋物線的右側(cè)交點xm→1，即對于確定的數(shù)值x0>1必存在一條直線:當k=|2b-a|→0時有f(x0)>{g(x0)}，因此若對任意的正實數(shù)a,b，不等式f(x)≤(x+1)|2b-a|恒成立，則0≤x≤1.故m的最大值為1.

高中的學習，特別是在高三復習中學生做了大量的數(shù)學題，但教師會有這樣的感覺：題還是那個題，錯誤還是那些錯誤.講了n遍的題，解題時學生還是犯老毛病，原因何在？在數(shù)學學習上教師是否太急功近利，總是怕學生吃不飽，剛解決完一個問題，趕緊拋出第2個問題.在錯題評析中教師是否真正了解學生的錯誤糾結(jié)之處，真正聆聽過學生解題的想法，真正對癥下藥呢?學生思維的培養(yǎng)是一切數(shù)學教學方法的根，是數(shù)學教學的立足之本.教學中教師應(yīng)多關(guān)注概念的形成過程，重視問題的發(fā)現(xiàn)過程及規(guī)律的揭示過程，暴露“好念頭、巧方法”是怎樣形成的，真正教會一種好的思維品質(zhì)，學會思考，學會學習.愿解題活動真正成為學生參與的思維碰撞的活動，在對問題的交流碰撞中學會學習，學會思維，并發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)所在.