活用伸縮變換巧解高考橢圓問題高考向量問題的考查由平面向空間的“華麗轉(zhuǎn)身”

●蘇立標(biāo)(杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)浙江杭州310003)

向量在高中數(shù)學(xué)中占有獨(dú)特的一席之地，是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具.在高考試題中，對(duì)向量的考查往往把重心放在平面向量(而空間向量經(jīng)常在立體幾何的運(yùn)算中“客串”一下、露一下臉而已).平面向量試題往往短小精悍，內(nèi)涵豐富，富有啟迪性，特別是浙江省的高考試題中,平面向量問題更是獨(dú)樹一幟，精彩紛呈.但近幾年高考試題中向量問題的考查則悄悄地由平面向空間“華麗轉(zhuǎn)身”，值得我們?nèi)パ芯坑懻?，本文試圖對(duì)此進(jìn)行總結(jié)梳理，以供高考復(fù)習(xí)參考．

1有關(guān)基礎(chǔ)運(yùn)算

如果沒有運(yùn)算，向量就只是個(gè)“路標(biāo)”.因此有人說：運(yùn)算讓向量插上了“夢(mèng)想的翅膀”.同樣在高考試題中，對(duì)空間向量問題的考查也離不開向量運(yùn)算.

圖1

()

A．1B．2C．4D．8

(2014年上海市數(shù)學(xué)高考試題)

分析由題意易知直線AB與上底面垂直，從而AB⊥BPi(其中i=1,2,…,8)，于是

(2014年浙江省第2次五校聯(lián)考試題)

分析由極化恒等式得

從而

這類向量問題的背景為空間圖形，但解答問題的落腳點(diǎn)卻是平面向量的有關(guān)基本計(jì)算，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決這類問題的根本思路.

2有關(guān)最值問題

最值問題是高考數(shù)學(xué)繞不開的話題，特別是與向量有關(guān)的最值問題,因其具有較強(qiáng)的綜合性而倍受命題者的親睞.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

分析本試題立意樸實(shí)但又不失新穎，選材寓于教材又高于教材，全面考查向量的最值問題，同時(shí)也考查了學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和潛能，著重考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解．

因此|b-(xe1+ye2)|2=

由此得c與a+b所成角的最小值為45°．

()

(2014年浙江省湖州市一模試題)

3有關(guān)軌跡問題

與空間向量有關(guān)的軌跡問題是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)之一，既要借助于向量的靈活運(yùn)算，還要有一定的空間想象能力作支撐．

(2015年浙江省嘉興市一模試題)

圖2 圖3

AB2-BD2=AC2-CD2,

4教學(xué)反思

這類與空間向量息息相關(guān)的問題往往比較綜合，在數(shù)學(xué)高考的復(fù)習(xí)中要引起足夠的重視，“要立足于基礎(chǔ)，夯實(shí)基礎(chǔ)”才是復(fù)習(xí)的“王道”，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的核心素養(yǎng)，有利于學(xué)生提升邏輯推理能力，有利于學(xué)生培養(yǎng)程序化思考問題的習(xí)慣，有利于學(xué)生養(yǎng)成實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神．

也許自然界中的一些現(xiàn)象對(duì)我們有所啟迪：非洲草原上有一種尖毛草，在最初的半年內(nèi)，它幾乎是草原上最矮的草，但雨季一來,它就像施了魔法一樣，幾天內(nèi)就“瘋長(zhǎng)”到接近2米高．有人決心探明其中的奧秘，結(jié)果發(fā)現(xiàn)尖毛草在最初的半年內(nèi)不是不長(zhǎng)，而是一直長(zhǎng)在根部，雨季前，它在地面上只露出一寸，但在地下扎的根卻超過了28米！根深才能苗壯，枝繁葉茂、碩果飄香，我們的高考復(fù)習(xí)更是如此．

參考文獻(xiàn)

[1]蘇立標(biāo).平面向量在高考試題中的幾個(gè)難以釋懷的“情結(jié)”[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(8)：33-34.