陶 斐，馮志華，陳 汐，陶 慶，高 原

（蘇州大學(xué) 機(jī)電系,江蘇 蘇州 215021）

復(fù)合材料層合板的動(dòng)力學(xué)建模與1：3內(nèi)共振

陶 斐，馮志華，陳 汐，陶 慶，高 原

（蘇州大學(xué) 機(jī)電系,江蘇 蘇州 215021）

針對(duì)對(duì)稱鋪設(shè)的復(fù)合材料層合薄板，用層合板的經(jīng)典理論建立了相應(yīng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程。采用多尺度法，導(dǎo)出了系統(tǒng)受前兩階模態(tài)間1：3內(nèi)共振及第1階模態(tài)主參激共振時(shí)的平均方程。采用石墨/環(huán)氧纖維復(fù)合材料層合板參數(shù)作為基礎(chǔ)，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到相應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線。研究表明，系統(tǒng)阻尼的增大能夠削弱系統(tǒng)的幅值，單層層合薄板厚度的微弱變化引起層合板整體拉伸剛度、彎曲剛度對(duì)應(yīng)的變化，隨厚度增加，整個(gè)系統(tǒng)偏離1：3內(nèi)共振。

振動(dòng)與波；復(fù)合材料層合板；內(nèi)共振

板殼結(jié)構(gòu)在汽車、航空航天、建筑等工程領(lǐng)域有著廣泛的運(yùn)用，而復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)作為一種新型的板殼結(jié)構(gòu)，有著比普通板殼結(jié)構(gòu)更好的力學(xué)性能以及運(yùn)用前景。由于疊層復(fù)合材料各向異性和呈分層性的特點(diǎn)，復(fù)合材料層合板承受負(fù)載后呈現(xiàn)的變形和應(yīng)力狀態(tài)非常的復(fù)雜；因此，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)理論進(jìn)行了大量的研究，并取得了諸多具有價(jià)值的研究成果。Levinson[1]于1980年采用高階剪切變形理論對(duì)彈性薄板的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了研究。Reddy[2]于1984年提出了三階剪切變形板理論，較好的描述了厚度方向上的剪切變形。Noor與Burton[3]于1989年討論了不同復(fù)合材料層合板的建模方法。1994年，Robbins[4]和Reddy綜述了等效單層和Layer-wise層合板理論并且提出了有限元模型。1996年，Chandiramani等人采用Galerkin法和連續(xù)弧長(zhǎng)的方法研究了層合薄板的顫振以及幾何不完全剪切變形的問(wèn)題。2000年，White[5]等研究了各種設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)復(fù)合材料層合薄板的自由振動(dòng)的影響。2005年，Ye[6]等利用全局?jǐn)z動(dòng)的方法研究了復(fù)合材料層合板的非線性現(xiàn)象。2008年，Zhang[7]等學(xué)者研究了復(fù)合材料壓電層合板1：3內(nèi)共振情況下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

本文以經(jīng)典剪切理論為基礎(chǔ)，建立對(duì)稱鋪設(shè)的各向異性矩形層合板參激系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制方程，并對(duì)復(fù)合材料層合板的響應(yīng)方程離散和簡(jiǎn)化，繪制了幅頻響應(yīng)曲線，著重研究了復(fù)合材料層合板的阻尼變化及單層板厚度微小變化對(duì)1：3內(nèi)共振的影響。

1 動(dòng)力學(xué)控制方程建立

如圖1所示面內(nèi)受到載荷作用的復(fù)合材料層合板模型，該層合板采用對(duì)稱鋪設(shè)，長(zhǎng)度為a，寬度為b，厚度為h,其中頂層和底層為同一材質(zhì)，中間兩層材質(zhì)也相同，層合板整體呈現(xiàn)正交各向異性的特點(diǎn)。坐標(biāo)(x，y，z)代表板中面上某個(gè)點(diǎn)的位置，u，v，w代表了中面上的某個(gè)點(diǎn)分別沿著x，y，z三個(gè)方向上的位移，其中在x=0，x=a處的平面上沿著y向分布激勵(lì)力N=-(N0+N1cosΩ1t)。

圖1 層合板受面內(nèi)力參激激勵(lì)模型

根據(jù)經(jīng)典薄板理論，位移場(chǎng)為

式中Nxx，Nyy，Nxy為法向及切向應(yīng)力分量，Mxx，Myy，Mxy為彎矩分量，Aij，Dij為板的拉伸、彎曲剛度。第k(k=1，2，...n)層板拉伸、彎曲剛度系數(shù)可表達(dá)為

根據(jù)文[8]，層合板面內(nèi)、面外非線性動(dòng)力學(xué)方程表示為下列形式

其中ρ為板密度，ξ為線黏性阻尼。

根據(jù)四邊簡(jiǎn)支的邊界條件，上述板的邊界條件可以表達(dá)為：

根據(jù)平衡方程，板面內(nèi)兩個(gè)方向滿足邊界條件的解u，v假設(shè)為

式中的a1、a2、a3...a8、b1...b5、c1為系數(shù)。

運(yùn)用Galerkin方法，得到橫向振動(dòng)的二自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程為

其中t1...t5,r1,r2為相應(yīng)的系數(shù)。

采用多尺度發(fā)對(duì)復(fù)合材料層合板的動(dòng)力學(xué)相應(yīng)進(jìn)行攝動(dòng)變換，需要引入尺度變換

得到含有小參數(shù)ε的運(yùn)動(dòng)方程

采用多尺度法,假設(shè)方程的解的形式為

其中T0=t，T1=εt

考慮1:3內(nèi)共振，對(duì)應(yīng)的調(diào)諧方程如下

對(duì)方程進(jìn)行求解，分離實(shí)部和虛部，得到直角坐標(biāo)形式的平均方程

2 數(shù)值計(jì)算

現(xiàn)以文[10]石墨/環(huán)氧樹脂層合薄板作為研究對(duì)象，其物理參數(shù)為

以石墨/環(huán)氧層合板為具體的研究對(duì)象，滿足系統(tǒng)1：3內(nèi)共振的條件：ω2=3ω1，對(duì)于m，n已經(jīng)確定情況下，需要調(diào)整板的長(zhǎng)寬a，b來(lái)滿足內(nèi)共振的條件。

將板的長(zhǎng)度a限定為0.3 m，用Origin繪制板的寬度b在0.1 m至0.3 m的變化區(qū)間內(nèi)，ω1,ω2,3ω1所對(duì)應(yīng)的變化曲線，從而直觀的判斷出板b的取值。

圖2 各階模態(tài)頻率值隨板寬變化的曲線

在圖2中，ω2與3ω1的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)板寬b的值為：b=0.205 129 397 m，在確定了板的形狀尺寸以后，對(duì)應(yīng)的第1階模態(tài)頻率為ω1=132.588 070 6π2，ω2=397.764 211 6π2。

對(duì)應(yīng)的方程的系數(shù)為

2.1 阻尼對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響

假設(shè)系統(tǒng)受到幅值為N1=2 000 N的參激力，阻尼項(xiàng)c1，c2為變化參數(shù)，繪制系統(tǒng)的第1階和第2階幅頻特性曲線，如下圖所示：

圖3、圖4中的橫坐標(biāo)是參數(shù)Ω與第1階固有頻率ω1兩倍的比值，根據(jù)調(diào)諧方程可以得出，縱坐標(biāo)的量綱均為mm。由圖3中可以看出，系統(tǒng)中的非線性成分使的幅頻特性響應(yīng)曲線呈現(xiàn)多值性，當(dāng)主激勵(lì)共振與1:3內(nèi)共振時(shí)；系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的非線性特征。由圖4可以看出，在相同的參激力條件下，阻尼的增大能夠減小系統(tǒng)的響應(yīng)幅值。這種現(xiàn)象表明在實(shí)際的工程應(yīng)用當(dāng)中，針對(duì)受面內(nèi)力激勵(lì)的復(fù)合材料層合板，增大系統(tǒng)的阻尼可以避免系統(tǒng)振幅過(guò)大而導(dǎo)致整個(gè)機(jī)構(gòu)受損。

圖3 激勵(lì)力為2 000 N時(shí)系統(tǒng)第1階幅頻特性曲線

圖4 激勵(lì)力為2 000 N時(shí)系統(tǒng)第2階幅頻特性曲線

2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響分析

由圖2可以得知，當(dāng)板長(zhǎng)為a=0.3 m，板寬b=0.205 129 397 m,系統(tǒng)的第1階模態(tài)和第2階模態(tài)之間滿足完全1：3內(nèi)共振。在不改變板的形狀的情況下，改變層合板中單層板厚度從而影響系統(tǒng)的固有頻率，導(dǎo)致系統(tǒng)偏離1：3內(nèi)共振，對(duì)應(yīng)的幅頻特性曲線發(fā)生改變。選取復(fù)合材料層合板中的單層板厚度值參數(shù)如下表1所示。

表1 單層板不同厚度對(duì)應(yīng)頻率值/Hz

選取層合板單層板的厚度作為變化參數(shù)，假設(shè)系統(tǒng)阻尼c1=0.01、c2=0.01，邊界上面內(nèi)力激勵(lì)力大小為2 000 N情況下，繪制系統(tǒng)第一階幅頻特性曲線，如圖5所示。

對(duì)比圖5-(a)、圖5-(b)、圖5-(c)單層板的厚度稍大改變使得系統(tǒng)1、2階模態(tài)間偏離1:3內(nèi)共振，最終使得層合板整體的幅頻特性曲線發(fā)生巨大的變化。

圖5 系統(tǒng)第1階幅頻特性曲線

4 結(jié)語(yǔ)

（1）層合板的響應(yīng)幅值隨著阻尼的增大呈現(xiàn)不斷減小的趨勢(shì)，說(shuō)明阻尼的增大能夠有效的減少系統(tǒng)的幅值。在實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，對(duì)于受面內(nèi)力激勵(lì)的復(fù)合材料層合板，增大系統(tǒng)的阻尼可以避免系統(tǒng)振幅過(guò)大而導(dǎo)致整個(gè)機(jī)構(gòu)受損；

（2）層合板中單層板厚度的變化改變了層合板的剛度矩陣，引起系統(tǒng)幅頻特性曲線的變化。單層板厚度的微弱變化會(huì)造成幅頻特性曲線的劇烈變化，隨著單層板厚度變化量的不斷增加，整個(gè)系統(tǒng)會(huì)偏離1:3內(nèi)共振。

[1]Levinson M.An accurate simple theory of the statics and dynamics of elastic plates[J].Mechanics Research Communications,1980,7:343-350.

[2]Reddy J N.A simple high-order theory for laminated composite plates[J].ASME Journal of Applied Mechanics, 1984,51:745-752.

[3]Noor A k,Burton W S.Assessment of shear deformation theories for multilayered composite plates[J].Applied Mechanics Reviews,1989,42:1-12.

[4]Reddy J N,Robbins D H,Jr.Theories and computational models for laminated composite laminates[J].Applied Mechanics Reviews,1994,47:147-169.

[5]Cunningham P R,White R G,Aglietti G S.The effects of various design parameters on free vibration of doubly curved composite sandwich panels[J],Journal of Sound and Vibration,2000,230:167-648.

[6]Ye M,Sun Y,Zhang W,et a1.Nonlinear oscillations and chaotic dynamics of an antisymmetric cross-ply laminated composite rectangular thin plate under parametric excition [J].Journal of Sound and Vibration,2005,287:723-758.

[7]Zhang W,Yao Z G,Chen L H,et al.Periodic and chaotic oscillations of laminated composite piezoelectric rectangular plate with 1:3 internal resonance[C]//Proceeding the ASME 2007 International Mechanical Engineering Congress&Exposition(IMECE 2007-4Z698),Seattle,USA. New York:ASME,2007:1893-1901.

[8]Reddy J N.Mechanics of laminated composite plates and shells[M].New York:CRC-Press,2004.

[9]Amabili A,Farhadi S.Shear deformable versus classical theories for nonlinear vibrations of rectangular isotropic and laminated composite plates[J].Journal of Sound and Vibration,2009,320:649-667.

[10]Reissner E.The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates[J].Journal of Applied Mechanics,1944,23:184-191.

[11]Hencky H.Uber die berucksichtigung der schubverzerrung in ebenen platten.Ing[M].Arch.1947,16:72-76.

[12]Mindlin R D.Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic,elastic plates[J].Journal of Applied Mechanics,1951,18:31-38.

[13]Whitney J M,Leissa A W.Analysis of simply supported laminated anisotropic plates[J].AIAA Journal,1970,8: 28-33.

[14]Engblom J J,Choa O O.Through the thickness stress predictions for laminated plates of advanced composite materials[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1985,21:1795-1776.

[15]胡海巖.機(jī)械振動(dòng)與沖擊[M].北京：航空工業(yè)出版社，1998.

[16]陳汐，馮志華，陶斐，等.酚醛覆銅板模態(tài)分析[J].噪聲與振動(dòng)控制，2014，34(2).

[17]李高峰.溫度場(chǎng)中簡(jiǎn)諧激勵(lì)斜梁的1/3次亞諧共振分析[J].噪聲與振動(dòng)控制，2013(5).

Dynamic Modeling and 1:3 Internal Resonances of Composite Laminated Plates

TAO Fei,FENG Zhi-hua,CHEN Xi,TAO Qing,GAO Yuan
（College of Mechanical and Electric Engineering,Soochow University Suzhou, Suzhou 215021,Jiangsu China）

A set of nonlinear dynamic differential equations was established for a symmetric composite laminate plate. The multi-scale method was used to the nonlinear equations and the average equations for the principal parametric resonance of the first mode and the1:3 internal resonance between the first two modes were derived respectively.Numerical simulation of a graphite/epoxy composite plate was done and the corresponding amplitude-frequency response curves were obtained. Results show that increase of system damping can reduce the response amplitudes,a small change of thickness can cause a huge change of tensile stiffness and bending stiffness of the composite laminate plate and the change of thickness can also destroy internal resonance.Thus,the 1:3 internal resonance of the laminate plate can be shifted with thickness increasing.

vibration and wave;composited laminated plate;internal resonance

TB53；O322

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.01.016

1006-1355(2015)01-0078-05

2014－06－20

含非確定激勵(lì)參數(shù)的基礎(chǔ)激勵(lì)復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)行為研究(11072164)

陶斐（1989－），男，江蘇省常熟市人，碩士生，主要研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)。

馮志華，男，博士生導(dǎo)師。E-mail:zhfeng@suda.edu.cn