尚歡歡，周 林，趙華僑，高火濤，劉克剛

(武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，武漢 430072)

1 引言

在雷達(dá)和通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，為抑制干擾和噪聲，往往要求天線(xiàn)的方向圖具有特殊的形狀［1］。至今，已出現(xiàn)了大量的波束綜合算法，如經(jīng)典的Dolph－Chebyshev 方法［2］、泰勒(Taylor)方法等［3］，但是，這些方法對(duì)陣列形式有嚴(yán)格的要求。Olen 和Compton［4］基于自適應(yīng)理論提出了比較系統(tǒng)的迭代方法;Zhou 等［5］以陣列效率為約束條件，提出了指定旁瓣下的超方向性波束形成算法，但是，自適應(yīng)陣列綜合算法普遍存在迭代收斂的問(wèn)題。

近年來(lái)，研究人員提出了大量的基于凸優(yōu)化理論的波束綜合算法。鄢社峰等［6］提出了可以同時(shí)兼顧波束形成中多個(gè)性能指標(biāo)的波束綜合算法，甘甜等［7］提出了一種穩(wěn)健的恒定束寬的波束形成算法，運(yùn)用凸優(yōu)化理論將波束綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化形式的約束問(wèn)題，通過(guò)工具箱CVX 或SeDuMi 求得問(wèn)題的最優(yōu)解。信號(hào)的稀疏表示是一種新的分析方法，已在諸多領(lǐng)域體現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)。Zhang 等［8］通過(guò)在波束綜合的約束條件中添加稀疏表示準(zhǔn)則，有效地降低了波束的旁瓣水平;劉翼鵬等［9］提出了一種混合范數(shù)約束的波束綜合算法。然而，文獻(xiàn)［8－9］僅對(duì)波束的旁瓣進(jìn)行控制而未對(duì)算法的穩(wěn)健性和陣列效率等性能參數(shù)進(jìn)行詳細(xì)分析。

基于此，本文提出了一種基于敏感度和混合范數(shù)約束的波束綜合算法。仿真實(shí)驗(yàn)表明，只要合適地選取敏感度因子和其他參數(shù)的取值，便能得到有較低旁瓣和零陷的波束響應(yīng)圖。通過(guò)分析可知，該算法具有良好的穩(wěn)健性，能容忍較大的幅相誤差，而且陣列的效率也有較大的提高。

2 波束形成及相關(guān)參數(shù)定義

現(xiàn)假設(shè)有一均勻圓陣，由M個(gè)各向同性的陣元組成，陣列的半徑為r，如圖1 所示。

圖1 均勻圓陣Fig.1 Uniform circular array

現(xiàn)有一波長(zhǎng)為λ 的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶平面波從(θm，φm)方向入射到天線(xiàn)陣中，其導(dǎo)向矢量a(θ，φ)可以表示為

式中，τi=rsin(θ)cos (iβ－)，i=0，1，2，…，M－1，β=2π/M，在這里φ 指信源的俯仰角，θ 指信源的方位角。w 表示陣列的加權(quán)系數(shù)，則波束形成器的輸出響應(yīng)可表示為

可以直接得到常規(guī)波束形成(Conventional Beamforming，CBF)的權(quán)值為Wcbf=a(θm，m)。一般把最大方向性增益定義為陣列的方向性系數(shù)，可以表示為

由式(2)和式(3)可知，方向性系數(shù)D 可以進(jìn)一步表示為兩個(gè)二次型比值:

式中，矩陣N、R 為兩個(gè)確定的矩陣，分別表示為

假設(shè)本文所用的天線(xiàn)陣由短偶極子天線(xiàn)構(gòu)成，則矩陣R 可以表示為

式中，dij是指兩個(gè)陣元之間的距離，Rij是指矩陣R的第i 行第j 列元素。

在波束形成過(guò)程中，為控制主瓣的形狀和降低旁瓣電平，通常都會(huì)對(duì)各陣元施加不等的加權(quán)值。然而，對(duì)陣元的不均勻加權(quán)容易導(dǎo)致陣列效率的損失，陣列效率η［10］可以表示為

為更好地表征陣列天線(xiàn)對(duì)陣列誤差的敏感性，本文引入陣列敏感度因子［11］K，一般K 值越小波束穩(wěn)定性越好，反之越容易受誤差影響。

3 最小均方準(zhǔn)則法(MMSE)

在波束形成過(guò)程中，一般都期望接收的功率盡量集中在主瓣，而副瓣接收的越少越好。反映在方向圖上，就是主瓣越窄越好，副瓣電平越低越好。為方便起見(jiàn)，以下的俯仰角均為90°，方位角以θ 表示，則有

式中，G(θ)=wHa(θ) 與Gd(θ) 分別表示θ 方向的設(shè)計(jì)波束響應(yīng)和期望波束響應(yīng)，Θ 表示波束形成的觀(guān)察區(qū)域。一般設(shè)計(jì)的波束響應(yīng)不會(huì)與期望的波束響應(yīng)完全一致。于是，一般都要求設(shè)計(jì)波束響應(yīng)和期望波束響應(yīng)之間的誤差越小越好。這個(gè)誤差的大小可以用加權(quán)誤差范數(shù)來(lái)衡量，加權(quán)誤差范數(shù)越小說(shuō)明設(shè)計(jì)的波束響應(yīng)越接近期望波束響應(yīng)，即

最小均方準(zhǔn)則法(Minimize Mean Square Error，MMSE)即當(dāng)q=2 時(shí)誤差范數(shù)δ 達(dá)到最小的情況，可以表示為w

式中，A 為一個(gè)M × L 維的矩陣，表示方向角在[0°，360°)范圍內(nèi)，采樣間隔為Δθ 的陣列流型矩陣，A=[a (θ1)，…，a (θi)，…，a (θL)]，θj∈Θ，L=360°/Δθ+1。

式(12)不需要凸優(yōu)化工具包就可以進(jìn)行求解，直接用Lagrange 乘子法得到最優(yōu)解為

4 稀疏表示的混合范數(shù)法

低旁瓣、零陷和穩(wěn)健性是波束綜合的重要性能參數(shù)。現(xiàn)假設(shè)有P個(gè)干擾源，指定零陷的深度為U1，則零陷的響應(yīng)值滿(mǎn)足ε1=，零陷約束值可以寫(xiě)為

波束的旁瓣和零陷容易受陣列誤差的影響而發(fā)生畸變，因此在波束設(shè)計(jì)過(guò)程中既要考慮旁瓣和零陷水平也要考慮其穩(wěn)健性。敏感度因子K 反映了陣元間的不穩(wěn)定性，因此可以在波束綜合中對(duì)K 進(jìn)行約束，從而提高算法的穩(wěn)健性。

理想波束的陣列增益滿(mǎn)足稀疏分布中大部分元素為0(或接近0)而少部分元素為1(或接近1)的特性，基于此，可以考慮在陣列增益的基礎(chǔ)上添加稀疏約束。陣列增益具有次級(jí)結(jié)構(gòu)特征，即陣列增益向量中較大元素集中在主瓣區(qū)域，而較小元素分布在旁瓣區(qū)域;又由于l1范數(shù)最小化約束可以激勵(lì)稀疏約束，而l! 范數(shù)最小化約束可激勵(lì)密集分布的約束。因此，分別對(duì)波束的主瓣和旁瓣使用l! 范數(shù)約束和l1范數(shù)約束。則加入稀疏表示后的波束綜合模型為

式中，δ 為設(shè)計(jì)波束響應(yīng)與期望波束響應(yīng)之間的誤差;AM表示主瓣區(qū)域?qū)?yīng)的陣列流型矩陣，為一個(gè)M×Q 矩陣，Q 為主瓣區(qū)域離散化后的長(zhǎng)度;AS表示旁瓣區(qū)域?qū)?yīng)的陣列流型矩陣，為一個(gè)M×(L－Q)矩陣，L 為整個(gè)觀(guān)測(cè)區(qū)域離散化后的長(zhǎng)度;目標(biāo)函數(shù)中向量乘積wHAM表示波束圖主瓣內(nèi)的陣列增益;而wHAS表示波束圖旁瓣部分的陣列增益，|wHa(θi)|≤ε1表示對(duì)某個(gè)干擾方向的約束;K 為敏感度因子。該問(wèn)題是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，可以用凸優(yōu)化工具CVX 進(jìn)行求解。

5 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

5.1 仿真實(shí)驗(yàn)1:無(wú)陣列誤差情況下算法性能

實(shí)驗(yàn)條件:假設(shè)有一均勻圓陣，工作頻率為f=10 MHz，陣列半徑為r=0.15λ，陣列由M=7 根短偶極子天線(xiàn)組成。主波束對(duì)準(zhǔn)方向?yàn)棣萻=180°，干擾源方向θi=30°，零陷深度ε1=－50 dB，敏感度因子K=0.5。期望波束響應(yīng):在θs=180°方向的波束響應(yīng)為1，在旁瓣區(qū)域 ΩSLL=[0°，θs－θp)∪[θs+θp，360°)的期望響應(yīng)為0，其中θp=15°，取Θ=θs∪ΩSLL，并對(duì)該區(qū)域進(jìn)行離散化處理。圖2 所示為期望波束的響應(yīng)圖。

圖2 期望波束響應(yīng)Fig.2 Desired beam pattern

圖3 所示為常規(guī)波束形成、最小均方準(zhǔn)則法和混合范數(shù)約束法三種算法的波束響應(yīng)圖。由圖3 可知CBF 的主瓣寬度很寬，方向性較差;最小均方準(zhǔn)則法的旁瓣電平較高，而本文算法的旁瓣電平較低均在－28 dB 以下，并且在干擾方向形成較深的零陷。

圖3 三種算法的波束響應(yīng)Fig.3 Beam patterns about the three methods

由表1 可知，MMSE 的最高旁瓣為－14.4 dB，而本文算法的最高旁瓣為－28.3 dB。本文算法的陣列效率η 與MMSE 相比較也有較大提高。此外，本文算法的敏感度因子K 比MMSE 要小很多，由此，可以大致認(rèn)為本文算法比MMSE 有更好的穩(wěn)健性。下面針對(duì)算法的穩(wěn)健性作詳細(xì)分析。

表1 三種算法的各性能參數(shù)比較Table 1 Performance of three algorithms

5.2 仿真實(shí)驗(yàn)2:存在陣列誤差情況下算法性能

對(duì)于陣列誤差，本文主要考慮通道的幅度誤差和相位誤差，假設(shè)幅相誤差均滿(mǎn)足獨(dú)立的高斯分布。算法的最大可容忍誤差可以反映波束形成器的穩(wěn)健性，其值是通過(guò)蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)估計(jì)得到［12］。在每一個(gè)給定的隨機(jī)幅相誤差的情況下，進(jìn)行多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，如果波束圖的畸變程度還在可接受范圍以?xún)?nèi)，那么可以認(rèn)為對(duì)于這種程度的幅相誤差波束形成的波束圖是穩(wěn)健的;隨著陣列幅相誤差的不斷增大，當(dāng)波束圖的畸變變得不可接受，那么在此之前的一個(gè)幅相誤差值作為最大可容忍的陣列幅相誤差。

(1)假設(shè)只存在幅度誤差時(shí)，為表示簡(jiǎn)單這里用δ1 表示。以3 dB為步長(zhǎng)，從－37 dB到－28 dB觀(guān)察波束圖的變化情況，如圖4 所示。

圖4 不同幅度誤差下本文算法波束圖變化情況Fig.4 Radiation patterns for the proposed method when sensors exist amplitude errors

(2)假設(shè)只存在相位誤差時(shí)，為表示簡(jiǎn)單這里用δ2 表示。以0.5°為步長(zhǎng)，從1°到2.5°觀(guān)察波束圖的變化情況，如圖5 所示。

圖5 不同相位誤差下本文算法波束圖變化情況Fig.5 Radiation patterns for the proposed method when sensors exist phase errors

從圖4(a)～(d)的變化情況可知，隨著幅度誤差的變化，波束的形狀也隨著變化。當(dāng)幅度誤差為－28 dB時(shí)，波束的旁瓣發(fā)生明顯畸變，零點(diǎn)位置和增益也發(fā)生較大變化，所以在這里可以認(rèn)為算法所能容忍的最大幅度誤差約為－30 dB。從圖5(a)～(d)可以看出，隨著相位誤差的增大，波束響應(yīng)圖也隨著變化。當(dāng)陣列的相位誤差達(dá)到2.5°時(shí)，波束的旁瓣和零點(diǎn)位置發(fā)生明顯畸變，此時(shí)，可以認(rèn)為算法所能容忍的最大相位誤差約為2°。

為比較最小均方準(zhǔn)則法和本文算法的穩(wěn)健性，現(xiàn)假設(shè)陣列的幅相誤差分別為δ1=－30 dB，δ2=1.5°，其他實(shí)驗(yàn)條件同仿真實(shí)驗(yàn)1，觀(guān)察這兩種算法在存在幅相誤差情況下的穩(wěn)健性能，如圖6 所示。

圖6 存在幅相誤差時(shí)MMSE 算法和本文算法的穩(wěn)健性Fig.6 The robustness performance of the MMSE method and the proposed method

從圖6(a)和(b)的對(duì)比可知，當(dāng)存在相同陣列幅相誤差時(shí)，本文算法波束形狀保持較好，而最小均方準(zhǔn)則算法的波束旁瓣發(fā)生明顯的畸變。因此，可以得出本文算法相比最小均方準(zhǔn)則下的波束形成算法具有更好的穩(wěn)健性。

6 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合凸優(yōu)化理論和信號(hào)的稀疏表示準(zhǔn)則，本文提出了一種新的混合范數(shù)約束下的波束綜合算法。在陣列增益的基礎(chǔ)上添加稀疏約束，可以促使波束圖向理想波束響應(yīng)成形。仿真實(shí)驗(yàn)證明，新方法的波束響應(yīng)具有更低的旁瓣和零陷，其最高旁瓣和最低零陷深度分別為－28 dB和－50 dB左右，因此，能夠有效降低噪聲和干擾對(duì)信號(hào)的影響。多次實(shí)驗(yàn)表明，與MMSE 算法相比，本文提出的算法具有良好的穩(wěn)健性，因此可以保證波束圖在陣列存在殘留誤差的情況下不發(fā)生嚴(yán)重畸變;算法運(yùn)用凸優(yōu)化工具包CVX 進(jìn)行求解，計(jì)算方便、簡(jiǎn)單。

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