改革中凸顯平穩(wěn)過渡中張揚(yáng)新意——對2015年廣東理科壓軸題的評析

●藍(lán)云波(興寧市第一中學(xué)廣東興寧514500)●呂孫忠(北京師范大學(xué)研究生院北京100875)

備受矚目的2015年高考終于落下了帷幕，迷霧已撥開.由于2015年是廣東省高考自主命題的最后一年，試題的質(zhì)量與難度受到各界的廣泛關(guān)注.筆者試做全卷試題，欣喜地發(fā)現(xiàn)命題者在平穩(wěn)過渡的基礎(chǔ)上還實(shí)現(xiàn)了創(chuàng)新.特別是作為重頭戲的壓軸題，打破了近幾年以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為主的單一局面，體現(xiàn)出命題者銳意創(chuàng)新的魄力與勇氣，給僵化的命題風(fēng)格帶來了一縷清風(fēng).本文針對2015年廣東省數(shù)學(xué)高考理科卷的壓軸題，談?wù)勗擃}的評價、解法、題源與背景揭示以及由此引發(fā)的教學(xué)反思與建議.

1)求a3的值；

2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn；

1試題評價

本題具有3個特點(diǎn)：

1)這是一道涉及數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合解答題，這些都是高中數(shù)學(xué)課程中的主干與核心知識，很好地體現(xiàn)了“高考重點(diǎn)知識重點(diǎn)考查”的原則，及“在知識交匯處命題”的思路.同時考查了數(shù)學(xué)的重要思想方法，如等價與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、分類討論思想.該題是一道融知識與思想方法于一體的好題.

2)本題面目溫和、表述簡潔、設(shè)問層層遞進(jìn)，易于入手而深入較難，是一道能較好甄別出各個思維層次學(xué)生的知識與能力水平的試題，體現(xiàn)出高考試題應(yīng)具有的選拔功能.

3)本題較好地與教材接了地氣，證明過程中要構(gòu)造的函數(shù)正是源于教材的一道練習(xí)，體現(xiàn)出“高考源于課本而高于課本”的原則.另外，本題具有深刻的高等數(shù)學(xué)背景，如阿貝爾變換、積分不等式等，體現(xiàn)出命題者高屋建瓴的高超命題技藝，使試題具有一定的深度與新意.

2解法探究

2.1第1)小題的解答

分析第1)小題的起步比較低，因此解題者起步的心情也是比較愉悅的.最簡單的方法就是通過構(gòu)造2個式子相減得a3.

2.2第2)小題的解答

分析第1)小題為第2)小題的解答作了一個從特殊到一般的鋪墊，如果解題者通過構(gòu)造2個式子相減得到a3，那么過渡會相當(dāng)自然.另外,這一小題看似是用數(shù)學(xué)歸納法可以解決，實(shí)際卻不然.

(1)

所以當(dāng)n≥2時，

式(1)-式(2)，得

從而

2.3第3)小題的解答

2.3.1第1類方法

Sn=b1+b2+…+bn=

Sn=b1+b2+…+bn=

證法3(裂項(xiàng)相消)當(dāng)n≥2時，

因此當(dāng)n≥2時，

Sn=b1+b2+…+bn=1+(c2T2-c1T1)+(c3T3-c2T2)+…+(cnTn-cn-1Tn-1)=1+cnTn-c1T1=

圖1

從而

連加可得

2.3.2第2類方法

分析當(dāng)n≥3時，

進(jìn)而

2個式子相減,得

因此f(x)在[3,+∞)上單調(diào)遞減，即

綜上可知，對任意正整數(shù)n，恒有Sn<2+2lnn.

證明第3)小題的第1類方法分為2步，每一步分別用了4種和2種方法，如果組合一下，就可以得到8種不同的方法.從解題步驟中可以領(lǐng)會到：第3)小題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系較為隱秘，表面上的復(fù)雜會讓問題變得模糊不清，而通過因式分解和近似替換，可以讓問題柳暗花明，化繁為簡.第2類方法純粹是不等式的放縮，放縮完之后再構(gòu)造一個函數(shù)證明不等關(guān)系，但這種解法更具一般性，并且這種“放縮-構(gòu)造”法是“秒殺”眾多高考壓軸題的利器.

3題源與背景揭示

一題一世界，一解一源泉.解題的根本在于尋根探源，這樣才可以深化對解題過程的理解.

4教學(xué)反思與建議

本題是一道綜合了數(shù)列、函數(shù)與不等式的難題.要想成功解答，需具備扎實(shí)的基本功及解題能力.因此，教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)做到以下3點(diǎn)：

1)重視教材，重視學(xué)生的基本功訓(xùn)練.本題雖然是一道壓軸題，但其中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想與方法卻并非高不可攀.教材中有大量值得教師與學(xué)生一起探究與學(xué)習(xí)的材料，教師應(yīng)充分利用這些資源，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生在探究中提高基本技能.如本題第3)小題需要構(gòu)造的函數(shù)正是源于課本的一道經(jīng)典習(xí)題.教師要在平時的教學(xué)中重視教材、引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究，做到觸類旁通、心中有數(shù).

2)重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).在教學(xué)中要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生、生成、內(nèi)化、升華過程.這是數(shù)學(xué)基本功中的“內(nèi)力”，并非一朝一夕能改變，教師要意識到這是細(xì)水長流的過程，不能急功近利，而是要讓學(xué)生在長期的接觸與體會中得到升華.

3)教師應(yīng)善于學(xué)習(xí)，努力提高自己的業(yè)務(wù)能力，要能站在較高的角度看待和審視問題.這樣才能識別出隱藏在試題背后的核心數(shù)學(xué)思想，并挖掘其中有價值的東西傳授給學(xué)生，做到“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”.