韋永梅，趙發(fā)勇

(阜陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

傅立葉變換性質(zhì)在瞬時頻率構(gòu)造中的應(yīng)用

韋永梅，趙發(fā)勇

(阜陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

利用傅立葉變換的性質(zhì)研究信號希爾伯特變換的頻譜特征。在頻域內(nèi)一個因果信號的頻譜實部與虛部互為變換。一個信號和它的變換式能構(gòu)成一個解析信號，解析信號的實部就是原信號，其虛部是原信號的希爾伯特變換；解析信號的傅立葉頻譜只有正頻率部分，正好是原信號正頻率部分的二倍，并且該解析信號的幅值和相位就表征了原信號的幅值包絡(luò)和瞬時頻率變化特征，這樣就使瞬時頻率瞬時幅值有了明確的物理意義，對研究非線性非穩(wěn)態(tài)信號有非常重要的價值。

希爾伯特變換；因果信號；解析信號；瞬時頻率

瞬時信號的特征提取對于分析非平穩(wěn)非線性信號具有十分重要的意義。隨著現(xiàn)代技術(shù)發(fā)展,要準確地識別研究信號內(nèi)部特征，就要求高精度提取信號的瞬時參數(shù)。然而復(fù)雜信號真正意義上的瞬時參數(shù)定義比較困難,更談不上高精度測量信號的瞬時參數(shù)。變換可以巧妙地應(yīng)用解析表達式中的實部與虛部的正弦和余弦關(guān)系,定義出任意時刻的瞬時頻率、瞬時相位及瞬時幅度,從而解決了復(fù)雜信號中的瞬時參數(shù)的定義及計算問題,使得對于時間有限信號和復(fù)雜多分量信號的瞬時參數(shù)的提取成為可能，所以它在信號處理中有著極其重要的作用[1]。即使有些復(fù)雜信號不滿足變換的條件,可以經(jīng)過分解,然后進行變換,達到提取信號瞬時特征的目的。在工程中如何實現(xiàn)變換對信號的瞬時特征提取,特別如何提取瞬時頻率特征及提高信號特征精度等問題很有研究價值。

在信號與系統(tǒng)分析中,系統(tǒng)可實現(xiàn)性的實質(zhì)是具有因果性，不僅時限信號、無時限信號經(jīng)常用因果信號來表示,而且在實際中獲得的信號大多是因果信號。利用傅立葉變換的性質(zhì)可以推出因果信號的傅里葉變換的實部與虛部互不獨,它們之間可通過變換形式表示出相互制約特性。一個信號和它的變換式能構(gòu)成一個解析信號，解析信號的實部就是原信號，其虛部是原信號的希爾伯特變換；利用傅立葉變換的性質(zhì)推出了解析信號的傅立葉頻譜只有正頻率部分，而且正好是原信號的正頻率部分的二倍，解析信號和原實信號自身本質(zhì)是一致的。研究解析信號的頻譜特點就能得到原信號正頻率部分的頻譜特征。并且利用Hilbert變換和解析信號的特征可以得到原實信號的任意時刻的模和相位變化特征，該解析信號的幅值和相位就表征了原信號的幅值包絡(luò)和瞬時頻率變化特征，可以實現(xiàn)對原實信號的瞬時特征提取，定義出任意時刻的瞬時頻率、瞬時相位和瞬時幅值等重要的瞬時參量[2-3]，這樣就使瞬時頻率瞬時幅值有了明確的物理意義，對研究非線性非穩(wěn)態(tài)信號有非常重要的價值。

2 Hilbert變換的頻域特征及其在信號分析中的應(yīng)用

2.1Hilbert變換的定義

把某一實函數(shù)f(x)的希氏變換記為H[f(t)]，則有：

(1)

2.2 利用傅立葉變換對稱和卷積性質(zhì)分析Hilbert變換的頻譜

(2)

由傅立葉變換的對稱性質(zhì)得：

由此得：

(3)

即Hilbert變換的沖激響應(yīng)h(t)的傅立葉變換是-jsgn (ω)。即：

(4)

由上式得知，Hilbert變換在頻域內(nèi)了完成對信號的移相。

由傅立葉變換的卷積性質(zhì)，得到信號f(t)經(jīng)Hilbert變換后的頻譜為：

(5)

從一些常用信號的Hilbert變換結(jié)果也可以反映這個特點，例如

H[cosωt]=sinωt，

H[sinωt]=-cosωt，

H[a(t)cosωt]=a(t)sinωt。

同理，利用傅立葉變換可以推導(dǎo)出一個信號經(jīng)過兩次希爾伯特變換后的頻譜為：

=F(jω)·[-jsgn(ω)]·[-jsgn(ω)]

(6)

由此得知一個信號經(jīng)過兩次Hilbert變換后在頻域內(nèi)就是一個理想的移相器，信號經(jīng)過Hilbert變換相當于對信號的正頻率部分移相180度，對負頻率部分移相180度。

2.3 利用傅立葉變換卷積性質(zhì)分析Hilbert與因果信號的關(guān)系

在信號與系統(tǒng)分析中,系統(tǒng)可實現(xiàn)性的實質(zhì)是具有因果性，不僅時限信號、無時限信號經(jīng)常用因果信號來表示,而且在實際中獲得的信號大多是因果信號。

設(shè)x(t)是實因果信號，當t<0時，x(t)=0。則x(t)=f(t)·u(t)，利用傅立葉變換的卷積性質(zhì)得到x(t)的傅立葉變換為：

=Re[X(jω)]+Im [X(jω)]

(7)

2.4 利用傅立葉變換的奇偶性和線性分析Hilbert變換與解析信號的關(guān)系

設(shè)信號x(t)為一個實信號,利用x(t)及其希爾伯特變換H[x(t)]構(gòu)造一個復(fù)信號z(t)：

z(t)=x(t)+jH[x(t)]=atejθ(t)

=a(t)cosθ(t)+ja(t)sinθ(t)

(8)

稱z(t)為x(t)的解析信號，其中a(t)為解析信號的模，θ(t)為相角。

已知實信號x(t)的頻譜設(shè)為Re(ω)+jIm(ω),由傅立葉變換定義式我們能推出其實部對ω是偶對稱的,虛部對ω是奇對稱的,即:

(9)

(10)

將H[x(t)]再移相，即乘以j,得jH[x(t)]的頻譜為：

(11)

利用x(t)及其希爾伯特變換H[x(t)]構(gòu)造一個復(fù)信號z(t)：

z(t)=x(t)+jH[x(t)]=a(t)ejθ(t)=a(t)cosθ(t)+ja(t)sinθ(t)，稱z(t)為的x(t)解析信號，其中a(t)為解析信號的模，θ(t)為相角。該解析信號的頻譜為：

(12)

在實信號分析中,利用構(gòu)建解析信號的方法,可以得到一個實信號x(t)在復(fù)空間的映射z(t)為原信號x(t)的解析信號。從這個復(fù)空間映射中得知實部與虛部互為Hilbert變換,由Hilbert變換的90度相移功能,可以推斷,解析信號的實部與虛部是互相正交的。解析信號z(t)的幅值為a(t)，相位為θ(t)，兩者皆為時間函數(shù)，而且a(t)也正好是原信號的幅度包絡(luò)，θ(t)也正好是原信號x(t)的瞬時相位。

另外，由解析信號的頻譜的傅立葉反變換也可以推出解析信號與原信號的重要關(guān)系。由解析信號的頻譜Z(ω)和原信號的頻譜X(jω)關(guān)系：

(13)

其中U(ω)是頻域內(nèi)單位階躍信號。已知階躍信號u(t)的傅立葉頻譜為：

(14)

由傅立葉變換的對稱性質(zhì)得：

(15)

由此推導(dǎo)出解析信號的傅立葉反變換為：

z(t)=F-1[Z(ω)]=F-1[2X(jω)U(ω)]

(16)

由上式可知解析信號z(t)的實部正好是原信號x(t)，虛部也正是原信號x(t)的希爾伯特變換。解析信號和原實信號自身本質(zhì)是一致的。解析信號的實部就是原信號，其虛部是原信號的希爾伯特變換；而且利用傅立葉變換的性質(zhì)推出了解析信號z(t)的傅立葉頻譜只有正頻率部分，而且正好是原信號x(t)的正頻率部分的二倍，研究解析信號的頻譜特點就能得到原信號正頻率部分的頻譜特征。

2.5 Hilbert變換與瞬時頻率的關(guān)系

利用x(t)及其希爾伯特變換H[x(t)]構(gòu)造一個復(fù)信號z(t)：

z(t)=x(t)+fH[x(t)]=a(t)ejθ(t)=a(t)cosθ(t)+ja(t)sinθ(t)。

幅值為a(t)，相位為θ(t)，兩者皆為時間函數(shù)，而且a(t)也正好是原信號的幅度包絡(luò)，θ(t)也正好是原信號X(t)的瞬時相位。由Hilbert變換定義式可以看出HT就是實現(xiàn)信號X(t)和1/t的卷積，積分結(jié)果仍是時間的函數(shù)，所以從時間分布可能得出實部信號X(t)的局部時間特性。從構(gòu)造的解析信號的極坐標表示中也反映了信號X(t)的局部時間特性，因為其幅度及相位均是時間的函數(shù)。

因此，利用Hilbert變換和解析信號的特征可以得到原實信號的任意時刻的模和相位變化特征，可以實現(xiàn)對原實信號的瞬時特征提取，定義出任意時刻的瞬時頻率、瞬時相位和瞬時幅值等重要的瞬時參量。這樣瞬時角頻率定義為解析信號相位的導(dǎo)數(shù)[7]:

(17)

從上式定義的瞬時頻率可以看出，瞬時頻率ω(t)是t的單值對應(yīng)函數(shù)，即有一個時間點就有與之相對應(yīng)的一個頻率值。用解析信號的相位的導(dǎo)數(shù)來定義瞬時頻率是比較合理的。對于多分量信號，在某個時刻就有多個頻率成份，這時就沒有清楚的瞬時頻率概念。據(jù)此，得出只有一個單分量信號的頻率成分才對應(yīng)有瞬時頻率意義。在Huang等人提出HHT之前,人們很早就提出了瞬時頻率概念和信號的多分量結(jié)構(gòu)。許多學(xué)者也試圖在此基礎(chǔ)上繼續(xù)對瞬時頻率進行研究,并作了大量的工作,但這些工作都沒有先給出單分量信號的合理定義。如果直接對信號進行Hilbert變換，在任意時刻只能得到唯一的瞬時頻率，這與多分量信號的多頻率成份意義不一致。為了獲得真正有意義的瞬時頻率必須加一定的限制條件才可以。

實際信號存在許多非窄帶信號，且許多信號存在局部出現(xiàn)頻率波動很大的情況，同一信號可能有多個頻率成份，對這樣的信號直接進行希爾伯特變換，就失去原有的物理意義。為此，希爾伯特-黃變換定義了單分量信號即固有模態(tài)函數(shù)概念，并提出經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法對信號進行分解，用經(jīng)驗篩分法將信號先分解成單分量信號，這樣可以不直接對信號作希特爾伯特變換，而是分解后對每個分解的分量進行希爾伯特變換然后利用解析信號的特點，定義瞬時頻率，對每個分量分別計算瞬時頻率。從而解決了復(fù)雜信號中的瞬時參數(shù)的定義及計算問題,使得對于時間有限信號和復(fù)雜多分量信號的瞬時參數(shù)的提取成為可能，所以它在信號處理中有著極其重要的作用。

3 結(jié)論

利用傅立葉變換及其性質(zhì)研究希爾伯特變換頻譜特征，一個實因果信號的傅立葉變換的虛部通過希爾伯特變換被實部唯一確定，反過來也一樣。一個信號和它的變換式能構(gòu)成一個解析信號，解析信號的實部就是原信號，其虛部是原信號的希爾伯特變換。變換可以巧妙地應(yīng)用解析表達式中的實部與虛部的正弦和余弦關(guān)系,定義出任意時刻的瞬時頻率、瞬時相位及瞬時幅度,從而解決了復(fù)雜信號中的瞬時參數(shù)的定義及計算問題,使得對于時間有限信號和復(fù)雜多分量信號的瞬時參數(shù)的提取成為可能，所以它在信號處理中有著極其重要的作用。

[1] 劉慧婷，程家興，張 旻．利用Hilbert變換提取信號瞬時特征的算法實現(xiàn)[J]．微機發(fā)展，2003，13(6)：82-85．

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[3] 鐘佑明，金 濤，秦樹人．希爾伯特-黃變換中的一種新包絡(luò)線算法[J]．數(shù)據(jù)采集與處理，2005，20(1)：13-17．

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[6] 王 珂，肖鵬峰，馮學(xué)智，等．基于改進二維離散希爾伯特變換的圖像邊緣檢測方法[J]．測繪學(xué)報，2012，41(3)：421-427, 433．

[7] 李風(fēng)民．希爾伯特變換及其應(yīng)用研究[J]．中國無線電，2006(7)：53-54．

TheapplicationofthepropertiesofFouriertransformininstantaneousfrequencystructure

WEIYong-mei，ZHAOFa-yong

(SchoolofPhysicsandElectronicEngineering,FuyangAnhui236037,China)

ThispaperstudiesspectrumcharacteristicsoftheHilberttransformationbythepropertiesoftheFouriertransformation.Infrequencydomain，realpartandimaginarypartofacausalsignalspectrumaretheHilberttransformationeachother.AsignalanditsHilberttransformcanconstituteaanalyticalsignal,therealpartoftheanalyticalsignalistheoriginalsignal,theimaginarypartistheHilberttransformationoftheoriginalsignal;TheFourierspectrumofanalyticalsignalcontainsonlythepositivefrequencypart,whichisjusttwotimesoftheoriginalsignal,andtheanalyticsignalamplitudeandphasewillrepresenttheoriginalsignalamplitudeenvelopeandinstantaneousfrequencyvariationcharacteristics,sotheinstantaneousfrequencyandinstantaneousamplitudehaveclearphysicalmeaning,whichisveryimportanttostudynonlinearunsteadysignal.

Hilberttransformation;causalsignal;analyticsignal;instantaneousfrequency

2015-10-15

基于北斗定位及物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的農(nóng)情監(jiān)測系統(tǒng)研發(fā)與示范(1501031114)；阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程項目(2013ZYSD05)資助。

韋永梅(1971-)，女，碩士，講師，研究方向：信號處理。

TN-9

A

1004-4329(2015)04-045-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)04-045-04