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        淺析理查德方程擬合樹木高生長模型及參數(shù)求定

        2015-12-24 11:21:02向南海
        安徽林業(yè)科技 2015年3期
        關(guān)鍵詞:中齡林理查德單元格

        向南海

        (旌德縣蔡家橋林場,安徽 宣城 242600)

        淺析理查德方程擬合樹木高生長模型及參數(shù)求定

        向南海

        (旌德縣蔡家橋林場,安徽 宣城 242600)

        在林學(xué)方面,描述樹木及林分生長過程時(shí),理查德方程是近代應(yīng)用最為廣泛、適應(yīng)性較強(qiáng)的一類生長曲線方程。筆者就速生樹種杉木進(jìn)入中齡林后用理查德方程擬合樹木高生長模型并求定參數(shù),在此與大家做一交流。

        理查德方程;參數(shù)

        1 樹木生產(chǎn)量測定意義和樹木生長方程概念

        1.1 樹木生長量測定意義

        找出樹木生長規(guī)律測定樹木生長量,在森林經(jīng)營管理上有著很重要的意義,它既反映立地條件的好壞,又可以作為判斷營林效果和森林生產(chǎn)能力以及確定年伐量和主伐年齡的重要依據(jù)。

        在現(xiàn)代林業(yè)特別是集體林權(quán)制度深化改革中,森林資源作為資產(chǎn)納入資本運(yùn)作,給林業(yè)發(fā)展增添了新的活力,且森林資源資產(chǎn)評估工作已經(jīng)作為必不可少的工作環(huán)節(jié)納入多個經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。在一個森林經(jīng)理期內(nèi),測定林木生長量的預(yù)期收獲值直接影響森林資產(chǎn)價(jià)值評估結(jié)果,給林業(yè)資本運(yùn)作也帶來一定的牽引作用。

        1.2 樹木生長方程的基本概念

        樹木生長方程是描述某樹種(組)各調(diào)查因子總生長量y(t)隨年齡(t)生長變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。它是該樹種某調(diào)查因子的平均生長過程,也就是在均值意義上的生長方程。主要特點(diǎn)如下:

        當(dāng)t=0時(shí)y(t)=0。此條件稱之為樹木生長方程應(yīng)滿足的初始條件。

        y(t)存在一條漸進(jìn)線y(t)=A,A是該樹木生長極大值。

        樹木的生長是不可逆的,使得y(t)是關(guān)于年齡(t)的單調(diào)非減函數(shù)。

        y(t)是關(guān)于t的連續(xù)且光滑的函數(shù)曲線。

        2 理查德方程產(chǎn)生背景與應(yīng)用范圍

        2.1 理查德方程產(chǎn)生背景

        理查德(Richards)方程是基于著名的Bertalanffy生長理論發(fā)展而來。方程的基本形式為:y=A(1±Bexp-kt)1/(1-m)(當(dāng)m>1時(shí)取“+”號,0<m<1時(shí)取“-”號)。該方程的參數(shù)或參數(shù)的組合有明顯的生物學(xué)意義,而且隨著方程中參數(shù)m的取值不同,它構(gòu)成了不同的生物生長或種群動態(tài)方程。因此,理查德方程有著廣泛的適用性,邏輯性強(qiáng),參數(shù)可由獨(dú)立的試驗(yàn)加以驗(yàn)證,即參數(shù)可作出生物學(xué)解釋,從理論上對未來的趨勢進(jìn)行預(yù)測。其產(chǎn)生背景簡述如下:

        Bertalanffy通過分析動物的生長,發(fā)現(xiàn)在動物生長期間,動物的體重增長速率為同化速率與消耗速率之差,而后兩者分別和同化器官的大小以及動物體重成比例,即:

        式中:F—同化器官重,W—體重,Ra—同化速率,Rt—消耗速率。

        由相對生長關(guān)系,有F=rWm,因此:

        式中:η=ar

        理查德(Richards)認(rèn)為,m的取值為2/3,從而得到著名的理查德生長方程:

        2.2 理查德方程在林業(yè)中的應(yīng)用

        (1)在胸徑和斷面積生長中的應(yīng)用:林木胸徑和斷面積生長曲線滿足t=t0(生長至1.3 m 所需的年齡),y=0的初始條件。

        (2)在樹木高生長中的應(yīng)用滿足當(dāng)t=0時(shí)、y=0的初始條件。

        因此,通過引入?yún)?shù)使對樹木生長具有廣泛的適應(yīng)能力,主要應(yīng)用在以下幾個方面:1)與林分密度有關(guān)的林分?jǐn)嗝娣e生長模型;2)樹高生長及地位指數(shù)方面研究;3)林分直徑結(jié)構(gòu)研究方面。

        3 理查德方程應(yīng)用實(shí)例

        3.1 擬合對象

        擬合對象為杉木中齡林高生長過程。林業(yè)調(diào)查中,按齡組、齡級劃分條件定義杉木中齡林生長階段為林齡10至20年,5年1個齡級跨Ⅲ和Ⅳ二個齡級。

        3.2 擬合模型

        將方程兩邊各取對數(shù)得:

        式中:t為樹木年齡觀測值,H為樹高,a、k、c為參數(shù),其中k為模擬生長規(guī)律時(shí)制定的修正值,一般在1.0以內(nèi)。

        3.3 參數(shù)求定

        3.3.1 參數(shù)k值求定

        利用計(jì)算機(jī)應(yīng)用程序求定參數(shù)k值,應(yīng)用程序環(huán)境為:Microsoft Excel 2010。

        第一步,列出杉木中齡林年齡與樹高觀測值于Excel表中。在實(shí)際調(diào)查中,可根據(jù)不同坡向坡位等不同立地條件調(diào)查多組數(shù)據(jù),這里僅列出三組調(diào)查數(shù)據(jù)如下:

        年齡( t ) 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0樹高( h ) 6 . 5 7 . 6 8 . 2 9 . 0 9 . 9 1 1 . 0 1 1 . 7 1 2 . 3 1 3 . 2 1 4 . 0 1 4 . 6年齡( t ) 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0樹高( h ) 6 . 4 7 . 5 8 . 0 9 . 1 1 0 . 0 1 0 . 6 1 1 . 3 1 2 . 4 1 3 . 0 1 3 . 8 1 4 . 7年齡( t ) 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0樹高( h ) 6 . 8 7 . 3 8 . 0 9 . 1 9 . 5 9 . 9 1 0 . 6 1 1 . 4 1 1 . 5 1 1 . 9 1 3 . 0

        第二步,繪制樹高曲線圖。選擇年齡與樹高觀測值數(shù)據(jù)區(qū)域,點(diǎn)擊插入“散點(diǎn)圖”,然后添加趨勢線。趨勢線格式選擇“多項(xiàng)式”,并勾選“顯示公式”和“顯示R平方值”,見下圖1。圖2為樹高曲線圖繪制結(jié)果。

        圖2 中,公式y(tǒng)=-0.008 2x2+0.987 4x-2.467為Excel自動擬合的樹高與年齡的回歸方程,R2值是回歸方程擬合優(yōu)度,取值范圍是[0,1],越接近1擬合程度越好,反之越差。

        第三步,分別取三個年齡觀測值t1、t2、t3,將它們代入回歸方程中,求出三個相對應(yīng)的理論高H1、H2、H3。在這里,t1、t2、t3分別取值為10、15、20,即杉木中齡林的下限、中限、上限三個年齡值。理論高求算結(jié)果為6.6、10.5、14。

        第四步,根據(jù)算出的H1、H2、H3,求觀測比。

        第五步,由(5)式可得:

        因此,觀測比λ可改寫為:

        已知t1=10、t2=15、t3=20,代入(7)式如下:

        已知λ=0.617,令e-10k=x,這里x>0,且x<1,則:

        第六步,在Excel中規(guī)劃求解(15)式中x值。方法如下:

        首先,裝載規(guī)劃求解加載宏。依次點(diǎn)擊“文件-選項(xiàng)-加載宏-管理Excel加載項(xiàng)轉(zhuǎn)到……”,將分析工具庫和規(guī)劃求解加載項(xiàng)一并勾選,見圖3,點(diǎn)擊“確定”;然后,點(diǎn)擊“數(shù)據(jù)”菜單“規(guī)劃求解”按鈕,彈出對話框進(jìn)行設(shè)置,見圖4。

        設(shè)置目標(biāo)單元格是要顯示(15)式中左邊公式內(nèi)容所在的單元格,目標(biāo)值選定(15)式中等號右邊值,即1。在這里我們已經(jīng)于規(guī)劃求解前在$T$8單元格中預(yù)先用函數(shù)寫下了公式“=POWER(1+$T $9,0.617)*(1-$T$9)+POWER($T$9,3/2)”,式中$T $9是(12)式中變量x引用的單元格絕對位置,也是要規(guī)劃求解的值,并添加約束規(guī)則2項(xiàng):$T$9<=1,$T$9>=0。勾選“使無約束變量為非負(fù)數(shù)”,選擇求解方法為“非線性GRG”。接著點(diǎn)擊“選項(xiàng)”按鈕,見圖5、圖6。在所有方法選項(xiàng)卡中,如果想要看到迭代計(jì)算結(jié)果就勾選“顯示迭代結(jié)果”,要直接看到計(jì)算結(jié)果就取消勾選,其他可不用填寫;在非線性GRG選項(xiàng)卡中派生選擇“中心”,并勾選“使用多初始點(diǎn)”,確定退出。

        回到圖4界面,點(diǎn)擊“求解”按鈕,得到全局最優(yōu)解,見圖7對話框。

        關(guān)閉對話框,回到Excel工作表中,見圖8。在$T $9單元格中已經(jīng)看到我們要的x變量結(jié)果:x= 0.62224955。如果最優(yōu)解得到的是1或0,重復(fù)求解過程便可。

        第七步,將x值代入定義的e-10k=x式中,求得:k=0.047 441 406。

        3.3.2 參數(shù)a、c值求定

        將年齡觀測值t1、t2、t3和對應(yīng)的用回歸方程求解的樹高理論值H1、H2、H3以及參數(shù)k值一并代入式(7)、(8)、(9)中,在Excel中用函數(shù)輕松求解,得到:a=29.918 477 22,c=1.552 514 895。

        3.4 杉木中齡林高生長方程模型擬合結(jié)果

        將上述參數(shù)求定值代入理查德方程模型,擬合結(jié)果為:

        將年齡觀測值代入公式驗(yàn)證:當(dāng)t1=10時(shí),解得H1=6.6。

        當(dāng)t2=15時(shí),解得H2=10.5。

        當(dāng)t3=20時(shí),解得H3=14.0。驗(yàn)證通過。

        4 理查德方程應(yīng)用注意事項(xiàng)

        一般的直線方程或曲線方程有a、b兩個待定參數(shù),而理查德方程 H=a(1-e-kt)c中有三個待定參數(shù)a、k、c,問題顯然復(fù)雜。我們在上述實(shí)例中,設(shè)定k值為模擬生長規(guī)律時(shí)制定的修正值,單獨(dú)求算出,然后再代入方程求算出其他兩個參數(shù),這樣便于求解。在這里,需要特別注意的是:k值模擬樹木生長規(guī)律求算時(shí),要盡量滿足樹木生長函數(shù)曲線要求,縮短擬合區(qū)間范圍,以各齡組分段擬合為最優(yōu)。

        S711

        A

        2095-0152(2015)03-0071-04

        2015-03-08

        2015-05-07

        向南海(1967- ),男,林業(yè)工程師,主要從事林業(yè)調(diào)查規(guī)劃設(shè)計(jì)和森林資源資產(chǎn)評估咨詢工作。E-mail:376141298@qq.com

        楊婷婷)

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