巧用基本不等式妙解數(shù)學(xué)問(wèn)題

●黃建鋒(余姚市第二中學(xué)浙江余姚315400)

合理利用基本不等式可以達(dá)到降次或消元的效果，當(dāng)一些問(wèn)題解法比較難或無(wú)從下手時(shí)，從基本不等式的等號(hào)成立條件出發(fā)審視問(wèn)題，適當(dāng)變形分拆一些項(xiàng)，構(gòu)造出合理的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而使用基本不等式，往往會(huì)得到出奇制勝的結(jié)果，解后讓人意味雋永，回味無(wú)窮.下面通過(guò)實(shí)例以饗讀者.

1巧用基本不等式求解最值

例1已知正數(shù)a,b,c滿足2a+4b+7c≤2abc，求f(a,b,c)=a+b+c的最小值.

(2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林省預(yù)賽試題)

分析由于此題取最值時(shí)各變量彼此不完全相等，文獻(xiàn)[1]通過(guò)引入待定參數(shù)，利用換元的方法促使各變量彼此相等，從而結(jié)合加權(quán)基本不等式解決本題.筆者通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)完全可以直接用基本不等式來(lái)解決.

解由已知條件2a+4b+7c≤2abc得(2ab-7)c≥2a+4b，從而

于是

注意到分母為2ab-7，因此希望在前面a+b中通過(guò)變形使得分子中含有2ab-7，故作如下變形：

(1)

從而

令2ab-7=t，結(jié)合基本不等式，則上式右邊

2巧用基本不等式證明不等式

(2013年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

證法1注意到這個(gè)不等式當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立.由基本不等式易得a+b≥2.于是，由柯西不等式可得

(2)

證法2注意到這個(gè)不等式當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立.易得a+b≥2，從而

結(jié)合算術(shù)幾何平均值不等式，可得

由柯西不等式可得

評(píng)注證明中出現(xiàn)的拆項(xiàng)技巧是從取等號(hào)中想到的.本文中的2種證法比文獻(xiàn)[1]中的湊形構(gòu)造函數(shù)證明要簡(jiǎn)潔，可謂把取等條件利用得淋漓盡致.

例3[2]已知a,b,c是滿足abc≥1的正數(shù)，求證：

證明注意到這個(gè)不等式當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.由基本不等式可得

從而

同理可得

于是

由赫爾德不等式知

故原不等式成立.

參考文獻(xiàn)

[1]林國(guó)夫.巧引待定參數(shù)，妙求多元函數(shù)最值[J].數(shù)學(xué)通訊:下半月，2010(12):29-31.

[2]安振平.一道巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題引發(fā)的思考[J].數(shù)學(xué)通訊：上半月，2013(11/12):107-108.

全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)第3屆理事會(huì)第5次常務(wù)理事擴(kuò)大會(huì)議紀(jì)要

全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)第3 屆理事會(huì)第5 次常務(wù)理事擴(kuò)大會(huì)議于2015年7月15～16 日在北京召開，來(lái)自全國(guó)21個(gè)省市自治區(qū)的53名代表參加了此次會(huì)議．楊學(xué)枝理事長(zhǎng)主持了15日上午的開幕式，全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)顧問(wèn)中科院林群院士、北京師范大學(xué)張英伯教授以及學(xué)會(huì)的部分正副理事長(zhǎng)在主席臺(tái)就坐．會(huì)議承辦方北京學(xué)而思培訓(xùn)學(xué)校張超月校長(zhǎng)致辭，楊學(xué)枝理事長(zhǎng)作理事會(huì)工作報(bào)告，在簡(jiǎn)短的開幕式后，全體與會(huì)代表進(jìn)行合影留念．

開幕式后，由劉培杰副理事長(zhǎng)主持，大會(huì)代表聆聽了林群院士題為“理論于案例———實(shí)數(shù)抄槡2”、張英伯教授題為“法蘭西英才教育掠影”的報(bào)告．這2個(gè)報(bào)告深受代表們歡迎．接著會(huì)議由李吉寶副理事長(zhǎng)主持，全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)專家劉培杰、王芝平、楊世明、吳康、龍開奮、楊學(xué)枝、李吉寶等作大會(huì)學(xué)術(shù)報(bào)告，報(bào)告的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)教育教學(xué)、數(shù)學(xué)競(jìng)賽、初等數(shù)學(xué)研究等，對(duì)于上述報(bào)告，與會(huì)代表受益匪淺．專家報(bào)告之后，大會(huì)展開自由發(fā)言，代表們紛紛就初數(shù)研究問(wèn)題分享了自己的研究成果以及對(duì)初數(shù)研究今后研究的方向提出了許多寶貴的意見和建議．

15日晚上，召開了正副理事長(zhǎng)、正副秘書長(zhǎng)擴(kuò)大會(huì)議，由吳康常務(wù)副理事長(zhǎng)主持，會(huì)議討論了以下議 題:1)關(guān)于學(xué)會(huì)注冊(cè)登記問(wèn)題;2)關(guān)于學(xué)會(huì)網(wǎng)站建設(shè)問(wèn)題;3)關(guān)于學(xué)會(huì)自身建設(shè)問(wèn)題;4)關(guān)于如何進(jìn)一步辦好會(huì)刊《中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究》問(wèn)題;5)關(guān)于增補(bǔ)常務(wù)理事及學(xué)會(huì)領(lǐng)導(dǎo)成員問(wèn)題;6)關(guān)于開展第10屆初數(shù)會(huì)議及論文評(píng)選問(wèn)題;7)關(guān)于評(píng)選和頒發(fā)第5屆“中國(guó)中青年初等數(shù)學(xué)研究獎(jiǎng)”(名額5人)、評(píng)選第3屆中國(guó)“初等數(shù)學(xué)研究成果獎(jiǎng)”、評(píng)選第3屆中國(guó)“初等數(shù)學(xué)研究杰出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)”( 原則上不超過(guò)2 名) ”等，與會(huì)者表示同意學(xué)會(huì)所作出的決定;8) 關(guān)于換屆選舉新一屆(第4屆) 理事會(huì)領(lǐng)導(dǎo)機(jī)構(gòu)問(wèn)題，大家提出了一些人選建議．

7月16日上午會(huì)議分2 段進(jìn)行: 上半段由副理事長(zhǎng)沈自飛教授主持，與會(huì)代表熱烈討論學(xué)會(huì)工作，提 出了大量有益的意見和建議; 下半段由副理事長(zhǎng)龍開奮教授主持，舉行大會(huì)閉幕式，在閉幕式上，吳康常務(wù) 副理事長(zhǎng)代表學(xué)會(huì)作學(xué)會(huì)工作報(bào)告，楊學(xué)枝理事長(zhǎng)宣讀本次會(huì)議紀(jì)要，并宣告全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)第3 屆 理事會(huì)第5 次常務(wù)理事擴(kuò)大會(huì)議勝利閉幕!

全體與會(huì)代表再次用熱烈掌聲感謝好未來(lái)教育集團(tuán)北京學(xué)而思培訓(xùn)學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)對(duì)本次大會(huì)所給予的人 力、物力、財(cái)力等方面的大力支持和幫助，感謝大會(huì)會(huì)務(wù)組成員，為大會(huì)的成功召開所作出的熱忱而又辛勤 的工作． 大家盼望著2016 年再次相聚羊城!

(2015年7月16日于北京)