解析法——解決數(shù)形結(jié)合型幾何問(wèn)題的有效策略

●余獻(xiàn)虎邵婉(衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校浙江衢州324000)

1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾把“算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來(lái)，把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，再把代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)到解一個(gè)方程式”.這樣不僅把幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)方法解決，還能把變量、函數(shù)及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)中有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了”.因此，在解決某些數(shù)形結(jié)合的幾何問(wèn)題時(shí)，不妨試試解析法，也許能得到更簡(jiǎn)捷的方法，讓問(wèn)題的解決絕處逢生.

1求面積

分析如圖1，當(dāng)m=2時(shí)，AF⊥DE，AF=DE.依據(jù)△APE∽△ABF求得AP，PE后，利用等積變形求AE上的高，從而求出△ABP的面積；當(dāng)m≠2時(shí)，AF與DE不垂直，從特殊走向一般的問(wèn)題解決策略宣告失敗，問(wèn)題解決變得困難.

圖1 圖2

其實(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)聯(lián)系著點(diǎn)P到正方形ABCD各邊的距離，若求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可以更簡(jiǎn)捷地求其他部分圖形的面積.當(dāng)m確定時(shí)，求線段PB的長(zhǎng)，還是直接的.

類(lèi)比例1，可作如下變式：

變式如圖3，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=8，BD=4，將其繞對(duì)角線的交點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到菱形A′B′C′D′，求2個(gè)菱形重疊部分的面積.

分析本問(wèn)題解決策略是多樣的，其中S八邊形DFB′EBHD′G=4S四邊形OB′FD=8S△OB′F.

解法1聯(lián)結(jié)OF，作FM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè){B′M=}x，則

AM=2FM=4x，AB′=3x=2，

圖3 圖4

上述幾何問(wèn)題，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，讓已知條件兌現(xiàn)充分，省去了輔助線的描述，所求點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為高，給求面積帶來(lái)了直接的便利.

2求長(zhǎng)度

例2如圖5，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，{AC=}BC=6，BD=2CD，CE⊥AD，垂足為E，聯(lián)結(jié)OE，求OE的長(zhǎng).

問(wèn)題解決歷經(jīng)了“九曲十八彎”.

解法2作OF⊥OE交AD于點(diǎn)F，則△AOF≌△COE，△COE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與△AOF重合，于是△EOF是等腰直角三角形，AF=CE，得

方法巧妙，卻是那個(gè)誘人但跳一跳也很難觸及的“桃子”.

圖5 圖6

本題還可以AC，BC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，解析法指向明確，直截了當(dāng)，不用拐彎抹角.

(2015年浙江省衢州市初中數(shù)學(xué)調(diào)研卷第16題)

分析從筆者所任教學(xué)?？忌慕y(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，第1個(gè)空格得分率為93%，說(shuō)明考生在尋找直觀背景下的關(guān)系不差;第2個(gè)空格得分率僅為21%，說(shuō)明考生還是難以在適當(dāng)背景下把已知與所求聯(lián)系充分，包括添加適當(dāng)?shù)妮o助線幫助解決問(wèn)題，不善于用解析法.

圖7 圖8

通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，充分聯(lián)系已知與所求的關(guān)系，借助解析法找到BG關(guān)于所設(shè)變量的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得線段BG的最小值，此法簡(jiǎn)捷、有效.

3探究點(diǎn)線關(guān)系

1)求tanA的值.

2)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，正方形PQEF的面積為S，請(qǐng)?zhí)骄縎是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)當(dāng)t為何值時(shí)，正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)(點(diǎn)Q除外)落在正方形QCGH的邊上，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

(2015年浙江省衢州市數(shù)學(xué)中考試題第24題)

分析在筆者所任教學(xué)?？忌婪汁h(huán)節(jié)的隨機(jī)調(diào)查中發(fā)現(xiàn):第1)和第2)小題完成情況尚好，此處筆者不作分析.對(duì)于第3)小題,有些考生主動(dòng)選擇放棄，煩惱有：①“一個(gè)正方形的頂點(diǎn)落在另一個(gè)正方形的邊上”的內(nèi)涵是什么不理解，感覺(jué)情況多而亂了方寸，感到這不是自己能完成的；②當(dāng)點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)時(shí)，作不出相應(yīng)符合要求的位置圖形(嘗試但畫(huà)不成功)，失去了圖形的直觀性之后喪失了繼續(xù)探究的信心；③沒(méi)有明確的數(shù)量關(guān)系，如點(diǎn)E在CG上，該用怎樣的等量關(guān)系闡述，不清楚.

用解析法可以少去這些煩惱.

圖9 圖10

解如圖10所示建立平面直角坐標(biāo)系，AP=CQ=5t，AM=4t，PM=3t.作PM⊥AC，EN⊥AC于M，N，可證△PMQ≌△QNE，得

PM=QN=3t，MQ=EN=9-9t，HQ=5t，

整個(gè)過(guò)程條理分明，不拖泥帶水，結(jié)果一目了然.

4探究性質(zhì)

1)試判定點(diǎn)M是△ABC所在平面上的定點(diǎn)；

分析這是典型的動(dòng)態(tài)問(wèn)題.因?yàn)椤螦CB=∠EMF=90°，所以點(diǎn)E,C,F,M共圓，即

∠EFM=∠ECM=∠MCQ=∠MEF=45°.

點(diǎn)M在∠ACB的平分線上，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥MC，交射線CA于點(diǎn)D，可證△MFC≌△MED，即DE=CF.△CMD是等腰直角三角形，又AE=BF，則

CD=CE+DE=CA+AE+BC-BF=

即

若用旋轉(zhuǎn)變換的方法，則技巧性偏高，不善于總結(jié)的學(xué)生難以掌握，而用解析法就相當(dāng)靈巧.

圖11 圖12

解1)如圖12，分別以CA,CB所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由于∠ACB=∠EMF=90°，則點(diǎn)E,C,F,M共圓，即

∠EFM=∠ECM=∠MCQ=∠MEF=45°.

點(diǎn)M在∠ACB的平分線上，直線CM的解析式是{y=}x.設(shè)M(a，a)，作MG⊥CE，MH⊥CQ，則四邊形MGCH是正方形，可證△MHF≌△MGE，即HF=GE.又AE=BF，得

解得

即

直線QE的解析式是

代入得

化簡(jiǎn)得

24m2-115m+125=0，

解得

綜上可知，在解答具有確定數(shù)形關(guān)系的幾何問(wèn)題時(shí)，可嘗試解析法.突然想起華羅庚先生的“數(shù)形結(jié)合千般好”，深得教導(dǎo).