尹海英，張若丹

（1.吉林省科技金融研究中心，吉林 長(zhǎng)春 130028；2.長(zhǎng)春金融高等專科學(xué)校 金融系，吉林 長(zhǎng)春 130028；3.中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，北京 100142）

一、Markowitz組合理論對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的分析

所謂的組合投資就是不要將雞蛋放在同一個(gè)籃子里，而是把資金以一定的比例分散地投資于多種證券和資產(chǎn)，以減少所面臨的投資風(fēng)險(xiǎn)。在投資實(shí)踐中，投資者在自覺(jué)或不自覺(jué)地運(yùn)用組合投資來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)，組合投資是證券投資的主要形式。Markowitz投資組合理論中關(guān)于組合投資優(yōu)于單一資產(chǎn)投資，以及存在優(yōu)勢(shì)的條件和關(guān)鍵，都是通過(guò)數(shù)學(xué)公式的計(jì)算和推導(dǎo)得到的。對(duì)于多元化投資分散風(fēng)險(xiǎn)的分析，主要考慮資產(chǎn)的數(shù)目、資產(chǎn)間的關(guān)聯(lián)度，以及資產(chǎn)的投資比率（即權(quán)重）。n種證券的組合投資中投資權(quán)重向量X=（x1，x2，…，xn），方差-協(xié)方差矩陣Σ=（σij）nn，則組合風(fēng)險(xiǎn)為：

其中，x1+x2+…+xn=1

Markowitz投資組合理論主要包括資產(chǎn)選擇和均值-方差分析兩部分內(nèi)容。

（一）資產(chǎn)選擇

對(duì)組合風(fēng)險(xiǎn)的公式進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n越大時(shí)，就越??；當(dāng)n→∞時(shí)，組合風(fēng)險(xiǎn)無(wú)限地趨近于一個(gè)特定的值。這說(shuō)明組合資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)隨著資產(chǎn)數(shù)目增多而減小；但僅靠增加資產(chǎn)數(shù)目降低風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，卻不能規(guī)避所有的風(fēng)險(xiǎn)，資產(chǎn)多元化不能規(guī)避掉的這部分風(fēng)險(xiǎn)，本文不作討論。而且，通過(guò)深入研究和分析發(fā)現(xiàn)，隨著資產(chǎn)數(shù)目增加，資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)減少程度越來(lái)越小，呈現(xiàn)邊際遞減（如圖1所示）。所以，投資者受到時(shí)間、精力和資金等限制，組合資產(chǎn)的數(shù)量并不是多多益善。相關(guān)研究表明，資產(chǎn)數(shù)目在10～20之間可以充分分散風(fēng)險(xiǎn)。

圖1 資產(chǎn)數(shù)目對(duì)資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的影響

Markowitz組合理論用協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)描述資產(chǎn)間的關(guān)聯(lián)程度，協(xié)方差僅能描述兩個(gè)資產(chǎn)收益率變動(dòng)相互作用的方向，相關(guān)系數(shù)不僅能描述兩個(gè)資產(chǎn)收益率變動(dòng)相互作用的方向，還能描述兩個(gè)資產(chǎn)收益率變動(dòng)相互作用的程度。相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差的關(guān)系為：

可以將其帶入公式（1）中，發(fā)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)對(duì)資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)有直接的影響。相關(guān)系數(shù)的取值范圍是ρ∈［－1，1］，相關(guān)系數(shù)越小，表明資產(chǎn)間的相關(guān)程度越小，降低風(fēng)險(xiǎn)的程度越大，資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)也就越小。如圖1中的a和b所示。

（二）Markowitz均值-方差分析

資產(chǎn)權(quán)重對(duì)組合結(jié)果的影響與資產(chǎn)數(shù)目和資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)的影響不一樣，后兩個(gè)因素的改變僅僅影響資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的大小，而組合中資產(chǎn)權(quán)重的改變不僅影響組合風(fēng)險(xiǎn)的大小，而且影響組合資產(chǎn)收益E（Rp）=x1R1+x2R2+…+xn Rn的高低。所以，當(dāng)投資者即使是通過(guò)資產(chǎn)選擇原則、資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)選對(duì)了證券，并且將資產(chǎn)數(shù)目確定在最佳的范圍之內(nèi)，當(dāng)權(quán)重改變時(shí)，投資資產(chǎn)組合中可能會(huì)出現(xiàn)收益低、風(fēng)險(xiǎn)大的投資組合（如圖2所示）。Markowitz投資組合理論的核心問(wèn)題是：在投資決策中構(gòu)建出同等風(fēng)險(xiǎn)（用方差或標(biāo)準(zhǔn)差描述）水平下、選擇收益（用數(shù)學(xué)均值描述）最大，或是同等收益水平下、風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合，也就是運(yùn)用均值-方差模型來(lái)構(gòu)造有效的投資組合。Markowitz均值-方差模型分為兩類：不包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型和包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型。

1.不包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型

（1）模型內(nèi)容

模型Ⅰ圖示如圖2。圖中虛線和實(shí)線共同構(gòu)成了組合投資的均值-方差界面，在界面上，相同的收益水平風(fēng)險(xiǎn)最小。界面的虛線部分隨著收益的減小，風(fēng)險(xiǎn)卻在加大，是投資者不愿意選擇的無(wú)效投資組合；實(shí)線部分隨著收益的增加，風(fēng)險(xiǎn)也在增加，稱為有效邊界。投資者的投資選擇就在有效邊界上。

圖2 不包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效組合

圖3 包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效組合

（2）模型求解

求解該模型采用Laganerge乘子法，首先構(gòu)建Laganerge函數(shù)

其次，對(duì)公式（2）對(duì)xi一階求導(dǎo)，則資產(chǎn)組合中n個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重xi與兩個(gè)Laganerge乘子λ、μ滿足方程組Ⅰ

從而可得到xi的值，最終構(gòu)造出一個(gè)有效投資組合。

2.包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型

（1）模型內(nèi)容

模型Ⅱ中的（σc，Rc）表示包含風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合——完全資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)和收益。模型Ⅱ圖示如圖3。圖中直線是包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)投資者新的投資邊界，稱之為資本配置線，每一點(diǎn)代表著一組風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)重。P點(diǎn)以下表明市場(chǎng)上不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)借入的投資組合，此時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)重xp<1；P點(diǎn)以上表明市場(chǎng)允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)借入的投資組合，此時(shí)xp>1。由此可知，市場(chǎng)的限制越少，投資者的交易范圍越大，市場(chǎng)的活躍程度也會(huì)加大，但同時(shí)投資的風(fēng)險(xiǎn)也就越大。每一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效邊界都能構(gòu)建出一條資本配置線，但對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)，最優(yōu)的選擇是與有效邊界相切的那條資本配置線上的資產(chǎn)配置。市場(chǎng)上的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合不計(jì)其數(shù)，其邊界在市場(chǎng)組合，即圖中的M點(diǎn)，Rf與之相連接形成的直線是斜率最大的資本配置線，稱之為資本市場(chǎng)線。根據(jù)Markowitz理論以及之后發(fā)展起來(lái)的資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）理論，這是投資者的最佳選擇邊界。本文對(duì)此不再深入討論。

（2）模型求解

求解該模型仍然采用Laganerge乘子法，通過(guò)對(duì)構(gòu)建的Laganerge函數(shù)進(jìn)行一階求導(dǎo)，則完全資產(chǎn)組合中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資產(chǎn)權(quán)重xp和xf與兩個(gè)Laganerge乘子λ、μ滿足方程組Ⅱ

從而可得到xp和xf的值，最終構(gòu)造出一個(gè)有效投資組合。

二、投資者風(fēng)險(xiǎn)控制策略

（一）投資選擇

面對(duì)Markowitz均值-方差模型下構(gòu)建出的有效投資組合，投資者作何選擇，這與投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的主觀態(tài)度——風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有關(guān)。有些投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低，會(huì)選擇那些能給其帶來(lái)高收益，但同時(shí)也需要承擔(dān)高風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合；而有些投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較高，會(huì)選擇那些需要承擔(dān)低風(fēng)險(xiǎn)，但同時(shí)只能帶來(lái)低收益的資產(chǎn)組合。比如市場(chǎng)上可供選擇的證券投資基金，其實(shí)質(zhì)就是為不同類型投資者構(gòu)建的一個(gè)在有效邊界上的投資組合，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度高的投資者可能會(huì)選擇債券型基金；風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度低的投資者可能會(huì)選擇股票型基金；而有較高風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者可能會(huì)選擇直接投資股票。

（二）投資組合的動(dòng)態(tài)調(diào)整

證券市場(chǎng)瞬息萬(wàn)變，資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)、收益回報(bào)特征、資產(chǎn)間的關(guān)聯(lián)度也不是一成不變的。有些證券在某一段時(shí)間可能收益較低、風(fēng)險(xiǎn)較高，可在另一段時(shí)間收益較高、風(fēng)險(xiǎn)卻有所降低，而證券間的關(guān)聯(lián)度也因此會(huì)發(fā)生變化。所以，市場(chǎng)的變化使得構(gòu)建的有效組合不再有效。對(duì)此，投資者要根據(jù)市場(chǎng)的變化以及對(duì)未來(lái)趨勢(shì)的判斷，對(duì)投資組合做出動(dòng)態(tài)調(diào)整。改變組合中資產(chǎn)的投資比例，甚至是更換所持有證券的種類。

（三）VaR約束

證券投資過(guò)程中，風(fēng)險(xiǎn)與收益如影相隨，當(dāng)市場(chǎng)允許融資融券，投資者在追求更高收益的同時(shí)，面臨的風(fēng)險(xiǎn)也無(wú)限擴(kuò)大。在這樣的市場(chǎng)中進(jìn)行投資，投資者首先應(yīng)該設(shè)定一個(gè)能夠承擔(dān)的最高風(fēng)險(xiǎn)水平，在此風(fēng)險(xiǎn)水平的約束下，尋找最佳投資組合是不錯(cuò)的選擇。國(guó)內(nèi)學(xué)者黃繼平等人（2004），構(gòu)建了VaR約束下的Markowitz均值-方差模型，討論中國(guó)證券市場(chǎng)上基于VaR約束的證券投資決策問(wèn)題，這對(duì)投資實(shí)踐具有重要的指導(dǎo)意義。［1］

三、Markowitz均值-模型在我國(guó)證券市場(chǎng)上應(yīng)用的實(shí)例分析

中國(guó)證券市場(chǎng)于2010年開(kāi)展了融資融券業(yè)務(wù)，故Markowitz均值-方差模型可以直接使用，不必再做出權(quán)重大于零的約束條件。由于不包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型和包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型在應(yīng)用中原理相同，只是組合收益的公式不同，所以本文僅使用不包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型對(duì)我國(guó)證券市場(chǎng)上的應(yīng)用進(jìn)行實(shí)例分析。

應(yīng)用實(shí)例：假定在資產(chǎn)選擇原則的指導(dǎo)下，投資經(jīng)理篩選出以下4只股票：中國(guó)聯(lián)通、浦發(fā)銀行、萬(wàn)科A、工商銀行。所選用數(shù)據(jù)來(lái)源于銳思數(shù)據(jù)庫(kù)［2］，時(shí)間是2011年1月4日～2015年1月3日，共791個(gè)交易日?；A(chǔ)數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果或設(shè)定如下：

（一）個(gè)股的收益回報(bào)特征

1.個(gè)股日收益的期望值、方差計(jì)算結(jié)果如下（見(jiàn)表1、表2、表3）：

表1 個(gè)股日收益的期望值、方差

2.股票間關(guān)聯(lián)度的計(jì)算結(jié)果如下：

表2 股票間日收益率的方差-協(xié)方差矩陣

表3 股票間日收益率的相關(guān)系數(shù)矩陣

（二）投資組合的構(gòu)建

根據(jù)個(gè)股的收益風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)特征，我們構(gòu)建以下三個(gè)投資組合方案（見(jiàn)表4）。

表4 可供選擇的資產(chǎn)組合方案

則有：

1.組合個(gè)股日收益率的期望值矩陣Rn的結(jié)果如下：

2.組合個(gè)股日收益率的方差-協(xié)方差矩陣∑的結(jié)果如下：

（二）不包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型的應(yīng)用實(shí)例分析

通過(guò)構(gòu)建Laganerge函數(shù)，解方程組，計(jì)算結(jié)果如下：

1.組合一的權(quán)重集

2.組合二的權(quán)重集

3.組合三的權(quán)重集

給定投資者追求的有效組合邊界范圍的一個(gè)期望收益率E（Rp）的值，則可以得到組合的最優(yōu)投資權(quán)重向量。例如E（Rp）=0.06%，則有：

組合一的最優(yōu)投資權(quán)重向量為：

組合二的最優(yōu)投資權(quán)重向量為：

組合三的最優(yōu)投資權(quán)重向量為：

將權(quán)重向量代入公式（1）中，則可以計(jì)算出追求0.23%收益水平，三種投資組合面臨的風(fēng)險(xiǎn)

（三）包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的Markowitz均值-方差模型的應(yīng)用實(shí)例分析

假定投資者選擇組合三作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，市場(chǎng)上的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率為0.01%，解方程組Ⅱ，得到權(quán)重集

假定投資者追求0.08%的收益水平，則有xp=140%，xf=-40%，此時(shí)投資風(fēng)險(xiǎn)σc=0.021。

四、研究結(jié)論

結(jié)論一：比較組合一和組合二，構(gòu)成組合的資產(chǎn)收益和風(fēng)險(xiǎn)水平相當(dāng)，組合一中工商銀行與萬(wàn)科A的相關(guān)系數(shù)為0.4382，組合二中工商銀行與浦發(fā)銀行的相關(guān)系數(shù)為0.6733。當(dāng)兩個(gè)組合獲得相同的收益水平0.06%，所面臨的風(fēng)險(xiǎn)卻不同，=0.000157<=0.000163。此結(jié)果證明了Markowitz理論中相關(guān)系數(shù)對(duì)資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的影響關(guān)系，即相關(guān)系數(shù)越小，則資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)就越小。投資實(shí)踐中，投資者不可能一一計(jì)算資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)，但區(qū)域間、行業(yè)間的資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)通常情況下會(huì)小于區(qū)域或行業(yè)內(nèi)部的相關(guān)系數(shù)。所以，投資者要跨區(qū)域、跨行業(yè)進(jìn)行多元化投資，以分散風(fēng)險(xiǎn)。

結(jié)論二：比較組合一和組合三，組合一有兩種資產(chǎn)構(gòu)成，組合三有三種資產(chǎn)構(gòu)成。兩個(gè)組合同樣是收益水平相同，但風(fēng)險(xiǎn)不同=0.000150<=0.000157。此結(jié)果證明了Markowitz理論中資產(chǎn)數(shù)目對(duì)組合資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的影響關(guān)系，即資產(chǎn)數(shù)目越大，則組合資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)就越小。在中國(guó)市場(chǎng)的投資實(shí)踐中，投資者可以利用此關(guān)系構(gòu)建組合。

結(jié)論三：假定有一個(gè)投資者利用Markowitz資產(chǎn)選擇原則，選擇組合三中的三種資產(chǎn)進(jìn)行投資，但沒(méi)有使用Markowitz均值-方差模型確定投資權(quán)重，隨意地將投資權(quán)重確定為（70.0%，60.93%，-30.93%）T。將其代入組合收益公式E（Rp）=x1R1+x2R2+…xn Rn以及公式（1）中，可以計(jì)算出：組合的收益仍保持在0.06%的水平，但風(fēng)險(xiǎn)卻高達(dá)0.000263。該組合與組合三包含同樣的資產(chǎn)，組合的收益水平相同，但卻因?yàn)闄?quán)重的不同，分散風(fēng)險(xiǎn)的效果降低了。這就是組合理論中所說(shuō)的無(wú)效組合。運(yùn)用Markowitz均值-方差模型，可以幫助投資者找到有效組合，即收益水平相同、風(fēng)險(xiǎn)最小或風(fēng)險(xiǎn)水平相同、收益最大的組合。

通過(guò)以上的實(shí)例分析及結(jié)論闡述可知，在中國(guó)投資市場(chǎng)上，Markowitz理論是適用的。本文的研究分析對(duì)我國(guó)的投資者，特別是投資機(jī)構(gòu)、證券投資基金具有理論指導(dǎo)意義和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值。

［1］黃繼平等.基于風(fēng)險(xiǎn)控制的證券投資決策［J］.統(tǒng)計(jì)研究，2004.

［2］http://www3.resset.cn:8080/product/common/main.jsp,股票綜合數(shù)據(jù).