☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 王小林

優(yōu)選精練重變式，示拙讓學(xué)促生成
——中考復(fù)習(xí)課中例習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 王小林

對(duì)于初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，我們一般會(huì)選一種以復(fù)習(xí)資料為藍(lán)本，采取“一輪——知識(shí)的總復(fù)習(xí)、二輪——模塊內(nèi)容及數(shù)學(xué)思想方法的專(zhuān)題復(fù)習(xí)、三輪——模擬訓(xùn)練”的模式.然而，筆者發(fā)現(xiàn)在日常的初三復(fù)習(xí)教學(xué)中，部分教師在例習(xí)題教學(xué)時(shí)具有太多的隨意性，學(xué)生往往會(huì)覺(jué)得枯燥無(wú)味，缺乏新鮮感，提不起精神，這樣無(wú)疑會(huì)大大降低復(fù)習(xí)效果，難以實(shí)現(xiàn)預(yù)定的復(fù)習(xí)目標(biāo).出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，除了教學(xué)壓力大、任務(wù)重、問(wèn)題難、人手緊等客觀因素，最主要的原因還在于教師的教學(xué)觀出了問(wèn)題.不少同行似乎有一種教學(xué)習(xí)慣：復(fù)習(xí)課就是習(xí)題課，無(wú)需像新課那樣精心設(shè)計(jì).那么，如何讓初三復(fù)習(xí)課中的例習(xí)題教學(xué)也能生動(dòng)活潑、精彩有效呢？特別是，讓復(fù)習(xí)課這首老歌新唱呢？以下談一些個(gè)人的實(shí)踐與反思.

一、初三數(shù)學(xué)例習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)的對(duì)策：從“體力活”轉(zhuǎn)到“腦力活”

復(fù)習(xí)課中例習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)怎么寫(xiě)？對(duì)于例習(xí)題，教師應(yīng)該先獨(dú)立思考，一般情況下可以順利解決；如果遇到困難，可以與同事交流討論或參考答案，反思自己的解題思路卡在哪里、為什么會(huì)卡、如何突破，并把自己的解法、同事的解法、答案的解法相互比較，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)充分預(yù)設(shè)，從而抓住其要，悟出其道.只有在充分預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上，寫(xiě)清設(shè)計(jì)的思路、題目分析、難點(diǎn)的突破、數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉等，以評(píng)注的形式或多或少地寫(xiě)在講義上.這樣的設(shè)計(jì)充分才是遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，尊重了學(xué)生的思維，從而使得課堂上學(xué)生的思維“水到渠成”，而不再是教師的“個(gè)人獨(dú)唱”.

1.力求精選、精練

所謂“精”，其含義有二：一是質(zhì)量高，二是數(shù)量少.實(shí)踐反復(fù)證明，題海戰(zhàn)術(shù)行不通：填鴨式地講10道題，很多情況下還不如講清、講透1道題的效果好；練習(xí)的關(guān)鍵問(wèn)題在于學(xué)生理解了多少、思維有沒(méi)有獲得提升.我們應(yīng)追求以“一題應(yīng)萬(wàn)題”、“萬(wàn)變不離其宗”的教學(xué)境界.比如，在二輪復(fù)習(xí)中，筆者在教學(xué)“一類(lèi)圖形的最值問(wèn)題”時(shí)設(shè)計(jì)這樣一道題：

例1如圖1，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為A（N的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為_(kāi)________．

事實(shí)上，A、B為兩定點(diǎn)，P為直徑MN上的動(dòng)點(diǎn)，屬于“兩定一動(dòng)，和最小”.只需作出A或者B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)即可，事實(shí)上由于∠AMN＝30°，B為A（N的中點(diǎn)，若作出B的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AO，則∠AOC＝90°，利用勾股定理求出弦AC的長(zhǎng)即可.如果把“兩定一動(dòng)”改成“兩動(dòng)一定”，那該如何解決呢？

圖1

變式1：如圖2，E是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，你能在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PE的值最小嗎？

由于圖中B是定點(diǎn)，那么能否將問(wèn)題PA＋PE轉(zhuǎn)化呢？連接PB、BE，在△BEP中，利用兩邊之差小于第三邊PE≥PB-BE，所以PA＋PE≥PA+PB-BE，由于BE為定值R（半徑長(zhǎng)），所以最終轉(zhuǎn)化為求PA+PB最小，從而與例題本質(zhì)一致.

圖2

變式2：如圖3，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A為圓心，1為半徑畫(huà)圓，E是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是多少？

圖3

這道題背景中增加了矩形ABCD，求PE+PD的最小值，作為矩形ABCD的頂點(diǎn)，點(diǎn)D是定點(diǎn)，E是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，屬于“兩動(dòng)一定求最小”.同理，點(diǎn)A作為圓心為定點(diǎn)，將PE+PD轉(zhuǎn)化為PA+PD-AE，由于AE為定值R（半徑長(zhǎng)），所以最終轉(zhuǎn)化為求PA+PD最小，與例題本質(zhì)一致.

變式3：如圖4，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、BC分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是多少？

圖4

由于P、Q均為動(dòng)點(diǎn)，直接求相對(duì)有點(diǎn)麻煩，屬于“兩動(dòng)問(wèn)題”，通過(guò)對(duì)圖形研究，由于∠BCA＝90°，可以確認(rèn)PQ的身份為所作圓的直徑，所以問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓何時(shí)最小，問(wèn)題迎刃而解.如果有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)呢？

圖5

變式4：如圖5，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE＋PF的最小值是_________．

由于P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)我們解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，將PE、PF分別構(gòu)造△PBF、△PEA，利用PE≥PA-AE，PF≥PB-BF，從而PE+PF≥PA+PBAE-BF，問(wèn)題得以解決.

上述過(guò)程，從“母題”出發(fā)，一題多變，層層深入，步步為營(yíng)，促使學(xué)生的思維如“芝麻開(kāi)花節(jié)節(jié)高”，所以例題設(shè)計(jì)顯得尤為重要.筆者認(rèn)為，例題并不在于有多難，關(guān)鍵在于典型.通過(guò)解剖一個(gè)“麻雀”，積累經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)一類(lèi)問(wèn)題的解決.比如本課的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題并不難，但是它的解答蘊(yùn)含著解決“一類(lèi)圖形的最值問(wèn)題”的一般方法.而一旦有了這個(gè)方法，今后只要遇到問(wèn)題，都可以用它來(lái)解決.

2.期待和促進(jìn)“精彩生成”

葉瀾教授說(shuō)：“課堂應(yīng)該是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定的線路且沒(méi)有激情的行程.”在教學(xué)實(shí)踐中，不應(yīng)該機(jī)械地執(zhí)行預(yù)設(shè)方案，而要適時(shí)洞察“意外通道”，捕捉“美麗圖景”.

比如，二輪復(fù)習(xí)時(shí)，筆者在一次試卷講評(píng)課上給學(xué)生出示了這樣一道題：

例2如圖6，已知點(diǎn)D是Rt△ABC的斜邊BC上的一點(diǎn)（用含k的代數(shù)式表示）．

圖6

圖7

波利亞曾形象地指出：“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)乙徽?，很可能附近就有好幾個(gè).”作為教師可以通過(guò)“示拙”、“讓學(xué)”等教學(xué)藝術(shù)，引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生積極思維、互動(dòng)交流，探索“借題發(fā)揮”，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較分析，將獲得的結(jié)論與頭腦中原有的知識(shí)相融合，使學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)，不僅可以鞏固、深化所學(xué)知識(shí)，而且可以促使學(xué)生開(kāi)闊思路、啟發(fā)思維、激發(fā)興趣、培養(yǎng)能力.

二、初三數(shù)學(xué)例習(xí)題設(shè)計(jì)有效性的反思

1.例習(xí)題設(shè)計(jì)貴在主題明確，學(xué)生積極參與

例習(xí)題教學(xué)功能如何發(fā)揮？關(guān)鍵在于例習(xí)題設(shè)計(jì)主題的確定，將教學(xué)的起點(diǎn)基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和能力起點(diǎn)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)，使各個(gè)層次的學(xué)生都能獲得相應(yīng)的發(fā)展.例如，在“一類(lèi)圖形的最值問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)中，以“和最小、差最大”為主題，以轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用為主線，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，以題組形式，分類(lèi)呈現(xiàn).例1屬于最基本的“兩定一動(dòng)，和最小”，變式1、變式2通過(guò)轉(zhuǎn)化，本質(zhì)上與例1一致.變式3、4分別是“兩動(dòng)、三動(dòng)”，通過(guò)對(duì)問(wèn)題解法的探究、歸納、總結(jié)、拓展，讓學(xué)生歸納出了“一類(lèi)圖形的最值問(wèn)題”的常見(jiàn)類(lèi)型，掌握了相應(yīng)類(lèi)型問(wèn)題的解決策略.有效地把學(xué)過(guò)的知識(shí)綜合起來(lái)，抓住知識(shí)之間的“銜接點(diǎn)”，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、解題方法的整合、貫通.例1、變式1、變式2……巧設(shè)“臺(tái)階”，以“變式”形式，層層深入，使各個(gè)層次的學(xué)生都能參與課堂，有效地達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

2.例習(xí)題設(shè)計(jì)貴在對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，有效的解題方法，能體現(xiàn)很重要的數(shù)學(xué)思想，它對(duì)解決同類(lèi)問(wèn)題、拓展思路、提高解題決策能力是十分重要.例習(xí)題的教學(xué)設(shè)計(jì)，要能基于這樣的認(rèn)識(shí)，開(kāi)展數(shù)學(xué)，可以達(dá)到事半功倍的效果.在本文例習(xí)題設(shè)計(jì)中，探究完的比值后，教師請(qǐng)同學(xué)們從解題思路中總結(jié)方法：遇到三角函數(shù)tanB構(gòu)造直角三角形，因?yàn)锽C=（k+1）BD，所以CD=kBD，線段成比例構(gòu)造相似.然后趁熱打鐵讓學(xué)生思考有沒(méi)有新方法？?jī)晌煌瑢W(xué)的回答，有異曲同工之妙.雖然輔助線有所不同，但都是基于對(duì)tanB和CD=kBD的理解，讓我們驚喜地看到了學(xué)生自身數(shù)學(xué)思維能力的形成.

三、寫(xiě)在最后

初三年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)與初一、初二年級(jí)并沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別，只是新授課與復(fù)習(xí)課的課型不同而已.孔子說(shuō)過(guò)：“吾日三省吾身.”作為教師，應(yīng)“日省”自己的例習(xí)題設(shè)計(jì)，要讓大部分學(xué)生學(xué)有所獲，學(xué)有發(fā)展，使模糊的清晰起來(lái)，使缺憾的填補(bǔ)起來(lái)，使雜亂的條理起來(lái)，使孤立的聯(lián)系起來(lái)，從而讓學(xué)生形成系統(tǒng)化、條理化的知識(shí)框架，使學(xué)生擁有良好的思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)習(xí)慣.

1.中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012（1）．

2.李庾南．自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］．北京：人民教育出版社，2013（7）．

3.章建躍．構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）．

4.李庾南，陳育彬．中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007（10）．Z