閃爍在高考和競賽試卷中的公切線問題

●吳文堯(北侖中學浙江寧波315800)

雖然現(xiàn)行的高考數(shù)學考試說明中對圓錐曲線的公切線問題沒有明確的要求，但因為直線與曲線相切是直線與曲線位置關系中最特殊的情況，所以圓錐曲線的切線問題常常得到命題者的青睞．筆者發(fā)現(xiàn)2014年浙江省數(shù)學高考理科試卷中的圓錐曲線試題、2015年浙江省高中數(shù)學競賽中的圓錐曲線試題都或明或暗地涉及橢圓和圓的公切線問題，且都可由2004年四川省高中數(shù)學競賽試題中的圓錐曲線試題變形得到．下面介紹這幾道試題間的聯(lián)系及解決這類問題的常用思想方法，供大家參考．

1一道十年前的數(shù)學競賽題

圖1

分析1本題是圓錐曲線中的最值問題，可以考慮通過建立目標函數(shù)的方法解決.又注意到當動圓T的半徑r確定后，|AB|的值也隨之確定，因此可選擇以r為目標函數(shù)的變量,問題的關鍵是如何把|AB|用r表示．其難點是如何合理地利用“AB是圓和橢圓的公切線y=kx+t”這個條件．當時命題組提供的解法是：設公切線的方程為y=kx+t，分別代入圓和橢圓的方程，再利用根的判別式解之.由于涉及的都是有關字母的運算，其運算量可想而知.事實上，直接利用圓錐曲線的切線方程，可減少許多推算過程．

解法1不妨設點A,B在第一象限，由于點A在橢圓C上，可設A(acosθ,bsinθ)，橢圓C在點A處的切線l的方程為

設B(rcosα,rsinα)，則動圓T在點B處的切線方程為

因為方程(1)和(2)表示同一直線,所以

得

由sin2α+cos2α=1得

從而

在Rt△OAB中,

|AB|2= |OA|2-|OB|2=

a2cos2θ+b2sin2θ-r2=

(a2-b2)cos2θ+b2-r2=

(a2+b2)-2ab=(a-b)2,

當r2=ab時,|AB|取得最大值a-b.

分析2當動圓T的半徑r確定后，公切線AB也隨之確定，其斜率也確定.反之，若公切線的斜率確定，則動圓T的半徑r也確定，|AB|也確定，因此，也可以選擇公切線的斜率為目標函數(shù)的變量．

設直線AB的斜率為k,則

即

從而

因為直線AB⊥OB，所以直線OB的方程為

x+ky=0，

從而

2一道2014年浙江省高考試題

圖2

1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點P的坐標；

2)若過原點的直線l1與l垂直,證明:點P到直線l1距離的最大值為a-b.

背景說明記l1與l的交點為Q，以O為圓心、OQ為半徑的圓記為圓T，則直線l即為圓T與橢圓C的公切線，把例1中的動圓從“臺前”移到“幕后”；再增加求公切線與橢圓公共點的坐標這個中間步驟，即得到例2，因此本題可以由例1“加工”后得到，其解法完全可以參照例1的解法2．

3一道2015年浙江省競賽試題

1)求橢圓C1的方程；

2)若直線l與曲線C1，C2都只有1個公共點，記直線l與圓C2的公共點為A，求點A的坐標．

分析1本題要求的是橢圓和圓的公切線與圓的切點，問題的關鍵是求其公切線的方程.若直線l的方程為y=kx+m(其中k,m∈R)，則只需得到關于k和m的2個方程(由直線l與橢圓C1、圓C2都相切可得)．

圖3

2)當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意.當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+m(其中k,{m∈}R)，點A的坐標為(xA,yA)，聯(lián)立方程

消去y得

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

從而

Δ1=16(4k2-m2+1)=0,

即 4k2-m2+1=0.

(3)

聯(lián)立方程

消去y,得

從而

(4)

從而

經(jīng)檢驗A(0,2)或A(0,-2)符合題意，故點A的坐標為(0,2),(0,-2).

評注這是命題組提供的參考答案，其可取之處是思路自然，且操作比較靈活，不用求出其公切線方程，而是直接求出切點的坐標．不足之處是要通過2次利用判別式，運算量還是有點大．

分析2雖然本題給出的圓的圓心不在原點，但探求2條曲線公切線方程的思想方法與例1還是同出一轍，因此也可仿照例1的解法1“如法炮制”．

解法2設直線l與橢圓相切于點B(2cosθ,sinθ)，則橢圓在點B處的切線l的方程為

因為方程(5)和方程(6)表示同一直線，所以

從而

由sin2θ+cos2θ=1可得

解得

從而

由此可得A(0,±2)．

分析3若能求出2條曲線的公切線方程，則問題自然解決了.而處于非標準位置的圓的切線方程的形式有點繁雜，當直線與圓相切時，其幾何意義非常明顯，若利用其圓心到切線的距離等于半徑，則還可以進一步化簡運算過程．

解法3設直線l與橢圓相切于點B(2cosθ,sinθ)，則橢圓在點B處的切線l的方程為

xcosθ+2ysinθ=2.

解得

從而

4反思與感悟

1)中學數(shù)學教師要重視試題的編擬.編擬試題是數(shù)學教學工作的重要組成部分，也是反映教師教學、科研能力的重要方面.而現(xiàn)實的情況是許多教師不重視這方面的工作，在完成學校的命題任務時，往往敷衍了事、照搬照抄復習資料中的試題，其試卷質量可想而知．對經(jīng)典陳題的變形、改造是編擬試題的重要途徑之一.浙江省數(shù)學會的命題專家編擬的這2道圓錐曲線解答題，其“原形”都可以看成是例1，這也為廣大中學數(shù)學教師如何編擬試題提供了一個很好的范例．

2)在平時教學中要重視解題方法的總結和提煉.有考試，就會有應試，“如何提高學生的應試能力、提高數(shù)學復習課的效率”是大家一直關心的話題.現(xiàn)實的情況還是“題海茫茫，苦海無邊”，學生往往為做題而做題，缺少及時地反思和總結，復習的效果并不理想．在本文提供的3道試題中，若能對例1作透徹地研究和總結，明確解決公切線問題的2大對策(其一是利用直線的普通方程，把切線方程分別代入2條曲線的方程，然后利用判別式求解；其二是利用曲線的參數(shù)方程，利用2條直線重合的條件求解),則解決例2、例3就會很順手了．