孫 杰，張東青，張紅英，張錦繡

（1.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱 150080）

0 引言

自20世紀(jì)90年代以來，衛(wèi)星編隊(duì)飛行技術(shù)得到了迅速發(fā)展，美、俄、歐空局等眾多國家和空間組織機(jī)構(gòu)都開展了編隊(duì)飛行技術(shù)的研究，并取得了卓越的成效，尤其是由DLR研制的TanDEM-X編隊(duì)在2010年7月投入運(yùn)行，該計(jì)劃是國際上首個投入在軌運(yùn)行的近地衛(wèi)星編隊(duì)［1］。隨著技術(shù)的發(fā)展和任務(wù)的不同，對近距離編隊(duì)甚至超近距離編隊(duì)也提出了技術(shù)需求。

庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)技術(shù)是近年來一種新興的編隊(duì)技術(shù)［2］，其基本概念是采用一定技術(shù)手段（如電子槍）使衛(wèi)星帶電（正電荷或負(fù)電荷），通過控制衛(wèi)星帶電量實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星編隊(duì)相對位置的控制，未來將成為解決超近距離編隊(duì)的一種有效途徑。在庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)中，任意兩顆衛(wèi)星間的相對距離由它們間的庫侖力控制，故不會產(chǎn)生對鄰近衛(wèi)星敏感器的污染問題；同樣，基于帶同性電荷衛(wèi)星相互排斥機(jī)理，在近距離編隊(duì)時帶同性電荷的衛(wèi)星也不會產(chǎn)生碰撞問題。因此，庫侖力編隊(duì)既可利用衛(wèi)星在空間環(huán)境中充電的特性產(chǎn)生控制力，又能解決現(xiàn)有推進(jìn)系統(tǒng)的敏感器污染和近距離碰撞問題。前期空間試驗(yàn)已經(jīng)證明了空間環(huán)境中衛(wèi)星表面帶電的可能性，對電磁力衛(wèi)星編隊(duì)也進(jìn)行了大量的研究。1979年發(fā)射的史卡莎（SCATHA）試驗(yàn)衛(wèi)星表明在空間等離子環(huán)境中僅數(shù)十毫安的電流就可使衛(wèi)星獲得3kV電勢，空間等離子環(huán)境可充電勢達(dá)14kV，且基于庫侖力控制比沖可達(dá)1 000ms，遠(yuǎn)高于 EP推力器［3－4］。文獻(xiàn)［5］建立了N體充電衛(wèi)星的動力學(xué)模型，其主要基于圓軌道假設(shè)，且成員間的距離小于100m；文獻(xiàn)［6］研究了兩衛(wèi)星間利用庫侖力系繩編隊(duì)的動力學(xué)方程及其穩(wěn)定性問題；文獻(xiàn)［7］討論了幾種穩(wěn)定的編隊(duì)構(gòu)形，并提出了一些關(guān)于閉環(huán)控制的問題；文獻(xiàn)［8］提出了表明基于庫侖力實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)編隊(duì)重構(gòu)的方法以節(jié)約能量。

本文對庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)空間德拜屏蔽效應(yīng)進(jìn)行了分析，用拉格朗日方程建立了Hill坐標(biāo)系中的地球同步軌道庫侖力編隊(duì)相對運(yùn)動動力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的基本平衡條件，并用于地球同步軌道上的兩星編隊(duì)。

1 參考坐標(biāo)系

2 庫侖力編隊(duì)空間德拜屏蔽效應(yīng)

在包括大氣阻力、地球非球形攝動、太陽光壓、空間等離子等多個影響庫倫力編隊(duì)性能的因素中，空間等離子環(huán)境直接影響庫侖力編隊(duì)的性能，其中最突出的因素為德拜（Debye）屏蔽效應(yīng)［9］。德拜屏蔽效應(yīng)的分析結(jié)果將直接決定庫倫力編隊(duì)的應(yīng)用范圍。

圖1 Hill坐標(biāo)系Fig.1 Hill coordinate

由靜電學(xué)理論可知，帶電體在等離子和真空環(huán)境中的表現(xiàn)完全不同。將一正電荷放入等離子環(huán)境中，它將吸引等離子環(huán)境中的負(fù)電荷，同時排斥等離子環(huán)境中的正電荷，最終會成一個負(fù)電荷團(tuán)，將該正電荷包圍，并屏蔽這個正電荷的電場。因此，電場在等離子環(huán)境中衰減較在真空中更快，該現(xiàn)象被稱為德拜屏蔽效應(yīng)，電荷團(tuán)的平均半徑稱為德拜長度。

當(dāng)與正電荷的距離大于德拜長度時，正電荷的電場呈指數(shù)衰減，可表示為

式中：F為庫侖力；kc為靜電引力常數(shù)；q為星體帶電量；d為星體間距；λd為德拜長度。當(dāng)與正電荷的距離小于德拜長度時，正電荷的電場相當(dāng)于一個點(diǎn)電荷在真空中的電場。

在不同的軌道高度，因環(huán)境中離子密度不同，德拜長度有所差異。同時，太陽的活動對德拜長度也有一定影響。不同軌道高度德拜長度見表1［10］。

表1 不同高度軌道的德拜長度值Tab.1 Debye length at different orbit

由表1可知：在近地軌道，德拜長度僅為2～40cm，要求編隊(duì)的距離極小，僅適于衛(wèi)星機(jī)構(gòu)的對接操作，不適于進(jìn)行編隊(duì)飛行；在地球同步軌道，德拜長度為100～1 000m量級，完全能滿足編隊(duì)飛行的需要；對深空環(huán)境，庫侖力編隊(duì)也具備一定前景，但僅限較近距離編隊(duì)飛行。本文選擇地球同步軌道對庫侖力編隊(duì)進(jìn)行動力學(xué)建模與穩(wěn)定性分析。

3 庫侖力編隊(duì)動力學(xué)建模

為便于分析問題，將Hill模型的原點(diǎn)建立在編隊(duì)質(zhì)心處。則在編隊(duì)質(zhì)心處式成立

式中：xcm，zcm為庫侖力編隊(duì)在Hill模型中的質(zhì)心位置坐標(biāo)；n為軌道角速度［11］?？梢姡魓cm，zcm為零，則衛(wèi)星編隊(duì)質(zhì)心在X、Z向上無加速度，編隊(duì)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，同時衛(wèi)星編隊(duì)質(zhì)心在Y向上有位移但對編隊(duì)穩(wěn)定性無影響。為使衛(wèi)星編隊(duì)在初始時刻就達(dá)到穩(wěn)定和編隊(duì)的唯一性，令衛(wèi)星在Y向上無初始位移，即成立質(zhì)心條件

式中：M為衛(wèi)星編隊(duì)的質(zhì)心；ρi為衛(wèi)星編隊(duì)質(zhì)心在Hill模型中的位置矢量；xi，yi，zi分別為ρ的三軸標(biāo)量。

進(jìn)一步為克服重力梯度力矩，編隊(duì)系統(tǒng)一個慣性主軸須沿向；為保證編隊(duì)繞地球的角速度，編隊(duì)一個慣性主軸須與軸重合；第三個主軸的方向由右手定則自然確定，這就要求庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)的慣性主軸必須與Hill模型的三個坐標(biāo)軸重合。

在Hill坐標(biāo)系中，任何一顆衛(wèi)星的位置矢量可表示為

編隊(duì)中第i個衛(wèi)星相對FI系的速度可表示為

式中：為衛(wèi)星在Hill模型中繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角速度；r為參考衛(wèi)星的地心距。

每個衛(wèi)星的動能可表示為

用拉格朗日方程建立動力學(xué)關(guān)系

式中：T為衛(wèi)星的總動能；Qi＝Qig＋Qic［7］。此處：Qig，Qic分別為地球重力項(xiàng)和庫侖力項(xiàng)，且

其中：μ為地球引力常量；kc為靜電引力常量。將式（6）、（8）代入式（7）可得

將重力項(xiàng)整理成

在此基礎(chǔ)上，用泰勒展開形式

因μ＝r3n2（n為衛(wèi)星編隊(duì)的平均軌道角速度），則可得

將式（12）代入式（9），并考慮德拜屏蔽效應(yīng)，可得Hill模型中衛(wèi)星庫侖力編隊(duì)的動力學(xué)方程

式中：ρij為兩星間距，且ρij＝｜ρi－ρj｜。

4 編隊(duì)基本平衡條件及兩星狀態(tài)簡化

為使庫侖力飛行編隊(duì)中各星間的相對位置保持穩(wěn)定，在不考慮擾動條件下，動力學(xué)方程式（13）中所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均必須為零。具體編隊(duì)構(gòu)形是通過嚴(yán)格布置各衛(wèi)星在編隊(duì)中的位置和衛(wèi)星的電勢（電荷量）實(shí)現(xiàn)的。式（13）考慮了德拜屏蔽效應(yīng)，在地球同步軌道上，含德拜長度的指數(shù)項(xiàng)可近似為1。

為使表達(dá)更簡潔，將方程中的q，kc，n合稱為一個參數(shù)，定義

對一般N星問題，若衛(wèi)星的編隊(duì)按式（16）構(gòu)形，則該庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)可達(dá)到穩(wěn)定。

對兩星問題，兩星沿Hill坐標(biāo)系X軸的編隊(duì)如圖2所示。兩星的間距為L，兩者的質(zhì)心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足質(zhì)心條件。因兩者共線且位于X軸上，主軸條件自然滿足。

圖2X軸上兩體編隊(duì)Fig.2 Two-body formation flying inXaxis

根據(jù)質(zhì)心條件可得

將兩星的間距表示成第一顆衛(wèi)星的坐標(biāo)

將此問題的編隊(duì)形式代入Hill方程式，可得X向上的兩組方程（每個衛(wèi)星各有一個）

將式（17）、（18）代入式（19）中，解出Q12，編隊(duì)構(gòu)形方程為

同理，若設(shè)任意軸上的兩星編隊(duì)的構(gòu)形方程為

則可得X、Z軸（即沿地心方向與沿軌道面法線方向）存在穩(wěn)定構(gòu)形，沿飛行方向則無穩(wěn)定構(gòu)形。任意軸上兩星庫倫力編隊(duì)存在情況見表2。

表2 任意軸上兩星庫倫力編隊(duì)存在情況Tab.2 Pair coulomb satellite formation in random axis

5 數(shù)學(xué)仿真及結(jié)果分析

如前分析，理論上滿足兩星庫侖力編隊(duì)在Hill坐標(biāo)系中任意軸上的穩(wěn)定構(gòu)形存在無窮多個，因此編隊(duì)構(gòu)形選擇成為關(guān)鍵。本文針對X軸上的兩星編隊(duì)，討論影響編隊(duì)充點(diǎn)電勢的因素，進(jìn)而得到關(guān)于編隊(duì)優(yōu)化的一般性結(jié)論。為簡化問題，假定編隊(duì)內(nèi)兩衛(wèi)星的質(zhì)量（m1，m2為150kg）、體積和充電電勢相等，r1＝r2＝2.5m，n＝＝7.291 5×10－5rad／s［12］。

根據(jù)格林公式和式（21），可得充電電荷

將式（22）代入式（20）可得衛(wèi)星充點(diǎn)電勢

數(shù)值仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 庫侖力編隊(duì)電勢Fig.3 Voltage for coulomb satellite formation

由仿真結(jié)果可知：對地球同步軌道庫侖力編隊(duì)，隨著衛(wèi)星間距的增大、衛(wèi)星質(zhì)量的增加，衛(wèi)星所需充電電勢逐漸增大；充電電勢與衛(wèi)星直徑成反比關(guān)系，充電電勢隨衛(wèi)星直徑增大而快速下降。由此可知，為減小庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)所需電勢以節(jié)約能源，應(yīng)減小編隊(duì)距離，減輕衛(wèi)星重量，同時增大衛(wèi)星外表面體積，提高庫侖力編隊(duì)的效率。

6 結(jié)束語

本文分析了庫倫力編隊(duì)空間德拜屏蔽效應(yīng)，建立了基于拉格朗日方程的庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)動力學(xué)模型并得到簡化模型，得到了編隊(duì)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的基本平衡條件：基于地球同步軌道等離子環(huán)境中德拜長度在100～1 000m量級，相較近地和深空軌道，地球同步軌道為庫倫力編隊(duì)的最佳應(yīng)用范圍；雙星地球同步軌道庫倫力編隊(duì)在沿地心方向與沿軌道面法線方向存在穩(wěn)定構(gòu)形；為提高庫倫力編隊(duì)效率節(jié)約能源，應(yīng)減小編隊(duì)距離，減輕衛(wèi)星重量，同時盡可能增大衛(wèi)星外表面體積。研究為后續(xù)N星庫侖力編隊(duì)的進(jìn)一步分析提供了參考。

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