張 冕，牛向陽

(阜陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 236037)

帶有負顧客的M/G/1單重工作休假可修排隊系統(tǒng)

張 冕，牛向陽

(阜陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 236037)

本文考慮了帶有負顧客和單重工作休假策略的M/G/1排隊系統(tǒng)，其中在正規(guī)忙期到達的負顧客帶走正在接受服務的正顧客，并且造成系統(tǒng)故障進入修理狀態(tài)，但修理結束后服務臺不能夠立刻恢復如新，而是以較低的服務速率進行服務。經過一段隨機時間后，才能恢復到正常服務速率。本文給出了穩(wěn)態(tài)條件下系統(tǒng)的顧客隊長分布、系統(tǒng)處于各個狀態(tài)概率和數(shù)學期望等一些測度指標。

單重工作休假；負顧客；矩陣分析法

負顧客的排隊模型是排隊論的一個新興分支。負顧客通常被認為是一種病毒、一次誤操作或者是系統(tǒng)的災難等等，其主要作用是通過不同的抵消機制對系統(tǒng)產生不同的影響。文獻[1-3]考慮了負顧客到達引起服務臺故障進入修理期的排隊系統(tǒng)，[4]考慮了負顧客到達引起系統(tǒng)服務速率變化。

Servi和Finn[5]提出服務速率可變的工作休假策略，即在休假期間并不完全停止工作，而是以較低的速率為顧客服務。運用擬生滅過程的方法, Li和Tian[6]研究了M/M/1工作休假的排隊模型，Li和Ke[7]研究了多服務臺單重工作休假M/M/R排隊系統(tǒng)。文獻[8-9]分別研究了具有工作休假的GI/M/1和GI/M/N排隊系統(tǒng),得到系統(tǒng)在各個時刻的穩(wěn)態(tài)隊長及任意顧客逗留時間的分布，Zhang和Hou[10]采用補充變量法研究了工作休假可中止的M/G/1排隊模型。上述文獻只考慮了服務速率的變化，沒有和負顧客結合起來。

本文考慮具有兩類顧客到達的M/G/1排隊系

統(tǒng)，其中正顧客為正常接受服務的顧客，而負顧客的到達會引起系統(tǒng)故障并進入修理狀態(tài)，但系統(tǒng)修理結束后服務臺不能夠立刻恢復如新，而是以較低的服務速率服務一段隨機時間后，才能恢復到正常服務速率。

1 模型描述

我們考慮正顧客和負顧客相互獨立到達的M/G/1排隊系統(tǒng)。正、負顧客的到達過程分別為參數(shù)為λ+和λ-的Poisson過程。在正規(guī)忙期內服務臺以服務速率μb為正顧客服務，如果負顧客到達服務臺之前，一旦系統(tǒng)中正到達顧客人數(shù)為零，服務臺立刻進入工作休假狀態(tài)；否則進入服務臺的的負顧客造成服務臺損壞，并且?guī)ё哒诮邮芊盏恼櫩?。服務臺損壞后立即進入修理狀態(tài)，假設修理結束后服務臺不能夠立刻恢復如新，而是以較低的服務速率μv進行服務，即進入工作休假狀態(tài)。經過一段隨機時間后，才能恢復到服務速率μb，正規(guī)忙期開始。如果負顧客到達時，服務臺處于空閑、修理或工作休假狀態(tài)，負顧客立刻離開系統(tǒng)，且對服務臺沒任何影響。

假設工作休假時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。在工作休假期間，服務臺以較低的服務速率μv服務到達的正顧客；當工作休假結束時，系統(tǒng)中的正顧客人數(shù)不為零，服務臺立刻將服務速率從μv提高到μb，正規(guī)忙期開始；否則，服務臺進入空閑狀態(tài)，等待一個正顧客到達，正規(guī)忙期開始。假定顧客按照FCFS排隊，并且

(3)修理時間服從均值為E(R)的一般分布，其分布函數(shù)和k階矩分別為

2 馬爾可夫鏈

令N(t)表示系統(tǒng)在時刻的顧客人數(shù)，J(t)表示服務臺在t時刻所處的狀態(tài)，J(t)=0,1,2分別對應工作休假期、正規(guī)忙期、和修理狀態(tài)，在ξ0(t),ξ1(t),ξ2(t)分別表示系統(tǒng)在t時刻處于工作休假狀態(tài)時逝去的服務時間，處于正規(guī)忙期時逝去的服務時間以及處于修理狀態(tài)時逝去的修理時間。顯然{J(t),N(t),ξ0(t),ξ1(t),ξ2(t)|t≥0}為Markov鏈，其狀態(tài)空間為

Ω={(0,0)}∪{(0,n,x)|n≥1,x≥0}∪{(1,0)}∪{(1,n,x)|n≥1,x≥0}∪{(2,n,x)|n≥0,x≥0}。

定義下列瞬態(tài)聯(lián)合概率

P0(t)=P{J(t)=0,N(t)=0},

Pn(t,x)dx=P{J(t)=0,N(t)=n,

x≤ξ0(t)

Q0(t)=P{J(t)=1,N(t)=0},

Qn(t,x)dx=P{J(t)=1,N(t)=n,

x≤ξ1(t)

Rn(t)=P{J(t)=2,N(t)=n,

x≤ξ2(t)0。

下面我們主要研究系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)的概率密度，記

2.1 穩(wěn)態(tài)微分方程組

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度{P0,Pn(x),Q0,Qn(x),Rn(x)}滿足下列微分方程組

(1-δ1n)λ+Pn-1(x),n≥1

(1)

λ+Qn-1(x),n≥1

(2)

λ+Rn-1(x),n≥0

(3)

其邊界條件為

2.2 平穩(wěn)條件及微分方程的解

首先給出如下記號

對(1)-(3)式兩邊分別同乘，并關于n求和得

(10)

(11)

(12)

解微分方程(8)和(9)，得

由部分母函數(shù)P(x,z),Q(x,z),R(x,z)的定義，有

為后面處理方便，引入下列記號

且序列{ak|k≥0},{bk|k≥0},{ck|k≥0},{dk|k≥0}及{vk|k≥0}的概率母函數(shù)分別為

將代入邊界條件，可用矩陣表示為如下

xP=x，

其中x=(P0,Q0,R0(0),P1(0),Q1(0),R1(0),P2(0),Q2(0),R2(0),…)，

定理1當時

D(1)V(1)<1，矩陣P為某個正常返不可約馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣。

矩陣P為一個隨機矩陣，是某個不可約馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣。令

λ+V(1),1+λ+E(R))T。

設矩陣A的不變概率向量為π=(π0,π1,π2)，其中

根據(jù)Neuts[11],矩陣P是正常返的當且僅當πβ*<1,即ρ<1。

引理1若ρ<1，方程[z-A(z)][z-B(z)]-λ-θzD(z)V(z)C(z)=0在[0,1] 內具有唯一的根z=γ。

證明考慮函數(shù)

容易計算得

f(0)>0,f(1)=1,f′(z)≥0,f″(z)≤0,

故方程[z-A(z)][z-B(z)]-λ-θzD(z)V(z)C(z)=0在[0,1] 內具有唯一根，證畢。

將(4)-(8)分別乘上zn并關于n相加得

(13)

[z-B(z)]Q(0,z)=θP0z2+θzP(0,z)

(14)

zR(0,z)=λ-Q(0,z)V(z)

(15)

將(15)和(14)式代入(13)，得

{[z-A(z)][z-B(z)]-λ-θ

D(z)V(z)C(z)}P(0,z)

=λ+P0z2[z-B(z)]+λ-θP0z2V(z)C(z)-

(16)

在(16)式中，令z=γ，由(4)式，得

(17)

=(λ++θ)P0-h(γ)P0

(18)

其中

將(17)和(18)分別代入(13)-(15)，得

利用正則條件(9)，可以計算出

(19)

其中τ=λ-[λ++θ(1-ρ)]+λ+[θ-h(γ)][1+λ-E(R)]。

綜上所述，我們有如下結論:

定理2若ρ<1，穩(wěn)態(tài)下Markov鏈{J(t),N(t),ξ0(t),ξ1(t),ξ2(t):t≥0}的聯(lián)合分布函數(shù)的部分母函數(shù)為

其中P0由(19)式給出。

定理3若ρ<1，平穩(wěn)狀態(tài)下系統(tǒng)在工作休假、正規(guī)忙期、修理狀態(tài)下顧客人數(shù)的概率母函數(shù)為

推論1穩(wěn)態(tài)條件下，服務臺處于工作休假、空閑、正規(guī)忙期和修理狀態(tài)的概率分別為

進一步，有交替更新過程以及推論1的結果可以得到穩(wěn)態(tài)下服務臺的平均空閑時間、修理時間的平均值以及正規(guī)忙期的平均時間，即

3 結束語

本文對具有負顧客到達的單重工作休假M/G/1排隊系統(tǒng)進行了研究，得到了穩(wěn)態(tài)條件下系統(tǒng)在任意時刻的顧客隊長分布、系統(tǒng)處于各個工作狀態(tài)的概率和平均時間等性能指標。

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An M/G/1 G-queue with server breakdowns and single working vacation

ZHANG Mian，NIU Xiang-yang

(SchoolofMathematicsandStatistics,FuyangNormalUniversity,FuyangAnhui236037，China)

In this paper, an M/G/1 G-queue with server breakdowns and single working vacation is analyzed. A breakdown at busy server is represented by the arrival of a negative customer which causes the customer being in service to be lost. After repair the server is not as good as new until a working vacation time ends. For this model, we firstly obtain the queue length distribution of the customer under the steady state conditions. Then, we give some other performance measures of interest.

single working vacation; negative customer; matrix-analytic method

2015-06-20

安徽省高校自然科學研究項目(KJ2015A182，KJ2015A191，KJ2014ZD21)；阜陽師范學院科研項目(2015FSKJ07)；阜陽師范學院博士科研啟動基金資助。

張 冕(1978-)，女，博士，教授，研究方向：隨機過程、排隊論。

O226

A

1004-4329(2015)04-001-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)04-001-05