高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)研究

基金項(xiàng)目：*本文是人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室研究課題“人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材修訂”的研究成果,由俞求是執(zhí)筆.

●俞求是(人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室北京100081)●李世杰(衢州市教研室浙江衢州324002)

●王芝平(宏志中學(xué)北京100013)●馬波(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院北京100875)

●甘志國(guó)(豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué)北京100071)

作者簡(jiǎn)介俞求是，男，1961年出生，人民教育出版社主任編輯、副編審，課程教材研究所副研究員，主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育，有多年中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷，參加了多項(xiàng)重大數(shù)學(xué)教育課題的研究工作，參加了由人民教育出版社出版的多套數(shù)學(xué)教材的研制工作，多次榮獲課程教材研究論文獎(jiǎng)，在國(guó)內(nèi)教育期刊發(fā)表了數(shù)學(xué)教育和教材研究方面的論文數(shù)十篇，有10多篇論文被中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料中心《復(fù)印報(bào)刊資料》全文轉(zhuǎn)載.

1不等式教學(xué)的地位、意義和價(jià)值

不等式歷來(lái)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分,因此很有必要思考該內(nèi)容的地位、意義和價(jià)值.

文獻(xiàn)[1]中對(duì)于“不等式與不等式組”教學(xué)提出以下要求：1)結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì).2)能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；會(huì)用數(shù)軸確定由2個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集.3)能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的問題.

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》在必修模塊5中的不等式內(nèi)容和要求指出：不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容.建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的.并指出教學(xué)要求：在本模塊中，學(xué)生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式(組)對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識(shí)基本不等式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；體會(huì)不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系.

文獻(xiàn)[2]在選修4-5“不等式選講”中指出：在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系.它們?cè)跀?shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用.對(duì)于教學(xué)要求，指出：本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法以及簡(jiǎn)單應(yīng)用.本專題特別強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對(duì)這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力.

文獻(xiàn)[3]“不等式選講”的引言指出：在自然界中，等量關(guān)系和不等量關(guān)系是普遍存在的，描述等量關(guān)系可以用等式，描述不等量關(guān)系可以用不等式.與等量關(guān)系一樣，不等關(guān)系也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.因此，研究不等關(guān)系和不等式，既是數(shù)學(xué)研究的重要方面，也是我們認(rèn)識(shí)世界的重要途徑.“第1章”章前言：現(xiàn)實(shí)中，人們常用長(zhǎng)與短、多與少、高與矮、輕與重……來(lái)描述客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系；數(shù)學(xué)中，人們常用不等式表示這樣的不等關(guān)系，不等式是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容．

文獻(xiàn)[4]中提出教學(xué)要求：通過不等式在各方面的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的，而相等則是局部的、相對(duì)的，從而對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育.

在不等式的實(shí)際應(yīng)用方面，不等式理論在極值問題中非常重要，是不等式應(yīng)用的一個(gè)重要方面.一個(gè)變量，在一定的限制下，何時(shí)能夠達(dá)到最大值或最小值，這是有重要價(jià)值的一類問題，也是學(xué)生很感興趣的問題.不等式(定理)的證明當(dāng)然有價(jià)值，但同樣有價(jià)值的是研究現(xiàn)實(shí)中的一些極值問題.

在研究不等關(guān)系時(shí)，把不等關(guān)系和相等關(guān)系的研究作比較是必要的.任何2個(gè)實(shí)數(shù)間都必然有相等或不等的關(guān)系，相等和不等是對(duì)立統(tǒng)一的2個(gè)概念，是普遍存在的關(guān)系.相等關(guān)系和不等關(guān)系組成互相處于矛盾關(guān)系中的一個(gè)統(tǒng)一體.確定了相等關(guān)系，也就否定了不等關(guān)系，反之亦然.由相等關(guān)系就可以得到一系列的不等關(guān)系，因此，可以通過研究相等關(guān)系來(lái)達(dá)到研究不等關(guān)系的目的.從一個(gè)確定的相等關(guān)系式出發(fā)，就可以得到一系列的不等關(guān)系式.當(dāng)然，從任何不等式定理出發(fā)，自然也可以寫出一系列相關(guān)的不等式結(jié)論，有時(shí)可以進(jìn)一步研究加強(qiáng)了的不等式結(jié)論和減弱了的不等式結(jié)論.

從任何2個(gè)量之間的關(guān)系來(lái)說，不等關(guān)系是比相等關(guān)系更加普遍的關(guān)系，不等關(guān)系的研究具有更多的復(fù)雜性.

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的基本不等式共有5類，與等式存在如下的關(guān)系式：

1)f≥0?|f|=f;

2)f≤0?|f|=-f;

這些關(guān)系式說明：任意一個(gè)不等式，都可以改寫為等價(jià)的等式形式.反過來(lái)，由f=0?|f|≤0，可知任意一個(gè)等式都存在與其等價(jià)的一個(gè)不等式.綜上所述，任意一個(gè)不等式(或等式)都可以改寫為等價(jià)的等式(或不等式)形式[5].

不等關(guān)系的研究是非常普遍的問題，正式冠名的不等式數(shù)量眾多，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的有關(guān)不等式內(nèi)容是基本而且有廣泛應(yīng)用價(jià)值的.這些基本的不等式定理所涉及的運(yùn)算是最常見的運(yùn)算(加、減、乘、倒數(shù)、絕對(duì)值、低次數(shù)冪、向量?jī)?nèi)積、順序變化、距離等)，因此是基礎(chǔ)知識(shí).無(wú)論是從縱向的歷史比較，還是從橫向的國(guó)際比較來(lái)看，目前不等式的教學(xué)要求都已經(jīng)達(dá)到較高的要求，不宜再增加難度、份量.新高中課程增加的柯西不等式和排序不等式的價(jià)值目前得到大家的認(rèn)同，建議教學(xué)要求保持不變.

當(dāng)然，多引入一個(gè)基本的不等式定理，就意味著學(xué)生多知道一個(gè)可以用的工具.從數(shù)量的角度來(lái)看，多了一個(gè)工具，學(xué)生的能力就增強(qiáng)了，舉例說明這一點(diǎn)：已知α>0,β>0,α3+β3=2,求證：α+β≤2.如果應(yīng)用冪平均不等式，就非常容易證明，但用其他方法就需要一定的技巧.但這也不是絕對(duì)的，當(dāng)不等式定理的數(shù)量多到不恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候，學(xué)生對(duì)于選擇哪個(gè)不等式定理作為工具，就需要用更多的時(shí)間進(jìn)行檢索、比較和選擇，這增加了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.另外，在學(xué)生知道較少的工具時(shí)，學(xué)生熟練工具的時(shí)間也可以相應(yīng)減少，對(duì)于這些工具的訓(xùn)練時(shí)間就可以增加，就可以更得心應(yīng)手、熟能生巧.因此不等式定理的引入數(shù)量多少合適的問題，應(yīng)根據(jù)高中學(xué)生的情況來(lái)決定，應(yīng)該適度.

2高等數(shù)學(xué)中的不等式教學(xué)意義

不等關(guān)系是客觀世界中廣泛存在的一個(gè)基本關(guān)系，各種類型的不等式(定理)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支及實(shí)際應(yīng)用中起著十分重要的作用.例如，張奠宙等翻譯、上海科技出版社出版的數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)分析中的問題和定理》就有一章“不等式”(第2篇“積分”中的第2章).在文獻(xiàn)[6]中，第3章“不等式”以較大篇幅講基本的不等式和數(shù)學(xué)分析中的不等式，此書包括了在以前中學(xué)數(shù)學(xué)雜志中討論的一些給人以深刻印象的不等式問題，該章包括以下內(nèi)容：

1)若干簡(jiǎn)單的有窮不等式；

2)平均值與有窮不等式；

3)積分不等式、無(wú)窮不等式及函數(shù)的凸性；

4)關(guān)于不等式的補(bǔ)充命題及雜題；

5)關(guān)于常用函數(shù)的若干不等式.

從此不等式可以得到啟發(fā):以結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)代替一個(gè)超越函數(shù)而能保存該超越函數(shù)的許多特征，并且損失不多.以上論述說明了在數(shù)學(xué)分析學(xué)科中研究不等式的意義.

3近期國(guó)內(nèi)對(duì)于不等式教學(xué)的部分研究

文獻(xiàn)[7]以Cauchy不等式為案例，研究了Cauchy不等式的多種有趣證明、推廣、變形及其應(yīng)用，探討了Cauchy不等式在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的價(jià)值取向，進(jìn)一步體悟到數(shù)學(xué)問題研究的基本方法和基本思想的內(nèi)在魅力.

文獻(xiàn)[8]論述了“不等式選講”構(gòu)成的背景及其定位、新增內(nèi)容的特點(diǎn)及其設(shè)置意向，并提出了一些教學(xué)建議.

文獻(xiàn)[9]針對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修不等式內(nèi)容的教學(xué)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，提出了關(guān)于不等式內(nèi)容教學(xué)的幾點(diǎn)建議，以期對(duì)本部分內(nèi)容的具體教學(xué)提供一定的參考.

文獻(xiàn)[10]對(duì)“不等式選講”的教學(xué)進(jìn)行了調(diào)查研究，針對(duì)教學(xué)現(xiàn)狀和存在的問題，提出了選學(xué)建議和教學(xué)建議，對(duì)于某些重點(diǎn)內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行了深入地研究，并提出了探究式教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì).他認(rèn)為這個(gè)選修專題很有選學(xué)的價(jià)值，但對(duì)于內(nèi)容應(yīng)該有所選擇，并提出了一些教學(xué)建議.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分教師和學(xué)生認(rèn)為此“不等式選講”專題的學(xué)習(xí)有很大必要，大多數(shù)學(xué)校把此專題的學(xué)習(xí)安排在高二下學(xué)期或者高三年級(jí)學(xué)習(xí)，專題教學(xué)安排18課時(shí)比較合適，有些省份要求文理科學(xué)生都學(xué)習(xí)此專題，有的省份則只要求理科學(xué)生學(xué)習(xí)，大部分教師認(rèn)為需要一些教學(xué)輔導(dǎo)材料.

文獻(xiàn)[11]指出：貝努利不等式具有簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)、深刻的內(nèi)涵,在高等數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.比如利用貝努利不等式能簡(jiǎn)潔明快地證明重要極限、算術(shù)幾何平均值不等式、權(quán)方和不等式,也是證明冪平均不等式的工具.鑒于貝努利不等式在數(shù)學(xué)中的地位與作用,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》將貝努利不等式列入選修4第5專題“不等式選講”中.又由于近年來(lái)一些高考試題含有貝努利不等式的背景,因此,對(duì)貝努利不等式的探究是有價(jià)值的.此文利用貝努利不等式和它的2個(gè)推論,巧妙地解答了幾道高考數(shù)學(xué)試題.

文獻(xiàn)[12]指出：在蘇教版的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，函數(shù)內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，不等式的有關(guān)教學(xué)內(nèi)容比較滯后，特別是一元二次不等式的有關(guān)教學(xué)在必修5中才進(jìn)行，顯得較靠后.論文通過調(diào)查問卷及對(duì)人教版和蘇教版教材中不等式內(nèi)容的比較研究，最后得出結(jié)論，應(yīng)該把解不等式的內(nèi)容和其他內(nèi)容分開進(jìn)行教學(xué)，即在高一函數(shù)教學(xué)前安排大約5個(gè)課時(shí)先進(jìn)行解不等式的教學(xué)，再到必修5進(jìn)行線性規(guī)劃和簡(jiǎn)單不等式證明的教學(xué).

文獻(xiàn)[13]指出：在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的“基本理念”與“課程目標(biāo)”中,都提到數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值,即“數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)反映數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系、數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值、數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神和幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用,逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀”，“高中數(shù)學(xué)課程的具體目標(biāo)之一是使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值,崇尚數(shù)學(xué)的理性精神,體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義”.因此,新數(shù)學(xué)課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)既要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授,又要關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的美學(xué)屬性的揭示,使學(xué)生在了解和感受數(shù)學(xué)美的同時(shí),培養(yǎng)起對(duì)數(shù)學(xué)的良好情感及運(yùn)用數(shù)學(xué)美的能力,從而提高對(duì)數(shù)學(xué)的直覺能力及創(chuàng)造思維能力.

文獻(xiàn)[13]結(jié)合不等式教學(xué)實(shí)際論述如何讓學(xué)生感受和運(yùn)用數(shù)學(xué)美：

1)利用對(duì)稱美證明不等式，對(duì)稱美是數(shù)學(xué)中最普遍的一種美,對(duì)稱圖形、對(duì)偶數(shù)、對(duì)稱式、對(duì)稱方程組都給人以勻稱的美感.用對(duì)稱的觀點(diǎn)去處理問題,往往可以從問題的一部分自然聯(lián)想起與此對(duì)稱的另一部分,于是通過構(gòu)造,使問題補(bǔ)充為完美的對(duì)稱問題；或者用解決問題某一部分的方法去解決與此對(duì)稱的另一部分問題.用對(duì)稱美的思想指導(dǎo)解題可找到簡(jiǎn)潔、漂亮的解法.

2)在解不等式中追求簡(jiǎn)單美,探索解題捷徑，在解題過程中,應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察問題,分析問題,找到問題的本質(zhì)特征,尋求簡(jiǎn)單解法.

3)在不等式中灌輸統(tǒng)一美的思想.

4)利用相似性,推廣不等式,感受數(shù)學(xué)的奇異美，讓學(xué)生在推廣過程中深切感受到數(shù)學(xué)的和諧美、奇異美，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲,讓他們能主動(dòng)去學(xué)習(xí),去研究,并培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)造思維能力.

數(shù)學(xué)的美無(wú)處不在.一題多解的廣闊美、一題多變的擴(kuò)散美、數(shù)學(xué)趣題的娛樂美,數(shù)學(xué)的美猶如浩瀚的大海廣闊而且深遂.作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該善于從數(shù)學(xué)中挖掘美、發(fā)現(xiàn)美,將這些內(nèi)容適當(dāng)穿插于教學(xué)過程中,有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生健康、高尚的審美情趣,提高學(xué)生的審美水準(zhǔn).只有這樣,才能激發(fā)學(xué)生求知的愿望與熱情,增強(qiáng)他們的創(chuàng)造發(fā)明能力.

4一元二次不等式及解不等式教學(xué)

一元二次不等式及其解法是不等式內(nèi)容中的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)該把這個(gè)內(nèi)容安排在比較靠前的位置，曾有高中數(shù)學(xué)教科書把“一元二次不等式的解法”安排在全套教科書的第1章，而目前新課程教學(xué)中，一些高中把這個(gè)內(nèi)容作為初高中的銜接內(nèi)容；修訂后的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也宜參考以上的安排，提前安排此內(nèi)容.

另外，從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體來(lái)看，初中學(xué)生學(xué)習(xí)該內(nèi)容沒有困難，建議今后考慮移回初中，作為初中教學(xué)內(nèi)容，充實(shí)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，減輕高中過重的教學(xué)壓力.實(shí)際上，現(xiàn)在初中已經(jīng)有求解相應(yīng)二次方程的內(nèi)容，又有二次函數(shù)的內(nèi)容，從教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系性和整體性出發(fā)，都應(yīng)該考慮在初中增加一元二次不等式的教學(xué)內(nèi)容.

目前，在高中數(shù)學(xué)必修5中，該內(nèi)容只安排了3個(gè)課時(shí)；在文獻(xiàn)[14]中，該內(nèi)容只安排了一個(gè)“讀一讀”的內(nèi)容，就基本說明問題了，如果正式安排教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該也不必花多少時(shí)間.在文獻(xiàn)[15]中，一元二次不等式是安排在第14章“函數(shù)及其圖像”的第6節(jié)“一元一次不等式組和一元二次不等式”中，此書開本為32開，在這一章前幾節(jié)分別講了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，在最后一節(jié)講一元二次不等式的解法，在共4頁(yè)半的范圍內(nèi)，借助函數(shù)圖像的方法，用了2頁(yè)半就把一元二次不等式的解法講得非常清楚了，再用了2頁(yè)講了6個(gè)例題.當(dāng)時(shí)安排的課時(shí)是2~3個(gè)課時(shí).

從縱向比較看，大綱教材有解不等式的內(nèi)容，現(xiàn)在基本刪去，而證明不等式的要求則有所提高.實(shí)際上，解不等式的基本知識(shí)有廣泛的應(yīng)用，目前，對(duì)于解不等式的教學(xué)內(nèi)容，在“不等式選講”中只安排了解含絕對(duì)值的不等式，份量較少，略顯欠缺，建議是否可以增加部分解不等式的內(nèi)容，可以考慮再安排若干課時(shí)用于“解不等式”，如解無(wú)理不等式和分式不等式.

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