吳祿慎,王偉杰,陳華偉,馮 偉
(南昌大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,江西 南昌330031)
構(gòu)建四邊形網(wǎng)格的所有算法可以歸類為直接法[1]和間接法[2]。直接法不經(jīng)過(guò)中間環(huán)節(jié),把點(diǎn)云直接生成四邊形網(wǎng)格。由于需要處理的點(diǎn)云數(shù)據(jù)量巨大、模型形狀和邊界復(fù)雜,研究人員很難直接獲得分布均勻、拓?fù)涑伤倪呅蔚木W(wǎng)格模型,因此難以達(dá)到B 樣條曲面重構(gòu)四邊形參數(shù)域的要求。間接法先使用成熟Delaunay三角剖化[3]算法構(gòu)建散亂點(diǎn)云的三角網(wǎng)格,建立空間網(wǎng)格拓?fù)潢P(guān)系,然后把三角網(wǎng)格轉(zhuǎn)化為四邊形網(wǎng)格。與直接法相比,間接法程序更易實(shí)現(xiàn),并且能生成質(zhì)量較好的四邊形網(wǎng)格。
在許多工程分析條件下,沿區(qū)域邊界單元尤其重要,理想情況是網(wǎng)格單元齊整地排列在區(qū)域邊界處。依據(jù)此理論,文獻(xiàn) [4]將生成三角形曲面網(wǎng)格的前沿推進(jìn)算法擴(kuò)展到四邊形曲面網(wǎng)格生成,新算法從邊界處逐個(gè)單元前移前沿,解決了逐排推進(jìn)鋪路法中出現(xiàn)的魯棒性問(wèn)題,能夠生成理想的四邊形網(wǎng)格;劉晶等[2]對(duì)Q-Morph算法中確定側(cè)邊方法進(jìn)行了改進(jìn),雖然使網(wǎng)格轉(zhuǎn)化過(guò)程中殘留三角形單元數(shù)目大大減少,但是不能保證生成四邊形網(wǎng)格的質(zhì)量;陳陽(yáng)等[5]改進(jìn)了前沿段生長(zhǎng)算法,相比原算法,很好地解決了在幾何質(zhì)量較差、疏密變化較大的三角網(wǎng)格區(qū)域不能生成規(guī)則四邊形網(wǎng)格的問(wèn)題,并通過(guò)改變網(wǎng)格頂點(diǎn)度和設(shè)置生長(zhǎng)約束條件,一定程度上改善了四邊形網(wǎng)格質(zhì)量,但該算法對(duì)疏密度差別較大的三角網(wǎng)格區(qū)域使用相同方法生成四邊形,影響網(wǎng)格轉(zhuǎn)化的效率和質(zhì)量。
實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在哪一個(gè)前沿段上形成四邊形決定四邊形生長(zhǎng)方向且嚴(yán)重影響最終生成四邊形網(wǎng)格的質(zhì)量,因此如何選擇基段成為網(wǎng)格轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。本文在生成點(diǎn)云前,使用一種基于多極線約束的重疊點(diǎn)云刪除算法[6],以避免產(chǎn)生冗余點(diǎn)。對(duì)生成的點(diǎn)云數(shù)據(jù)使用曲率特征簡(jiǎn)化[7]后,劃分出平坦區(qū)和非平坦區(qū),然后三角化點(diǎn)云,優(yōu)化形成的三角網(wǎng)格,最后根據(jù)提出的基段選擇算法確定待生成四邊形的起始邊。
節(jié)點(diǎn)、單元、棱和段:在網(wǎng)格生成中,節(jié)點(diǎn)和單元是基本實(shí)體。節(jié)點(diǎn)是點(diǎn)云的數(shù)據(jù)點(diǎn),單元是一系列節(jié)點(diǎn)以逆時(shí)針?lè)较蚴孜蚕噙B而成。棱是單元的一側(cè),連接兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)。為了區(qū)分一般棱,把位于三角網(wǎng)格與四邊形網(wǎng)格邊界上的棱稱為段。如圖1所示。
圖1 名詞解釋
合并前沿、前沿段、額角和基段:合并前沿是待轉(zhuǎn)換區(qū)域中所有邊界段的集合。合并前沿把已轉(zhuǎn)換區(qū)域從待轉(zhuǎn)換區(qū)域中分離開,且必須形成至少一個(gè)閉合環(huán)。合并前沿上的棱為前沿段;在前沿段兩端節(jié)點(diǎn)處與其相鄰前沿段的夾角稱為額角。作為形成四邊形起始邊的前沿段稱為基段。如圖1所示。
定義1 設(shè)X= {x1,x2,…,xn}是將要建立曲面S上的n 個(gè)點(diǎn)集,集合X 中離任意點(diǎn)xi最近的k 個(gè)點(diǎn)稱為xi的K-鄰域,記為K(xi)。
本文利用樹的層級(jí)結(jié)構(gòu)對(duì)空間中每一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行K-鄰域搜尋[8]。然后在每一個(gè)點(diǎn)如xi的K-鄰域基礎(chǔ)上擬合有約束的最小二乘平面P(xi)作為將要建立曲面在該點(diǎn)的切平面,K(xi)的形心位置是切平面的中心點(diǎn)oi。計(jì)算切平面P(xi)的單位法矢ni,使K(xi)內(nèi)的k 個(gè)點(diǎn)到這個(gè)切平面距離的平方和達(dá)到最小,然后以ni為xi點(diǎn)的單位法矢。為了計(jì)算ni的值,需建立K(xi)的協(xié)變矩陣
式中:(p-oi)是列向量, (p-oi)T是 (p-oi)的轉(zhuǎn)置,CV 是一個(gè)對(duì)稱的半正定3×3 矩陣,記矩陣CV 的最小特征值所對(duì)應(yīng)的單位特征向量為ei,法矢ni取對(duì)ei同向化處理后所對(duì)應(yīng)的值。將求得所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的法矢量存在一個(gè)一維數(shù)組Vector中,順序與原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)組相對(duì)應(yīng)。
如果K(xi)準(zhǔn)確表達(dá)了將要建立曲面S 在xi點(diǎn)附近的幾何形狀,那么曲面S在xi點(diǎn)上的曲率越大,點(diǎn)xi到切平面P(xi)的垂直距離越大,曲面S在xi點(diǎn)上的曲率越小,點(diǎn)xi到切平面P(xi)的垂直距離越小。可得出下面的定義:
定義2 設(shè)X= {x1,x2,…,xn}是將要建立曲面S上的n 個(gè)點(diǎn)集,對(duì)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xi用它的K-鄰域擬合將要建立曲面S 在該點(diǎn)處的切平面P(xi),D= {d1,d2,…,dn}為每一個(gè)點(diǎn)到它的切平面距離的絕對(duì)值
切平面距離計(jì)算如圖2所示。
圖2 切平面距離計(jì)算
為標(biāo)記平坦點(diǎn)和非平坦點(diǎn),根據(jù)模型幾何形狀設(shè)定距離閾值Ωd,一般取經(jīng)驗(yàn)值Ωd=0.1。如果di<Ωd,則該點(diǎn)為平坦點(diǎn),否則為非平坦點(diǎn)。確定出所有點(diǎn)的類型后,用長(zhǎng)度為N的一維數(shù)組FP記錄其類型,平坦點(diǎn)標(biāo)記為1,非平坦點(diǎn)標(biāo)記為0。在此基礎(chǔ)上再劃分出平坦區(qū)域和非平坦區(qū)域。
三角網(wǎng)格和網(wǎng)格轉(zhuǎn)化過(guò)程中的局部混合網(wǎng)格的質(zhì)量參差不齊,而修正網(wǎng)格結(jié)構(gòu) (連通性)會(huì)相應(yīng)提高網(wǎng)格的質(zhì)量,因此在網(wǎng)格轉(zhuǎn)化前和網(wǎng)格轉(zhuǎn)化過(guò)程中,以及局部后處理和全局后處理時(shí),將會(huì)頻繁對(duì)基本網(wǎng)格進(jìn)行修正。
為了使背景三角網(wǎng)格的單元大小分布與度量規(guī)范相兼容,在三角網(wǎng)格所有節(jié)點(diǎn)處定義曲面度量張量[9]M。
在3D 空間,度量張量是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣M3D,如Det(M3D)>0,同時(shí)矩陣M3D的特征對(duì) (gi,λi) (i=1,2,3)定義網(wǎng)格的主要延伸方向和節(jié)點(diǎn)空間。通過(guò)利用M3D,規(guī)范化空間中的基本矢量dε和3D 空間中對(duì)應(yīng)矢量dx 之間的長(zhǎng)度尺度變換為
在參數(shù)空間中,通過(guò)使用等式 (x,y,z)T=r(u,v),把節(jié)點(diǎn)密度的用戶規(guī)范效果M3D和曲面映射結(jié)合在一起的2×2曲面度量張量M 可以定義為
假設(shè)參數(shù)空間中存在兩點(diǎn)p1(u1,v1)和p2(u2,v2),則相對(duì)于M 兩點(diǎn)p1和p2間的距離定義為
通過(guò)利用度量規(guī)范描述曲面映射 (參數(shù)化),三角化和四邊形轉(zhuǎn)化方法都可以被應(yīng)用到范圍廣泛的曲面,包括那些具有快速變化的曲面偏導(dǎo)數(shù)和奇異點(diǎn)。
若存在△P1P2P3,由長(zhǎng)度尺度測(cè)量和曲面度量張量,并根據(jù)式 (3)和式 (4),它的形狀質(zhì)量評(píng)價(jià)如下
式中
在式(7)中,Mi是Pi點(diǎn)處的曲面度量,Det(M)是矩陣M 的行列式。注意等式 (6)中的形狀質(zhì)量?jī)H僅取決于三角形的形狀變形(相對(duì)于度量張量),而與邊長(zhǎng)偏差沒有關(guān)系。由于任何尺寸等邊三角形的最大值都等于1。鑒于此,使用結(jié)合形狀和尺寸的參數(shù)來(lái)表示三角單元總體質(zhì)量
本文使用結(jié)合形狀和尺寸的參數(shù)珘μ 對(duì)三角形總體質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià),這比使用α 質(zhì)量因子更能在質(zhì)量參差不齊的三角單元中分辨出不滿足要求的三角單元。
完成三角網(wǎng)格質(zhì)量評(píng)價(jià)后,采用以下4種網(wǎng)格修正策略對(duì)不滿足要求的網(wǎng)格進(jìn)行修正。
(1)棱交換:用連接相對(duì)節(jié)點(diǎn)的新棱替換相鄰兩單元原有共有棱,如圖3 (a)所示。對(duì)于一個(gè)有效的交換操作,在度量空間和參數(shù)空間中兩對(duì)新形成的角度和都應(yīng)小1800,如圖3 (b)所示。
圖3 棱交換
(2)棱塌陷(單元?jiǎng)h除):在棱塌陷操作中,把滿足一定條件的兩個(gè)單元共有棱刪除,共有棱兩端的節(jié)點(diǎn)合并成一個(gè)節(jié)點(diǎn)。因此與該棱相鄰的兩個(gè)單元同時(shí)被刪除。如圖4所示。
圖4 棱塌陷 (單元?jiǎng)h除)
(3)棱分割:棱分割過(guò)程中,在相鄰兩單元共有棱的中點(diǎn)處裂開,兩個(gè)相鄰單元將會(huì)被分為4個(gè)單元,如圖5所示。
圖5 棱分割
(4)節(jié)點(diǎn)刪除:當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)被3個(gè)或4個(gè)三角形單元圍繞時(shí),可以執(zhí)行節(jié)點(diǎn)刪除操作。如果節(jié)點(diǎn)被3個(gè)三角形包圍,如圖6 (a)所示,它們將合并為一個(gè)三角單元;對(duì)于節(jié)點(diǎn)由4 個(gè)三角形單元圍繞的情況,如圖6 (b)所示,將生成一條新棱,且這條棱為四邊形長(zhǎng)度最短的對(duì)角線。
圖6 節(jié)點(diǎn)刪除
為了改善三角網(wǎng)格質(zhì)量,利用以上4種網(wǎng)格修正方法優(yōu)化背景三角單元。首先遍歷計(jì)算三角形網(wǎng)格中每一個(gè)三角形單元的形狀和尺寸參數(shù),若不在規(guī)定的閾值Ω 范圍內(nèi) (0.3≤Ω≤0.7),可根據(jù)每一個(gè)不滿足質(zhì)量要求的三角形單元的具體情況選擇合適修正策略對(duì)其進(jìn)行處理。
在四邊形網(wǎng)格形成過(guò)程中,基段決定新單元的位置以及合并前沿前進(jìn)方向。四邊形質(zhì)量?jī)?yōu)劣以及轉(zhuǎn)化過(guò)程是否順利進(jìn)行取決于是否選擇最優(yōu)基段。Q-Morph根據(jù)每一個(gè)前沿段的H 值和兩個(gè)前沿額角選擇最優(yōu)基段 (優(yōu)先權(quán)給予具有較小的H 值和額角接近理想值θrect=1350的前沿段),前沿段和額角如圖 (1)所示。利用這種算法選擇基段之前需要知道每個(gè)前沿段的H 值和額角,并比較各前沿段H 值的大小,判斷額角是否接近理想值。因?yàn)槭褂迷撍惴ù_定基段需要計(jì)算、比較兩個(gè)值,所以選擇程序復(fù)雜,花費(fèi)時(shí)間多。并且在四邊形網(wǎng)格形成過(guò)程中沒有考慮不同區(qū)域幾何形狀的差異,僅使用一種基段選擇方法。除此之外,QMorph使用的額角計(jì)算公式僅適用于常規(guī)三角網(wǎng)格,而對(duì)于各項(xiàng)異性或幾何質(zhì)量較差的三角網(wǎng)格,計(jì)算精度不高。本文算法思想是首先計(jì)算出每個(gè)前沿段兩端節(jié)點(diǎn)處的額角值,然后依據(jù)給定的判別條件確定每個(gè)前沿段的狀態(tài);在平坦區(qū)域,當(dāng)前沿段狀態(tài)相同時(shí),計(jì)算每個(gè)前沿段的H值,選擇H 值最大的前沿段作為基段;當(dāng)前沿段狀態(tài)不相同時(shí),則選擇狀態(tài)級(jí)別高的前沿段作為基段;對(duì)于不平坦區(qū)域,選擇長(zhǎng)度小于cHmin(1.5≤c≤2)且狀態(tài)級(jí)別相對(duì)高的前沿段為基段。由于前沿段狀態(tài)不同是大概率事件,因此算法減少了計(jì)算量,提高了算法運(yùn)行效率。此外,本文算法采用適用于各向異性三角網(wǎng)格的額角計(jì)算公式,能夠明顯提高額角的計(jì)算精度。
第i個(gè)前沿段的H 值計(jì)算公式如式 (10)所示
式中:λAk和λBk,k=1,2分別是節(jié)點(diǎn)A 和節(jié)點(diǎn)B處度量張量M 的特征值 (參考3.1)。
根據(jù)度量張量M 和等式 (5),額角的計(jì)算如下
式中:du,dv——無(wú)窮小矢量。
前沿段在兩端節(jié)點(diǎn)處的額角值決定這個(gè)前沿段的狀態(tài),額角計(jì)算參考式(11)。對(duì)合并前沿中的每一段根據(jù)它的狀態(tài)進(jìn)行分級(jí),得到的分級(jí)結(jié)果影響選擇哪一個(gè)前沿段作為基段。
由于一條前沿段狀態(tài)是根據(jù)前沿段兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)處的額角值確定的,因此前沿段狀態(tài)由兩個(gè)要素進(jìn)行定義:一個(gè)表示左節(jié)點(diǎn)位,另一個(gè)表示右節(jié)點(diǎn)位。如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的額角值小于特定閾值Φ (通常Φ=1350),則該節(jié)點(diǎn)位設(shè)置為1,否則設(shè)置為0。每一個(gè)前沿段狀態(tài)分類存放在4種狀態(tài)列表中的一個(gè),前沿段的4種狀態(tài)如圖7所示,圖中當(dāng)前前沿段用粗實(shí)線顯示。
圖7 前沿段狀態(tài)
根據(jù)狀態(tài)對(duì)前沿段分級(jí)有兩個(gè)目的:一是明確處理前沿段的優(yōu)先次序。狀態(tài)為1-1的前沿段給予第一優(yōu)先權(quán),然后依次是狀態(tài)為0-1、1-0和0-0的前沿段;二是為定義側(cè)邊做準(zhǔn)備,因?yàn)橥ǔ6x至少一端已設(shè)置狀態(tài)位的棱為待形成四邊形的側(cè)邊。
(1)通過(guò)計(jì)算確定合并前沿中每個(gè)前沿段兩端節(jié)點(diǎn)處的額角值,判定出它們的狀態(tài);
(2)判斷合并前沿是否在平坦區(qū),若在平坦區(qū),繼續(xù)向下進(jìn)行,否則轉(zhuǎn)到 (7);
(3)若前沿段狀態(tài)相同,計(jì)算每個(gè)前沿段的H 值,選擇H 值最大的前沿段作為基段,否則轉(zhuǎn)到 (8);
(4)把作為基段的前沿段從前沿列表中刪除;
(5)在基段基礎(chǔ)上生成四邊形后,若前沿列表非空,把新形成的前沿段添加到前沿列表中,同時(shí)更新與新四邊形相鄰前沿段的狀態(tài)以及相鄰三角網(wǎng)格的結(jié)構(gòu),然后返回(1),否則轉(zhuǎn)到 (6);
(6)若前沿段列表為空,算法結(jié)束;
(7)若在不平坦區(qū),選擇長(zhǎng)度小于cHmin且狀態(tài)級(jí)別相對(duì)高的前沿段為基段,然后轉(zhuǎn)到 (4);
(8)若前沿段狀態(tài)不同,選擇等級(jí)高的前沿段作為基段,并轉(zhuǎn)到 (4)。
根據(jù)算法選擇出基段之后,由以下步驟構(gòu)建一個(gè)新四邊形單元:①確定待生成四邊形的左右側(cè)邊;②執(zhí)行頂邊再生操作,連接兩個(gè)側(cè)邊的頂節(jié)點(diǎn),生成頂邊;③合并四條邊圍成的閉合區(qū)域內(nèi)所有三角形,形成一個(gè)四邊形單元。
把三角網(wǎng)格轉(zhuǎn)化為四邊形網(wǎng)格后,執(zhí)行全局后處理。應(yīng)用一組標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格改進(jìn)程序和網(wǎng)格光順程序[10],進(jìn)一步提升四邊形網(wǎng)格質(zhì)量。轉(zhuǎn)化完成后形成的四邊形網(wǎng)格與三角網(wǎng)格自由的拓?fù)溥B接關(guān)系不同,具有規(guī)則的連接,網(wǎng)格邊沿主曲率方向分布,能自然表現(xiàn)出模具幾何形狀的變化[11]。
以某汽車模具為例進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8、圖9所示。其中圖8 (a)是模具點(diǎn)云經(jīng)三角化和優(yōu)化后得到的三角網(wǎng)格模型,它有156886個(gè)三角形;圖8 (c)是轉(zhuǎn)化后生成的四邊形網(wǎng)格模型,四邊形數(shù)為70229 個(gè),圖中顯示出模型曲面處的網(wǎng)格密度大,平坦區(qū)域網(wǎng)格密度小,并且生成的四邊形單元?jiǎng)蚍Q,整個(gè)模型很好保持了模具的特征,達(dá)到了不同區(qū)域分別采用相適宜方法轉(zhuǎn)化的效果。
圖8 模具點(diǎn)云網(wǎng)格化
圖9 模具點(diǎn)云曲面擬合
表1是Q-Morph改進(jìn)算法與本文算法在轉(zhuǎn)化速率和網(wǎng)格質(zhì)量方面的比較。比較結(jié)果表明本文算法達(dá)到了預(yù)期效果。表中質(zhì)差率為質(zhì)量差的四邊形數(shù)占總數(shù)的百分比。
表1 兩種算法的數(shù)據(jù)比較
本文在優(yōu)化三角網(wǎng)格后,使用基于區(qū)域劃分的基段選擇算法確定待形成四邊形基段,其優(yōu)勢(shì)有以下3點(diǎn):
(1)采用長(zhǎng)度尺度測(cè)量和曲面度量張量相結(jié)合的三角形質(zhì)量評(píng)價(jià)準(zhǔn)則,可以更準(zhǔn)確檢測(cè)出質(zhì)量差的三角形單元。
(2)使用新額角計(jì)算公式,提高了計(jì)算精度,從而更準(zhǔn)確對(duì)前沿段進(jìn)行分級(jí);
(3)簡(jiǎn)化選擇基段的判斷條件,并能夠根據(jù)不同區(qū)域采用與之相適宜的基段選擇方法,因此提高了網(wǎng)格轉(zhuǎn)化效率以及增大了選擇出最優(yōu)基段的概率。
實(shí)例驗(yàn)證在優(yōu)化三角網(wǎng)格的基礎(chǔ)上,使用本文算法提高了四邊形網(wǎng)格生成效率,明顯改善了最終生成的四邊形網(wǎng)格質(zhì)量,保證了隨后進(jìn)行的曲面重構(gòu)效果,并為下一步模型改進(jìn)、缺損模具修復(fù)以及數(shù)控加工創(chuàng)造了有利條件。
此外,算法還存在不足之處:平坦區(qū)網(wǎng)格密度要求盡可能小,但是在平坦區(qū)由于沒有結(jié)合前沿段的級(jí)別和長(zhǎng)度選擇最優(yōu)基段,會(huì)造成平坦區(qū)網(wǎng)格沒有達(dá)到最理想的密度。如果兩者都考慮,會(huì)大幅增大計(jì)算量,也會(huì)對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量產(chǎn)生一定影響。
[1]Park C,Noh JS,Jang IS,et al.A new automated scheme of quadrilateral mesh generation for randomly distributed line constraints [J].Computer-Aided Design,2007,39 (4):258-267.
[2]LIU Jing,NIE Yufeng,SU Shaopu.Indirect method of quadrilateral mesh generation [J].Computer Engineering and Application,2010,46 (2):44-47 (in Chinese). [劉晶,聶玉峰,蘇少普.四邊形網(wǎng)格間接生成方法 [J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2010,46 (2):44-47.]
[3]Lo SH.Delaunay triangulation of nonuniform point distributions by means of multigrid insertion [J].Finite Elements in Analysis and Design,2013,63:8-22.
[4]CHEN Jianjun,ZHEN Jianjing,JI Tingwei,et al.Advancing front quadrilateral surface mesh generation [J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2011,28 (5):779-784 (in Chinese).[陳建軍,鄭建靖,季廷煒,等.前沿推進(jìn)曲面四邊形網(wǎng) 格 生 成 算 法 [J].計(jì) 算 力 學(xué) 學(xué) 報(bào),2011,28 (5):779-784.]
[5]CHEN Yang,CUI Hanguo,LIU Jianxin,et al.Improved algorithm for advancing front growth in quadrilateral mesh generation [J].Computer Engineering,2011,37 (9):291-293 (in Chinese).[陳陽(yáng),崔漢國(guó),劉健鑫,等.四邊形網(wǎng)格生成中的前沿邊生長(zhǎng)改進(jìn)算法 [J].計(jì)算機(jī)工程,2011,37(9):291-293.]
[6]GUO Jin,YUAN Jianying,CHEN Xiaoning.Algorithm for removing redundancy points based on multiview geometric[J].Computer Engineering &Design,2014,35 (3):958-962 (in Chinese).[郭進(jìn),袁建英,陳小寧.基于多視幾何的重疊點(diǎn)云 刪 除 算 法 [J].計(jì) 算 機(jī) 工 程 與 設(shè) 計(jì),2014,35 (3):958-962.]
[7]DAI Xing,CUI Hanguo,HU Huaiyu.Fast data point simplification algorithm based on curvature character[J].Journal of Computer Applications,2009,29 (11):3030-3032 (in Chinese).[代星,崔漢國(guó),胡懷宇.基于曲率特征的點(diǎn)云快速簡(jiǎn)化算法 [J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2009,29 (11):3030-3032.]
[8]Connor M,Kumar P.Fast construction of K-nearest neighbor graphs for point clouds [J].IEEE Transactions on Visualization &Computer Graphics,2010,16 (4):599-608.
[9]Xie Hehu,Yin Xiaobo.Metric tensors for the interpolation error and its gradient in Lp norm [J].Journal of Computational Physics,2014,256:543-562.
[10]HU Shimin,LAI Yukun,YANG Yongliang.A curvature flow based fairing algorithm of quad-dominant meshes [J].Chinese Journal of Computers,2008,31 (9):1622-1628 (in Chinese).[胡事民,來(lái)煜坤,楊永亮.基于曲率流的四邊形主導(dǎo)網(wǎng)格的光順?lè)椒?[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào),2008,31 (9):1622-1628.]
[11]ZHU Weipeng,GAO Chengying,LUO Xiaonan.Global anisotropic quad-dominant remeshing [J].Journal of Soft,2012,23 (5):1305-1314 (in Chinese).[朱為鵬,高成英,羅笑男.全局各向異性四邊形主導(dǎo)網(wǎng)格重建方法 [J].軟件學(xué)報(bào),2012,23 (5):1305-1314.]