☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

淺談基于知識(shí)轉(zhuǎn)化下的專(zhuān)題復(fù)習(xí)三步曲
——以圖形面積一線(xiàn)等分問(wèn)題為例

☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

依據(jù)轉(zhuǎn)化思想可知，數(shù)學(xué)習(xí)題一般是用所學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)求解的，因此，相關(guān)問(wèn)題的知識(shí)源就是解決此類(lèi)問(wèn)題的突破口．中考復(fù)習(xí)時(shí)，若能以知識(shí)溯源為主線(xiàn)，以“怎樣做、怎么想到這樣做和同一類(lèi)型還可怎么做”為三步曲進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí)，必能收到事半功倍之效．那么，具體如何操作呢？下面是筆者對(duì)“圖形面積一線(xiàn)等分問(wèn)題”專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的一點(diǎn)嘗試，不當(dāng)之處，歡迎廣大同仁斧正．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式.

（2）若直線(xiàn)l平分四邊形OBDC的面積，求k的值.

（3）把拋物線(xiàn)向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)與直線(xiàn)l交于R、Q兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線(xiàn)PR與PQ總是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

一、怎樣做

圖1

評(píng)注：若至此結(jié)束本題的教學(xué)是膚淺的，因?yàn)閷W(xué)生只懂得了怎樣做，至于為什么這樣做（即怎么想到這樣做），卻不甚了解，仍處于一知半解狀態(tài)．

二、怎么想到這樣做

師：你是怎么想到這樣做的呢？

生1：我是這樣想的，要求k實(shí)際上就是求直線(xiàn)l的解析式，即求其所經(jīng)過(guò)的某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．那么直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)直角梯形OBDC內(nèi)的哪個(gè)點(diǎn)才能將其面積一分為二呢？我記得“經(jīng)過(guò)中心對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)中心的任一條直線(xiàn)將其面積兩等分”，但直角梯形OBDC是非中心對(duì)稱(chēng)圖形，如何轉(zhuǎn)化呢？對(duì)比矩形，我由“等積轉(zhuǎn)化”想到取BD的中點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)G作OB的垂線(xiàn)EF，構(gòu)造出與直角梯形OBDC等積的矩形OEFC，找到對(duì)稱(chēng)中心N，從而求出k了．

師：太棒了！你的解題思路蘊(yùn)含了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，即數(shù)學(xué)問(wèn)題一般都是運(yùn)用所學(xué)過(guò)的相關(guān)的知識(shí)加以解決．因此在解決具體問(wèn)題時(shí)，我們首先要明確這是哪類(lèi)問(wèn)題，然后追溯與此類(lèi)問(wèn)題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有哪些，最后綜合條件選定解決本題所適用的知識(shí)點(diǎn)，確定解題方法．那么引例第（2）問(wèn)屬于哪一類(lèi)問(wèn)題呢？

生眾：圖形面積一線(xiàn)等分問(wèn)題．

師：初中階段，除了“過(guò)中心對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)中心的任一條直線(xiàn)將其面積兩等分（不妨稱(chēng)為知識(shí)源1）”外，與“圖形面積一線(xiàn)等分問(wèn)題”有關(guān)的知識(shí)源還有哪些呢？

生2：三角形一邊上的中線(xiàn)把它分成面積相等的兩個(gè)三角形（知識(shí)源2）.

生3：經(jīng)過(guò)梯形上、下底中點(diǎn)的直線(xiàn)把梯形分成面積相等的兩個(gè)梯形（知識(shí)源3）.

生4：運(yùn)用圖形面積公式計(jì)算進(jìn)行處理（知識(shí)源4）．

師：非常好！以上四點(diǎn)是我們今后解決“圖形面積一線(xiàn)等分問(wèn)題”的重要思考方向和主要解題策略．

評(píng)注：一般地，數(shù)學(xué)習(xí)題是由課本的有關(guān)知識(shí)、信息、符號(hào)，通過(guò)遷移、發(fā)散和綜合而來(lái)的，相關(guān)問(wèn)題的知識(shí)源就是解決此類(lèi)問(wèn)題的最佳策略和致勝法寶．因此，通過(guò)追溯知識(shí)源可以明確處理問(wèn)題的思維方向，找到解決問(wèn)題的突破口．此外，最重要的是通過(guò)此環(huán)節(jié)的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)分析和學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，提升解決問(wèn)題的能力．

三、同一類(lèi)型還可怎么做

1．引例解法再探究

師：引例還能用其他知識(shí)源處理嗎？

圖2

師：非常好！由四邊形OBDC為梯形，你選擇了知識(shí)源3作為解題的突破口，但你是怎么想到直線(xiàn)l必經(jīng)過(guò)EF的中點(diǎn)P的呢？

生5：顯然直線(xiàn)l與直線(xiàn)EF不平行也不重合，即相交．那么當(dāng)交點(diǎn)位于線(xiàn)段EF的什么位置時(shí)，直線(xiàn)l把梯形OBDC的面積兩等分呢？我首先猜想特殊點(diǎn)——線(xiàn)段EF的中點(diǎn)P，此時(shí)易證△GEP≌△HFP，得被直線(xiàn)l分成的兩個(gè)梯形的面積相等，故猜想正確．

師：很好！是不是“經(jīng)過(guò)連接梯形上下底中點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)的任意一條直線(xiàn)都將梯形的面積二等分”呢？

生6：不一定．只有當(dāng)這條直線(xiàn)還與梯形上下底都相交時(shí)才成立，其他情況未必成立．

師：精準(zhǔn)！由此我們可把知識(shí)源3推廣為：經(jīng)過(guò)連接梯形上下底中點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)且與兩底都相交的任一直線(xiàn)將梯形的面積兩等分．

師：果然簡(jiǎn)捷．同學(xué)們對(duì)生7的解法有什么想法嗎？

圖3

師：方法一、二都只求出一解，為什么方法三求出的k有三解呢？

師：雖然這種情形不存在，但只有通過(guò)計(jì)算才能說(shuō)明，從思維嚴(yán)謹(jǐn)性上來(lái)說(shuō)，應(yīng)補(bǔ)上；類(lèi)似地，方法二也應(yīng)補(bǔ)上此筆．

2．利用知識(shí)源2（三角形的中線(xiàn)把三角形面積二等分）求解

例1（2010年江蘇連云港第27題）如果一條直線(xiàn)把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線(xiàn)稱(chēng)為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線(xiàn)，例如平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)就是平行四邊形的一條面積等分線(xiàn)．

（1）三角形的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)分別所在的直線(xiàn)，一定是三角形的面積等分線(xiàn)的有_________.

（2）如圖4，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長(zhǎng)DC到E，使CE=AB，連接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE．請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過(guò)點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線(xiàn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

（3）如圖5，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，過(guò)點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)？若能，請(qǐng)畫(huà)出面積等分線(xiàn)，并給出證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖4