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        Ekeland變分原理與Caristi不動點(diǎn)定理的應(yīng)用

        2015-12-28 07:57:41項首先霍隆興昌浩田
        科學(xué)中國人 2015年26期
        關(guān)鍵詞:變分體育場地不動點(diǎn)

        項首先,霍隆興,昌浩田

        云南大學(xué)數(shù)學(xué)系

        Ekeland變分原理與Caristi不動點(diǎn)定理的應(yīng)用

        項首先,霍隆興,昌浩田

        云南大學(xué)數(shù)學(xué)系

        本文說明了Ekeland變分原理與Caristi不動點(diǎn)定理的等價性,并給出這兩個定理的兩個應(yīng)用.

        變分原理;不動點(diǎn)定理;等價性

        1.引言

        1972年,Ekeland[1]提出一條變分原理。它的內(nèi)容為:

        定理1.1(Ekeland變分原理)設(shè)(X,d)是完備的距離空間,f:X{+∞}是真下半連續(xù)泛函且ixnXff(x)>-∞.又設(shè)存在ε>0和x0X,使得:

        f(x0)<ixnXff(x)+ε。

        則對任意的λ>0,存在x X,滿足

        這條變分原理有許多應(yīng)用,其中涉及從控制論到大范圍分析等許多領(lǐng)域[2]。

        1976年,Caristi[3]發(fā)表了下列形式的不動點(diǎn)定理:

        定理1.2(Caristi不動點(diǎn)定理)設(shè)X是完備的距離空間,T:X X是映射.設(shè)f:X{+∞}是真下半連續(xù)泛函且若對任意的x X,有:(ii)d(x ,x0)<λ;

        d(x,Tx) f(x)-f(Tx),

        則T在X中必有不動點(diǎn)。

        Caristi給出了定理1.2的直接證明后,提及他后來看到Eke?land的結(jié)果,認(rèn)為他的定理“本質(zhì)上”等價于Ekeland變分原理。

        1987年,史樹中[4]給出了一種Ekeland變分原理與Caristi不動點(diǎn)定理的等價性的證明,由此我們知道這兩個定理是等價的。

        通過上面的論述,本文給出兩個關(guān)于Ekeland變分原理與Ca?risti不動點(diǎn)定理的應(yīng)用。

        2.主要結(jié)果

        為了證明的需要,我們給出引理.

        引理2.1設(shè)(X,d)是一完備的距離空間,設(shè)φ:X R+是具有下界的泛函.T:X X是一個連續(xù)映射,且滿足下列不等式:

        d(x,Tx) φ(x)-φ(Tx),x X.

        則T存在不動點(diǎn)。

        引理2.1的證明參考文獻(xiàn)[5]中定理2.2的證明。

        定理2.1設(shè)設(shè)(X,d)是一完備的距離空間,f:X {+∞}是下方有界的下半連續(xù)泛函,并且不恒等于+∞.則對任何給定的ε>0及λ>0,存在xεX,使得:

        并且

        一般地,若xn已經(jīng)取出,則下面二者必有其一成立

        這樣,我們得到了一列點(diǎn){}xn滿足

        令n ∞可得到故是Cauchy列.由于X完備,故存在xεX,使得則有

        這表明xε滿足(2.1),下面證明xε滿足(2.2)。

        用反證法證明.假設(shè)xε不滿足(2.2),則存在使得

        綜合(2.4)可得,存在N使得當(dāng)n N時,有

        這說明當(dāng)n N時結(jié)合(2.3)可得

        這與(2.5)相矛盾!定理2.1得證.

        定理2.2設(shè)(X,d)是一完備的距離空間,設(shè)T:X X是一個連續(xù)映射.若對x X,存在函數(shù)ψ:X [a,+∞), a>-∞,使得

        d(x,Tx) ψ(x)-ψ(Tx)

        則T有不動點(diǎn)。

        證明設(shè)x0是X中的任意一點(diǎn),則我們考慮序列:

        xn=Tnx0, n=1,2, .

        由定理的條件可知

        d(xi,xi+1)=d(xi,Txi) ψ(xi)-ψ(Txi)=ψ(xi)-ψ(xi+1),i=0,1,2, ,

        定義:

        則φ:X [0,+∞),并且有

        由引理2.1,定理2.2得證。

        [1]Ekeland I,Sur les problemes variationels[M],C.R.Acad.Sci. Paris.1972(275),1057-1059.

        [2]Ekeland I,Nonconvex minimization problems[J].Bull.Amer. Math.Soc,1979(1):443—474.

        [3]Caristi J,Fixed point theorems for mappings satisfying inward?ness conditions[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1976(215):241—251.

        [4]史樹中.Ekeland變分原理與Caristi不動點(diǎn)定理的等價性[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1987(16):203—206.

        [5]徐進(jìn),張超.Caristi不動點(diǎn)定理的推廣[J].淮南師范學(xué)院學(xué)報,2003(3):5—6.

        表4 教師對學(xué)校場地器材是否滿足學(xué)生開展課外活動統(tǒng)計(N=26人)

        教師對學(xué)校體育場地器材的滿意度,通過調(diào)查能看出沒有體育教師對學(xué)校的體育場地器材滿意,有34.4%的老師認(rèn)為比較滿意,有23.1%人認(rèn)為一般,認(rèn)為不太滿意的占42.3%。

        表5 教師對學(xué)校體育場地器材的滿意度統(tǒng)計(N=26)

        盡管學(xué)校對于體育設(shè)施的經(jīng)濟(jì)投入是比較大的,但是就調(diào)查的結(jié)果來看,老師對學(xué)校體育場地器材滿意認(rèn)可度不高。

        5 結(jié)論與建議

        5.1結(jié)論

        學(xué)生參與課外體育活動意識較強(qiáng),學(xué)生參加課外體育活動的動機(jī)呈現(xiàn)多樣化趨勢;學(xué)生參加課外體育活動的活動頻度比較高和活動時間充裕;學(xué)生參加課外體育活動項目選擇集中在球類項目上,男生多選擇對抗性強(qiáng)的,女生多選擇對抗性弱且無身體直接接觸的項目;體育教師對學(xué)生進(jìn)行課外體育活動場地器材認(rèn)可度不高。

        5.2建議

        積極營造學(xué)校課外體育活動氛圍,激發(fā)學(xué)生積極參加課外體育活動中;完善學(xué)生體育設(shè)施。

        參考文獻(xiàn):

        [1]林鋒.廣州市中學(xué)開展“陽光體育運(yùn)動”的現(xiàn)狀調(diào)查與分析——以越秀區(qū)為例[J].廣州體育學(xué)院學(xué)報,2010(30):4 76-80

        [2]吉建秋,陳穎川,周強(qiáng),侯桂明.休閑文化傳播對大學(xué)生閑暇體育行為的發(fā)展研究[J].南京體育學(xué)院報:社會科學(xué)版,2004(1):57-60.

        [3]謝香道,黃勇.大學(xué)生運(yùn)動休閑參與模式的調(diào)查研究[J].成都體育學(xué)院學(xué)報2003(5):97-98.

        [4]盧元鎮(zhèn).中國體育社會學(xué)[M].北京:北京體育大學(xué)出版社,2000:220-221.

        [5]陳小蓉.學(xué)校學(xué)生課余體育的主要影響因素[J].中國學(xué)校體育,2000(1):53-54.

        傘洪光,(1966-),男,遼寧省錦州市人,本科,現(xiàn)就職于遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院,任體育部主任職務(wù)。

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