李長(zhǎng)民

天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院，天津300350

本文給出的這些方法有些是作者閱讀高等數(shù)學(xué)書籍[1-12]獲得的簡(jiǎn)明方法，有些是作者在多年的教學(xué)和科研中深入鉆研的結(jié)果，其中的二重積分法解極限題則是在一般的高等數(shù)學(xué)書、數(shù)學(xué)分析、考研數(shù)學(xué)書和數(shù)學(xué)競(jìng)賽書籍上都見不到的方法，是作者在閱讀一些數(shù)學(xué)大師的文集和有關(guān)極限論文[13-17]后體會(huì)到的意外收獲。本文將從方程法、一重積分法、二重積分法、羅必塔法則、等價(jià)無(wú)窮小代換法、帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式法等入手，通過(guò)重點(diǎn)例題和典型實(shí)例進(jìn)行歸納總結(jié)。

一、方程法

利用方程法計(jì)算有些數(shù)列極限的題目，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，大大降低解題的難度。

解法2：利用方程法進(jìn)行創(chuàng)新求解。

二、用一重積分法計(jì)算極限

利用一重積分法計(jì)算極限題目是常用的求數(shù)列極限的方法，其做法是把數(shù)列的極限題目轉(zhuǎn)變?yōu)橐恢囟ǚe分進(jìn)行計(jì)算，這樣能夠簡(jiǎn)便、快速的得到結(jié)果。

三、用二重積分法計(jì)算極限

用二重積分法求極限的問(wèn)題較少看到，其做法是把數(shù)列的極限題目轉(zhuǎn)變?yōu)槎囟ǚe分進(jìn)行計(jì)算，下面的例子說(shuō)明用二重積分法求極限題是相當(dāng)簡(jiǎn)便、有效的好方法。

四、乘“1”法

有些極限題目通過(guò)乘以等于“1”的式子，可以使較復(fù)雜的式子得以簡(jiǎn)化，然后我們可以簡(jiǎn)便的求出極限。

解：原式

五、拆項(xiàng)求和法計(jì)算極限

將待求的式子通過(guò)各項(xiàng)的拆分相加來(lái)消除中間的大多數(shù)項(xiàng)，把式子簡(jiǎn)化后即可方便的求出極限。這種使用待定系數(shù)法來(lái)拆分簡(jiǎn)化和式求極限的方法，多用于數(shù)列極限題目的計(jì)算，一般的計(jì)算步驟是“先拆項(xiàng)求和，再取極限”。

六、利用洛比達(dá)法則求極限

應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以使用，如下例。

正確做法如下：

六、利用等價(jià)無(wú)窮小代換計(jì)算極限

七、利用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式求極限

通常我們把用高階無(wú)窮小表示余項(xiàng)Rn（x）的泰勒公式稱為帶佩亞諾（Peano）余項(xiàng)的泰勒公式，其數(shù)學(xué)表達(dá)式見公式（1）。

特別是，當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式，應(yīng)用這種特殊形式的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式求當(dāng)x→0時(shí)某些函數(shù)的極限，可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程、降低解題難度。其數(shù)學(xué)表達(dá)式見公式（2）。

常用的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒展開式有如下6個(gè)：

分析：此式分子中含有帶根號(hào)的項(xiàng)，用洛比達(dá)法則也可以求解，不過(guò)比較繁瑣。若使用泰勒公式求解，可以將問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。

通過(guò)上面幾個(gè)例子，可以看出利用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式求某些函數(shù)的極限具有簡(jiǎn)潔、方便、高效的效果。它不像用羅必塔法則求極限有時(shí)需要用多次，而用泰勒公式則可以一步到位，只要觀察出分子、分母無(wú)窮小的階數(shù)就可以求出結(jié)果。

八、極限問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用舉例

例19.計(jì)算第二宇宙速度 （指物體脫離地球引力、在太陽(yáng)系運(yùn)行所具有的速度）。

解：設(shè)地球質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，地球半徑R=6.370×106米，地心為原點(diǎn)，將物體發(fā)射到離地面高度為h時(shí)所做的功為：

要使物體脫離地球引力場(chǎng)，即把物體發(fā)射到無(wú)窮遠(yuǎn)處，這相當(dāng)于h→∞，因而做功總量為：

結(jié)束語(yǔ)：本文從多方面分析了求解極限題目的方法技巧，有些技巧和方法應(yīng)用很廣，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，只要我們能夠靈活地運(yùn)用這些解題技巧，積極思考每一種解題的方法和應(yīng)用范圍，認(rèn)真總結(jié)解題規(guī)律，靈活巧妙地應(yīng)用求極限的各種技巧，就能有效地計(jì)算極限題目。

[1]北大數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析[M]．北京：高等教育出版社，1986．

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，1996．

[3]陳傳璋，等．?dāng)?shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2007．

[4]盛祥耀，等，高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，1999．

[5]龔冬寶．高等數(shù)學(xué)典型題[M]．西安：西安交通大學(xué)出版社，2000．

[6]徐兵，等．碩士研究生數(shù)學(xué)入學(xué)考試復(fù)習(xí)指導(dǎo)（理工類）[M]．北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003．

[7]滕加俊，滕興虎．高等數(shù)學(xué)全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題精解（同濟(jì)6版）[M]．南京：東南大學(xué)出版社，2012．

[8]李心燦．大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解析選編（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2000．

[9]李大華．大學(xué)數(shù)學(xué)2000題[M]．武漢：華中科技大學(xué)出版社，2001．

[10]陳新明．用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限中的一些問(wèn)題［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2008，（5）：5-58．

[11]錢吉林．高等數(shù)學(xué)詞典[M]．武漢：華中師范大學(xué)出版社，1999．

[12]華羅庚，著，王元，校．高等數(shù)學(xué)引論（第一、二、三、四冊(cè)）[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[13]楊德莊．華羅庚文集（應(yīng)用數(shù)學(xué)卷Ⅰ，Ⅱ）[M]．北京：科學(xué)出版社，2010．

[14]（美）莫里斯·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第一冊(cè)）[M]．上海：上海出版社，2014．

[15]吳振英，陳湛本．論極限的思想方法[J]．廣州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，（5）：400-413．

[16]周述歧．?dāng)?shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)哲學(xué)[M]．北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1993．

[17]毛駿健，顧牡．“十二五”普通高等教育本科國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，大學(xué)物理學(xué)（上冊(cè)）[M]．北京：高等教育出版社，2006．