楊麗華，葛 磊，李保林＋，黃海波

（1.湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，湖北 十堰442002；2.中國(guó)航天科工集團(tuán)第二研究院706所，北京100854；3.湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，湖北 十堰442002）

0 引 言

就粒 子 濾 波 （particle filtering，PF）［1－7］本 身 而 言，其存在著缺點(diǎn)，主要為粒子退化問(wèn)題，盡管通過(guò)重采樣可以在一定程度上緩解粒子退化，但也由此產(chǎn)生了樣本貧化。因此，眾多學(xué)者通過(guò)研究選取重要性密度函數(shù)來(lái)緩解粒子退化問(wèn)題，其中較為有效的是基于擴(kuò)展卡爾曼濾波 （extended kalman filter，EKF）的 擴(kuò) 展 粒 子 濾 波 （extended particle filter，EPF）和基于無(wú)跡卡爾曼濾波 （unscented Kalman filter，UKF）的無(wú)跡粒子濾波 （unscented particle filter，UPF）［8］。然而EPF和UPF雖然在一定程度上可以緩解粒子退化問(wèn)題，但是由于EKF 和UKF 本身的局限，使兩種算法對(duì)系統(tǒng)模型誤差和狀態(tài)突變的魯棒性不強(qiáng)，當(dāng)系統(tǒng)存在模型誤差或狀態(tài)突變時(shí)，濾波估計(jì)效果不佳，甚至發(fā)散。

為了提高PF對(duì)系統(tǒng)模型誤差和狀態(tài)突變的魯棒性，提高濾波器對(duì)狀態(tài)估計(jì)的跟蹤能力，胡昌華等提出了強(qiáng)跟蹤EPF （strong tracking EPF，STEPF）算法［9］，該算法將強(qiáng)跟蹤EKF （strong tracking EKF，STEKF）與PF結(jié)合，利用STEKF對(duì)粒子進(jìn)行估計(jì)，產(chǎn)生重要性密度函數(shù)，并更新粒子。由于STEKF對(duì)狀態(tài)具有較強(qiáng)的跟蹤能力，魯棒性較強(qiáng)，故STEPF既避免了粒子退化和樣本貧化，又具有高于STEKF的估計(jì)精度，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)突變具有較強(qiáng)魯棒性。然而STEKF是基于一階線(xiàn)性化截?cái)嗟姆椒?，其估?jì)精度不高，從而影響了STEPF 的估計(jì)精度，并且由于STEKF需要計(jì)算非線(xiàn)性函數(shù)的雅可比矩陣，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)，難以模塊化實(shí)現(xiàn)，從而影響了STEPF的數(shù)值穩(wěn)定性，也增加了在實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)現(xiàn)難度。

本文基于STEPF引入STEKF產(chǎn)生重要性密度函數(shù)的思 想，提 出 了 將 強(qiáng) 跟 蹤 UKF （strong tracking UKF，STUKF）與PF結(jié)合的強(qiáng)跟蹤UPF （strong tracking UPF，STUPF）算法，該算法利用STUKF產(chǎn)生重要性密度函數(shù)，并更新粒子。由于在非線(xiàn)性高斯系統(tǒng)下，UKF估計(jì)精度可達(dá)非線(xiàn)性函數(shù)的三階泰勒展開(kāi)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于EKF的一階，所以STUPF的估計(jì)精度高于STEPF，同時(shí)STUKF 不必求取計(jì)算繁瑣的雅可比矩陣，故STUPF具有較高的數(shù)值穩(wěn)定性，也較容易實(shí)現(xiàn)。

1 STEPF算法

1.1 STEKF算法

考慮如下所示的非線(xiàn)性離散系統(tǒng)

其中：xk∈Rn、yk∈Rm分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量和量測(cè)向量；fk（·）：Rn→Rn、hk（·）：Rn→Rm分別為系統(tǒng)非線(xiàn)性函數(shù)和量測(cè)函數(shù)；wk、vk為互不相關(guān)的高斯白噪聲，具有如下的統(tǒng)計(jì)特性

其中：Qk、Rk都為正定矩陣；δk，j為Kronecker－δ函數(shù)。

則STEKF算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下

其中

STEKF對(duì)模型誤差和狀態(tài)突變具有良好的魯棒性，能以較快的速度跟蹤狀態(tài)變化，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

1.2 STEPF算法

STEKF雖然具有良好的魯棒性，但是由于STEKF 算法本身的局限，其估計(jì)精度不高，只能達(dá)到泰勒展開(kāi)的一階精度，在某些情況下難以滿(mǎn)足對(duì)狀態(tài)估計(jì)的高精度要求。而將STEKF 與PF 結(jié)合的STEPF，則可以在保證STEKF的魯棒性的同時(shí)，提高濾波精度。STEPF 算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟2 已知k＋1時(shí)刻的量測(cè)值yk＋1，利用STEKF算法對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行更新，得到粒子的重要性密度函數(shù)，并根據(jù)重要性密度函數(shù)抽樣， 獲得相應(yīng)粒子｛xik＋1i＝1，2，…，N｝及其概率密度值

步驟3 更新權(quán)值并歸一化

步驟4 對(duì)粒子樣本｛xik＋1i＝1，2，…，N｝重采樣得到新粒子樣本｛xik＋1i＝1，2，…，N｝，并求取狀態(tài)估計(jì)

相比于STEKF，STEPF 具有較高的估計(jì)精度，同時(shí)也克服了粒子退化和樣本貧化的問(wèn)題，并對(duì)系統(tǒng)模型誤差和狀態(tài)突變具有較強(qiáng)的魯棒性，對(duì)狀態(tài)具有較強(qiáng)的跟蹤能力。但是由于STEKF的估計(jì)精度較低，而STEPF 的粒子更新過(guò)程是根據(jù)STEKF產(chǎn)生的重要性密度函數(shù)，所以也直接影響了STEPF的估計(jì)精度，同時(shí)由于STEKF需要計(jì)算雅可比矩陣，計(jì)算較為繁瑣，且容易出錯(cuò)，這也影響了STEPF的數(shù)值穩(wěn)定性。同時(shí)由于雅可比矩陣的計(jì)算難以模塊化實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致STEPF也存在難以模塊化的問(wèn)題。

因此，尋找一種魯棒性較強(qiáng)、估計(jì)精度更高、可以模塊化實(shí)現(xiàn)的濾波算法，替代STEKF產(chǎn)生重要性密度函數(shù)，成為提高STEPF估計(jì)精度、實(shí)現(xiàn)方便的關(guān)鍵。而STUKF恰恰滿(mǎn)足這些要求，將STUKF與PF結(jié)合的STUPF算法，可得到比STEPF估計(jì)精度更高，更容易實(shí)現(xiàn)的濾波算法。

2 STUPF算法

2.1 STUKF算法

基于非線(xiàn)性系統(tǒng)式 （1）和式 （2）的STUKF 算法可表示如下［10］：

步驟1 已知k 時(shí)刻的狀態(tài)xk的統(tǒng)計(jì)特性（＾xk，Pk），根據(jù)Sigma采樣策略，確定Sigma點(diǎn)ξi，k（i＝0，1，…，L）及其相應(yīng)權(quán)值。

步驟2 計(jì)算ξi，k 經(jīng)非線(xiàn)性函數(shù)（1）傳播后的點(diǎn)γi，k＋1／k，從而得到一步狀態(tài)預(yù)測(cè)及誤差協(xié)方差陣P（l）k＋1／k

步驟5 求得λk＋1后，利用＾xk＋1／k和Pk＋1／k求 取Sigma點(diǎn)，再 通 過(guò) 非 線(xiàn) 性 測(cè) 量 函 數(shù) （2）傳 播 后 的 點(diǎn)ηi，k＋1／k，由可得引入 漸 消 因 子 后 的 自 協(xié) 方 差Pyk＋1和互協(xié)方差Pxk＋1yk＋1

步驟6 在獲得新的量測(cè)后yk＋1，即可求得濾波增益Kk＋1、狀態(tài)估計(jì)值和協(xié)方差Pk＋1

由于STUKF算法同樣采用了U 變換，故當(dāng)系統(tǒng)正常時(shí)，STUKF與UKF具有相同的估計(jì)精度，但是當(dāng)系統(tǒng)具有模型誤差或狀態(tài)突變時(shí)，UKF的濾波增益不會(huì)自適應(yīng)調(diào)整，導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)估計(jì)不準(zhǔn)確，嚴(yán)重時(shí)濾波會(huì)發(fā)散。而STUKF是基于正交性原理推導(dǎo)出來(lái)，通過(guò)以強(qiáng)迫輸出殘差序列正交的方法，自適應(yīng)的調(diào)整濾波增益，所以STUKF 對(duì)系統(tǒng)模型誤差和狀態(tài)突變具有良好的魯棒性，即使當(dāng)濾波趨于穩(wěn)定時(shí)，STUKF也會(huì)通過(guò)因狀態(tài)異常而導(dǎo)致的量測(cè)異常，自適應(yīng)地調(diào)整一步預(yù)測(cè)方差陣，從而達(dá)到調(diào)整濾波增益、跟蹤真實(shí)狀態(tài)的目的。

同時(shí)由于STUKF采用逼近精度更高的U 變換來(lái)近似狀態(tài)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差，所以與STEKF 相比，STUKF克服了STEKF通過(guò)一階線(xiàn)性化截?cái)鄬?dǎo)致精度偏低的缺點(diǎn)，又避免了計(jì)算雅可比矩陣，能提高濾波的數(shù)值穩(wěn)定性，且有利于算法的模塊化設(shè)計(jì)。

2.2 STUPF算法

STUPF算法的設(shè)計(jì)思想是，利用最新的觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)STUKF計(jì)算粒子重要性密度函數(shù)的均值和協(xié)方差，并根據(jù)重要性密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)特性采樣得到新的粒子及相應(yīng)權(quán)值，再通過(guò)粒子權(quán)值的歸一化和對(duì)粒子的重采樣，再加權(quán)求和，完成對(duì)狀態(tài)的估計(jì)。其具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1 初始化，設(shè)置粒子數(shù)目N ，并對(duì)N（＾x0，P0）抽樣，得到初始粒子集｛i＝1，2，…，N｝，并設(shè)粒子的權(quán)值皆為1／N。

步驟2 在獲得k＋1 時(shí)刻的量測(cè)值yk＋1后，利用STUKF對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，得到相應(yīng)估計(jì)值和 協(xié)方差Pik＋1／k，并以此作為 粒 子 的 重 要 性 密 度 函 數(shù)進(jìn)行抽樣，從而得到新粒子及其概率密度值

步驟3 將粒子權(quán)值進(jìn)行更新，并進(jìn)行歸一化處理

由于STUPF采用STUKF產(chǎn)生重要性密度函數(shù)，所以在一定程度上克服了粒子退化和樣本貧化的問(wèn)題，當(dāng)系統(tǒng)正常時(shí)，由于UKF 與STUKF 具有相同的估計(jì)精度，故STUPF與UPF也具有相同的估計(jì)精度，所以STUPF算法兼具UPF的估計(jì)精度高和STUKF對(duì)狀態(tài)突變的強(qiáng)跟蹤能力，具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，即使當(dāng)系統(tǒng)模型失配或發(fā)生狀態(tài)突變時(shí)，也可以迅速跟蹤狀態(tài)真實(shí)值，完成對(duì)狀態(tài)的估計(jì)。同時(shí)由于STUKF滿(mǎn)足正交性原理，其估計(jì)結(jié)果是無(wú)偏的，而STUPF算法不影響其正交性，故STUPF可以保證估計(jì)值的無(wú)偏和次優(yōu)。

與STEPF相比，由于STUKF 估計(jì)精度高于STEKF，所以由STUKF對(duì)粒子的更新更加集中于狀態(tài)概率密度函數(shù)的高似然區(qū)域，故STUPF 的估計(jì)值更加精確。同時(shí)由于STUKF避免了求取雅可比矩陣，降低了計(jì)算復(fù)雜度，故增加了STUPF算法的可實(shí)現(xiàn)性和數(shù)值穩(wěn)定性，且容易模塊化實(shí)現(xiàn)。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)分別采用兩個(gè)非線(xiàn)性模型對(duì)STUPF進(jìn)行仿真，其中例1是粒子濾波算法的標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑏?lái)驗(yàn)證STUPF算法對(duì)狀態(tài)的估計(jì)能力，例2 是分時(shí)恒定值問(wèn)題，來(lái)驗(yàn)證STUPF對(duì)狀態(tài)突變的強(qiáng)跟蹤能力。

例1：標(biāo)準(zhǔn)模型的狀態(tài)方程和量測(cè)方程為

其中，wk和vk分別為均值為0，方差分別為Qk＝10，Rk＝1的高斯白噪聲。設(shè)x0＝0.1，P0＝10，ρ＝0.95，取粒子數(shù)為100，進(jìn)行100步的迭代估計(jì)，分別用UPF、STEPF 和STUPF算法對(duì)該模型進(jìn)行濾波，所得的狀態(tài)估計(jì)曲線(xiàn)和均方誤差曲線(xiàn)分別如圖1和圖2所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)模型的狀態(tài)估計(jì)

圖2 標(biāo)準(zhǔn)模型的均方誤差

從圖1和圖2 可以看到，UPF、STEPF 和STUPF 都能對(duì)該模型進(jìn)行估計(jì)，其中UPF和STUPF估計(jì)效果較好，且精度相當(dāng)，而STEPF 的均方誤差曲線(xiàn)大于UPF 和STUPF，估計(jì)精度稍差。UPF 和STUPF 估計(jì)精度相當(dāng)?shù)脑蚴莾煞N算法的重要性密度函數(shù)UKF 和STUKF，當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有模型誤差或狀態(tài)突變時(shí)，具有相同的估計(jì)精度。而STEPF估計(jì)精度稍差的原因是采用估計(jì)精度低于UKF 和STUKF的STEKF作為重要性密度函數(shù)。這也驗(yàn)證了當(dāng)系統(tǒng)正常時(shí)，STUPF和UPF 估計(jì)精度相同，且高于STEPF的理論分析。

例2：分時(shí)恒定值的狀態(tài)方程和量測(cè)方程為

設(shè)T ＝120，Q ＝1，P0＝5，ρ＝0.95，粒子濾波的樣本個(gè)數(shù)為100，進(jìn)行120 步的濾波計(jì)算。分別用UPF、STEPF和STUPF算法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行濾波，所得的濾波曲線(xiàn)如圖3所示。

圖3 分時(shí)恒定值的狀態(tài)估計(jì)

從圖3可以看到，UPF對(duì)狀態(tài)突變完全失去了跟蹤能力，其估計(jì)值難以跟蹤狀態(tài)真實(shí)值，產(chǎn)生較大誤差，魯棒性較差。而STEPF和STUPF對(duì)狀態(tài)突變都具有較強(qiáng)的跟蹤能力，都可以在狀態(tài)突變后迅速跟蹤到真實(shí)狀態(tài)，并且估計(jì)精度都很高。但是，由于STEPF采用STEKF 作為重要性密度函數(shù)，而STEKF的估計(jì)精度不高，所以導(dǎo)致在對(duì)狀態(tài)突變時(shí)刻進(jìn)行估計(jì)時(shí)，STEPF的估計(jì)值與真實(shí)值的誤差較大，行成一個(gè)尖刺，影響了狀態(tài)估計(jì)的平滑性，而STUPF則由于估計(jì)精度高，避免了這一缺陷，從而驗(yàn)證了STUPF具有較高的估計(jì)精度和對(duì)狀態(tài)突變較強(qiáng)的跟蹤能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

STEPF算法對(duì)系統(tǒng)模型誤差和狀態(tài)突變具有較強(qiáng)的魯棒性，但是由于STEPF 以STEKF 作為重要性密度函數(shù)，導(dǎo)致其估計(jì)精度受到影響，且需要計(jì)算雅可比矩陣，增加了實(shí)現(xiàn)難度，影響了數(shù)值穩(wěn)定性。本文提出的STUPF算法使用估計(jì)精度更高的STUKF 作為重要性密度函數(shù)，兼具了UPF估計(jì)精度高和STUKF 較強(qiáng)魯棒性的優(yōu)點(diǎn)，有效克服了STEPF 所存在的缺點(diǎn)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，STUPF在具有較強(qiáng)的魯棒性的同時(shí)，具有高于STEPF 的估計(jì)精度。

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