李 波，陳曉峰

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

0 引言

空間桿狀構(gòu)架式展開機構(gòu)作為航天器大型支撐機構(gòu)，具有重要的支撐定位功能，可實現(xiàn)空間有效載荷的長距離、大面積展開。空間桿狀構(gòu)架式展開機構(gòu)主要由可折疊的復(fù)雜桿系組成，具有質(zhì)量小、收藏比大、比剛度高、可靠性高等特點，可較好地解決運載整流罩的包絡(luò)空間有限對航天器空間構(gòu)型的制約問題，能滿足航天器發(fā)射和在軌不同階段的任務(wù)需求，是一種典型的空間變胞機構(gòu)，在空間技術(shù)領(lǐng)域有重要的研究價值和廣闊的應(yīng)用前景［1－4］。

機構(gòu)綜合與機構(gòu)分析是機構(gòu)學(xué)研究的兩個基本內(nèi)容。機構(gòu)綜合著重創(chuàng)造性構(gòu)思、發(fā)明、創(chuàng)新設(shè)計新機構(gòu)的理論與方法的研究；機構(gòu)分析著重機構(gòu)結(jié)構(gòu)學(xué)、運動學(xué)及動力學(xué)特性的研究，揭示機構(gòu)結(jié)構(gòu)組成、運動學(xué)與動力學(xué)規(guī)律及其相互聯(lián)系，用于現(xiàn)有機構(gòu)性能分析與改進，同時為機構(gòu)綜合提供理論依據(jù)［5］。機構(gòu)綜合又包括型綜合和尺寸綜合兩個方面，其中型綜合是指確定最適于問題的機構(gòu)類型。目前，機構(gòu)的型綜合與分析是通過計算機輔助設(shè)計及其輔助分析軟件完成的。因這兩類軟件分屬不同的工作平臺，機構(gòu)分析時設(shè)計人員常采用傳統(tǒng)分析方法，即先由計算機輔助設(shè)計軟件給出機構(gòu)類型，再采用計算機輔助分析軟件輸入機構(gòu)必要的參數(shù)，對機構(gòu)的各項性能進行分析和評估，這樣增加了中間環(huán)節(jié)，降低了工作效率。為此，本文應(yīng)用拓撲理論在同一平臺上對機構(gòu)的型綜合與結(jié)構(gòu)分析進行了研究。

1 桿狀構(gòu)架式展開機構(gòu)型綜合

式中：n為運動鏈構(gòu)件數(shù)（即拓撲圖頂點數(shù)）；m為運動副數(shù)（即拓撲圖邊數(shù)）；ni為具i個運動副的構(gòu)件數(shù)，i＝1，2，3，…，該構(gòu)件稱為i副桿或i元桿。

由圖論和歐拉方程式，有

式中：ν為拓撲圖基本回路數(shù)。

滿足式（1）、（4）的n，m，ν組合有無窮多解，即運動鏈有無窮多。根據(jù)拓撲結(jié)構(gòu)要求，選取三回路進行構(gòu)型綜合，則有n＝10，m＝12，ν＝3。由式（2）、（3）可知

將式（5）、（6）代入式（1），得

由式（5）、（7）可得十桿機構(gòu)的結(jié)構(gòu)方案如下。

a）方案Ⅰ：n2＝6，n3＝4。

b）方案Ⅱ：n2＝7，n3＝2，n4＝1。

第五，為了充實實驗的全面性，建議在山區(qū)對各像控點布設(shè)方案做更多的實驗，同時也可以適當改變基線相隔數(shù)量以及航帶相隔數(shù)量并分別驗證其精度。

c）方案Ⅲ：n2＝8，n4＝2。

選用方案Ⅲ作為運動鏈的基本結(jié)構(gòu)形式，對應(yīng)的拓撲胚圖類型如圖1所示。圖中，多副桿（i≥3）用頂點表示，頂點用邊連接，每條邊代表一支由二副桿組成的運動鏈。采用運動鏈拓撲胚圖插點法，在胚圖的邊中插入n2構(gòu)件，不同分配方式，可得各種異構(gòu)體（或稱異構(gòu)運動鏈）。為便于區(qū)別，用4個數(shù)字表示4支運動鏈中二副桿的構(gòu)件數(shù)，由此可得兩種異構(gòu)體，如圖1所示。

對各種異構(gòu)體，按平面運動副同一級別間可相互轉(zhuǎn)換，不同級別按高副低代的原則，確定可行的機構(gòu)組成。則由異構(gòu)體3212得到的運動鏈如圖2所示，相應(yīng)的機構(gòu)如圖3所示。

2 桿狀構(gòu)架式展開機構(gòu)展開過程型綜合

圖1 方案Ⅲ對應(yīng)的胚圖類型及異構(gòu)體Fig.1 Contracted and isomers for schemeⅢ

圖2 三自由度十桿機構(gòu)運動鏈Fig.2 Kinematical chain of a ten－bar mechanism with 3DOFs

圖3 三回路十桿構(gòu)架式展開機構(gòu)結(jié)構(gòu)Fig.3 A ten－bar mechanism with 3loops

變胞機構(gòu)與傳統(tǒng)機構(gòu)的不同之處是機構(gòu)在構(gòu)態(tài)變化的過程中自由度發(fā)生變化。自由度的變化取決于機構(gòu)運動鏈及拓撲結(jié)構(gòu)的變化，該類機構(gòu)結(jié)構(gòu)變化由構(gòu)件的合并引起，具體表現(xiàn)為構(gòu)件和運動副數(shù)的變化。按自由度的變化規(guī)律，變胞機構(gòu)可分為三類：第一類，自由度逐漸由多到少；第二類，自由度逐漸由少到多；第三類，上述兩者混合變化，即有時自由度逐漸增加，有時自由度逐漸減少［6］。

空間構(gòu)架式展開機構(gòu)屬于第一類變胞機構(gòu)，其展開過程的型綜合實質(zhì)是變胞機構(gòu)的型綜合。在展開的最初階段，桿系折疊收攏在航天器側(cè)壁，桿件間通過鉸鏈連接，各鉸鏈均處于活動狀態(tài)（如圖3（a）所示），機構(gòu)為三自由度桿系，此時對應(yīng)為機構(gòu)的始態(tài)。展開過程中，在控制系統(tǒng)和鎖定裝置的作用下，桿系各鉸鏈依次鎖定，展開到位后整個桿系形成一穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)，自由度變?yōu)?，此時對應(yīng)為機構(gòu)的終態(tài)。

根據(jù)展開機構(gòu)自由度變化的特點，為實現(xiàn)機構(gòu)構(gòu)態(tài)變化前后自由度減少1，應(yīng)滿足關(guān)系

式中：n，n′分別為構(gòu)態(tài)變化前后的構(gòu)件數(shù)；m，m′分別為構(gòu)態(tài)變化前后的運動低副數(shù)。

因n，n′，m，m′必須為正整數(shù)，故滿足上述條件且符合實際情況的組合有

式（9）、（10）表明：機構(gòu)實現(xiàn)自由度減少1具有以下變化規(guī)律和結(jié)構(gòu)特點：

a）將相鄰接的兩構(gòu)件合并，構(gòu)件和運動副各減少1個；

b）將同一回路中相隔2個構(gòu)件的兩構(gòu)件合并，減少構(gòu)件3個和運動副4個。

根據(jù)展開機構(gòu)的工作特性，在運動過程中其自由度從3→2→1→0。按上述變化規(guī)律，只要將任意相鄰接的兩構(gòu)件合并即可得自由度為2的運動鏈，有“1、2”，“2、3”，“3、4”，“4、5”，“5、6”，“6、7”，“7、1”，“2、8”，“5、8”，“2、9”，“9、10”，“5、10”桿件合并共12種形式，消除同構(gòu)體（即同構(gòu)運動鏈）后得到3種異構(gòu)體方案如圖4所示。

圖4 自由度由3變2的異構(gòu)體方案Fig.4 Isomers with 2DOFs

同理，由異構(gòu)體3211可綜合出實現(xiàn)自由度從2→1→0的運動鏈方案，如圖5所示。

圖5 自由度由2變0的運動鏈Fig.5 Kinematical chain of DOF changing

3 桿狀構(gòu)架式展開機構(gòu)型分析

機構(gòu)的型分析是機構(gòu)學(xué)研究中重要方面，為機構(gòu)的選型和應(yīng)用提供相應(yīng)的評價準則。根據(jù)構(gòu)架式展開機構(gòu)的工作特性不僅可綜合出工作周期內(nèi)構(gòu)態(tài)的變化過程，還能得到機構(gòu)的拓撲特性矩陣，作為定量評價機構(gòu)性能的工具。

機構(gòu)的距離矩陣D和剛度矩陣S分別描述了該構(gòu)型展開機構(gòu)的空間緊湊性和整體剛度。利用這些拓撲矩陣，便于在方案階段快速、合理地分析和選擇桿系構(gòu)型。

3.1 距離矩陣

緊湊性是反映機構(gòu)靜態(tài)性能的一個重要指標。機構(gòu)越緊湊表明其靜態(tài)性能越好，并占有較小的空間。在不考慮桿件尺寸的情況下，桿件和運動副數(shù)越少的機構(gòu)越緊湊，具有相同桿件和運動副數(shù)的不同設(shè)計構(gòu)型的機構(gòu)，其空間緊湊性通過定義桿件之間的距離描述，用距離矩陣D表示。D越小，機構(gòu)越緊湊。

圖1中，運動鏈3212及其對應(yīng)機構(gòu)的距離矩陣分別為

靜態(tài)距離矩陣為一n×n階對稱矩陣，此處n為描述機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)。矩陣中的元素dij代表了機構(gòu)中第i，j個構(gòu)件間最少的運動副數(shù)，且當i＝j(luò)時，dij＝0［7］。矩陣Dc中所有元素之和為距離值。因此，構(gòu)型3212方案中，機構(gòu)的距離值為182；構(gòu)型3113方案中，機構(gòu)的距離值為192，可見對應(yīng)具有相同桿件和運動副數(shù)的上述兩種構(gòu)型，構(gòu)型3212方案空間布局更緊湊。

3.2 剛度矩陣

機構(gòu)的實際剛度由桿件尺寸、彈性及支撐決定。在不考慮桿件物理參數(shù)和幾何參數(shù)的前提下，桿系剛度取決于各桿件的支撐點數(shù)，每個桿件的支撐點數(shù)為該桿的連通度，機構(gòu)的剛度用S表示。

圖1中，運動鏈3212，3113對應(yīng)機構(gòu)的剛度矩陣

式中：S3212中，s11＝2，s12＝4，s13＝4／3，s14＝4／5，s15＝4／5，s16＝1，s17＝2，s18＝4／3，s19＝4／3，s110＝4／5，s21＝2，s22＝4，s23＝2，s24＝1，s25＝4／3，s26＝2／3，s27＝1，s28＝2，s29＝2，s210＝1，s31＝4／3，s32＝4，s33＝2，s34＝2，s35＝4／3，s36＝4／5，s37＝4／5，s38＝4／3，s39＝4／3，s310＝4／5，s41＝4／5，s42＝4／3，s43＝2，s44＝2，s45＝4，s46＝4／3，s47＝4／5，s48＝4／3，s49＝4／5，s410＝4／3，s51＝2／3，s52＝4／3，s53＝1，s54＝2，s55＝4，s56＝2，s57＝1，s58＝2，s59＝1，s510＝2，s61＝1，s62＝4／5，s63＝4／5，s64＝4／3，s65＝4，s66＝2，s67＝2，s68＝4／3，s69＝4／5，s610＝4／3，s71＝2，s72＝4／3，s73＝4／5，s74＝4／5，s75＝4／3，s76＝2，s77＝2，s78＝4／5，s79＝4／5，s710＝4／5，s81＝4／3，s82＝4，s83＝4／3，s84＝4／3，s85＝4，s86＝4／3，s87＝4／5，s88＝2，s89＝4／3，s810＝4／3，s91＝4／3，s92＝4，s93＝4／3，s94＝4／5，s95＝4／3，s96＝4／5，s97＝4／5，s98＝4／3，s99＝2，s910＝2，s101＝4／5，s102＝4／3，s103＝4／5，s104＝4／3，s105＝4，s106＝4／3，s107＝4／5，s108＝4／3，s109＝2，s1010＝2；S3213中，s11＝2，s12＝4，s13＝4／3，s14＝4／5，s15＝1，s16＝2，s17＝4／3，s18＝4／3，s19＝4／5，s110＝4／7，s21＝2，s22＝4，s23＝2，s24＝4／3，s25＝2／3，s26＝1，s27＝2，s28＝2，s29＝1，s210＝2／3，s31＝4／3，s32＝4，s33＝2，s34＝4，s35＝4／3，s36＝4／5，s37＝4／3，s38＝4／3，s39＝4／5，s310＝4／3，s41＝2／3，s42＝4／3，s43＝2，s44＝4，s45＝2，s46＝1，s47＝2，s48＝2／3，s49＝1，s410＝2，s51＝1，s52＝4／5，s53＝4／3，s54＝4，s55＝2，s56＝2，s57＝4／3，s58＝4／7，s59＝4／5，s510＝4／3，s61＝2，s62＝4／3，s63＝4／5，s64＝4／3，s65＝2，s66＝2，s47＝4／5，s48＝4／5，s49＝4／7，s410＝4／5，s71＝4／3，s72＝4，s73＝4／3，s74＝4，s75＝4／3，s76＝4／5，s77＝2，s78＝4／3，s79＝4／5，s710＝4／3，s81＝4／3，s82＝4，s83＝4／3，s84＝4／5，s85＝4／7，s86＝4／5，s87＝4／3，s88＝2，s89＝2，s810＝1，s91＝4／5，s92＝4／3，s93＝4／5，s94＝4／3，s95＝4／5，s96＝4／7，s97＝4／5，s98＝2，s99＝2，s910＝2，s101＝4／7，s102＝4／5，s103＝4／3，s104＝4，s105＝4／3，s106＝4／5，s107＝4／3，s108＝1，s109＝2，s1010＝2。

其中，矩陣中元素

式中：Ci，Ck，Cj為不同桿件的連通度（每個桿件的運動副數(shù)）。當i＝j(luò)時，剛度矩陣的元素值就是桿件自身的連通度。當i≠j時，剛度矩陣的元素值是除桿件i外，從桿件i到桿件j經(jīng)過的最短路徑中所有串聯(lián)桿件連通度的運算之和。如存在多條最短路徑，則應(yīng)選取由具有最小連通度的桿件組成的最短路徑。剛度矩陣中的每一行元素之和代表了該行對應(yīng)桿件的剛度，所有元素之和代表了整個機構(gòu)的剛度。因此，構(gòu)型3212方案中桿件1～10的剛度值依次為 77／5，17，236／15，236／15，17，77／5，38／3，94／5，236／15，236／15，總體剛度值159.2；構(gòu)型3113方案中桿件1～10的剛度值為531／35，50／3，274／15，50／3，531／35，1 306／105，274／15，531／35，1 306／105，531／35，總體剛度值155.43。由此可見，對應(yīng)具有相同桿件和運動副數(shù)的上述兩種構(gòu)型，構(gòu)型3212方案整體剛度更強。

4 結(jié)束語

根據(jù)空間桿狀構(gòu)架式展開機構(gòu)的工作特性，本文應(yīng)用拓撲理論研究了運動鏈結(jié)構(gòu)的變化及其對應(yīng)構(gòu)型下的拓撲特性矩陣，為在同一平臺上進行變自由度機構(gòu)的綜合、選型和應(yīng)用提供了手段。本文研究的型分析方法簡潔、實用，利用矩陣運算分析并對比了不同運動鏈的結(jié)構(gòu)特征和拓撲性能，得到了最佳的運動鏈構(gòu)型方案，對空間桿系結(jié)構(gòu)布局的優(yōu)化具有一定的指導(dǎo)意義。因?qū)⑿头治鰡栴}轉(zhuǎn)化為矩陣運算，本文提出的方法易于在計算機上進行，對開發(fā)變胞機構(gòu)快速設(shè)計系統(tǒng)，實現(xiàn)空間機構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計與分析一體化有重要作用。

［1］ 李瑞玲，戴建生，張啟先，等.基于構(gòu)態(tài)變換的變胞機構(gòu)結(jié)構(gòu)綜合［J］.機械工程學(xué)報，2002，38（7）：12－16.

［2］ 金國光，高 峰，丁希倫.變胞機構(gòu)的分類及其構(gòu)態(tài)分析［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，2005，24（7）：764－767.

［3］ 王徳倫，戴建生.變胞機構(gòu)及其綜合的理論基礎(chǔ)［J］.機械工程學(xué)報，2007，43（8）：32－42.

［4］ 李東福，金國光，吳艷榮.變胞機構(gòu)理論和應(yīng)用研究概述［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，2007，26（2）：227－230.

［5］ 楊廷力.機械系統(tǒng)基本理論－結(jié)構(gòu)學(xué)·運動學(xué)·動力學(xué)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1996.

［6］ 郭宗和，馬履中，楊啟志.基于變胞原理的變自由度機構(gòu)拓撲型分析［J］.中國機械工程，2005，16（1）：1－3.

［7］ RAO A C.Topological characteristics of linkage mechanisms with particular reference to platform－type robots［J］.Mechanism and Machine Theory，1995，30（1）：33－42.