朱 琳， 閆霏霏

(1．東華理工大學 理學院，江西 南昌330013;2．中國地質大學(武漢)數學與物理學院，湖北武漢430074;3．華中科技大學數學與統(tǒng)計學院，湖北武漢430074)

在高校的教學過程中，經常要對成績、試卷或者其它材料進行檢查分析，以便于對前一階段的教學狀況進行評價及改進。由于高校學生人數較多、范圍較廣，而時間、經費和精力有限，往往不能對全部情況進行普查，只能進行抽查。而目前抽樣時，大部分高校使用的抽樣方法還是抽簽法，這種方法在被調查對象眾多的情況下，其費時、費力的弱點便非常明顯。本文通過高校中常需要抽樣的實際情況，結合抽樣調查理論，介紹了兩種抽樣方法并運用SAS軟件(SAS 9．1．3版)進行抽樣和推斷。SAS的抽樣功能比較強大，但現在市場上的SAS教材中介紹如何抽樣和推斷的不多，因此在文章中針對東華理工大學(以下簡稱學校)的兩門公共數學課程的試卷抽樣及成績推斷給出了具體的實現過程。

1 高校常見的抽樣情況及抽樣方法

1．1 簡單隨機抽樣

在學校的課程設置中，概率論與數理統(tǒng)計屬于公共數學類課程，修課學生人數較多，但是期末試卷采取統(tǒng)一命題的形式，批改和成績登錄也都由大學數學教學部統(tǒng)一完成，批改后的試卷也集中保存。因此對試卷的抽樣調查不需要分批、分部門進行，在對試卷情況和成績的調查時可用簡單隨機抽樣法［1］進行抽樣。

從有N個單元的總體(Y1，Y2，…，YN)中抽取n個單元(y1，y2，…，yn)作為樣本，一切可能的CnN種實現均有相同的概率出現。這時采用的無放回的等概率抽樣方式就是簡單隨機抽樣。

在對2014年上半年學校南昌校區(qū)概率論與數理統(tǒng)計期末試卷進行抽樣調查時，有效考試(除了缺考、緩考等情況)的人數為1 844人，將這些學生名單作為總體(數據文件為gl201302)進行抽樣。按照往常抽樣的習慣，抽取總人數的10%，也就是185人，將抽的樣本保存在臨時邏輯庫work下文件sample 中，用 SAS 的過程步 proc surveyselect［2－5］可以實現，程序如下。

其中，proc surveyselect后的選項data指定被抽樣數據是臨時邏輯庫下的gl201302;method表明了所用的抽樣方法是簡單隨機取樣(srs);rate表明抽樣比例為0．1(可用n=185代替);out表明樣本文件名，這里樣本數據存放在臨時邏輯庫下，文件名為Sample;seed=1234表明這次隨機抽樣的種子數是1234。

運行程序后，被抽取的185位學生的名單信息保存在臨時邏輯庫下的數據文件sample中，試卷調查時，只需對該文件中的學生試卷進行調查。

1．2 分層抽樣

與概率論與數理統(tǒng)計不同的是，學校高等數學的教學是針對不同的教學計劃而分批次進行的，且不同批次的試卷的制定和批改均是分開的。考慮到不同批次之間的差異，在抽樣的時候需要用分層抽樣法［1］進行抽樣。

分層抽樣是將大的總體分成若干小的總體，每一小總體成為一個層，在每層中抽取一個樣本，將各層的樣本合在一起組成原總體的一個分層樣本。有兩類情況適合進行分層抽樣，一是各小的總體之間有明顯的差異，每層內的各單元差異較小，層與層之間的差異較大;二是由于組織管理的方便，必須進行分層。

對2014年上半年學校南昌校區(qū)高等數學Ⅱ期末試卷進行抽樣時，有效考試人數為3 288人，將這些學生名單作為總體(數據文件為gs201302)進行抽樣。仍然抽取總人數的10%，也就是329人，將抽取的樣本保存到臨時邏輯庫，文件名為sample2。由于高等數學Ⅱ的教學是分5批進行的，每批的人數不同，在分層(批)抽樣之前先統(tǒng)計每批的人數及每批的抽樣數。

每位同學的所屬批次記錄在變量_COL2中，可以用proc freq過程步進行統(tǒng)計。

統(tǒng)計出的每批的總人數列在表1中。

表1 高等數學Ⅱ每批學生總人數

抽取每批的10%時，抽取樣本數分別為138，76，36，53，26。

在進行分層抽樣之前，先對數據gs201302按照分層變量_COL2進行排序，這里用proc sort過程進行排序。再用SAS的過程步proc surveyselect進行分層抽樣。

用proc surveyselect進行分層抽樣時，method=srs表明每層內仍然用簡單隨機抽樣進行抽樣;n后面列舉出每層要抽的樣本數;其它的選項含義與前面相同。Strata后指明分層變量是_COL2。

抽取的329位學生的名單信息保存在臨時邏輯庫下的數據文件sample2中，同樣地，試卷調查時，也只需這部分學生的試卷情況和成績進行調查。

2 對總體情況的推斷

在對抽得的兩門課程的樣本試卷進行調查后，往往希望通過樣本試卷的成績來對總體成績進行估計，通常需要估計的是總體的平均成績、優(yōu)秀率和不及格率。

2．1 總體平均值的估計

(1)簡單隨機樣本下的對總體的估計。在抽取簡單隨機樣本后可以用簡單估值法可得到樣本平均值，它是總體平均值的無偏估計中S2是總體方差。的一個無偏估計是，其中s2是樣本方差。

對抽到的文件sample中的185位同學的成績進行調查后，將每位同學的成績保存至該文件，成績變量名為_COL8。對該成績進行分析，估計出總體平均值也即是南昌校區(qū)該年級學生概率論與數理統(tǒng)計的平均成績及其95%的置信區(qū)間。用過程步 proc surveymeans［2］進行實現，程序如下:

這里，proc surveymeans后的選項data功能同上;total指定總體的人數1844;語句var后面列出要分析的變量名_COL8，也即是學生成績。

程序運行后在結果窗口中可以看到對總體平均成績、其均方偏差和95%置信區(qū)間的估計，見表2(數據保留三位小數，下同)。

表2 概率論與數理統(tǒng)計平均成績的估計結果

從輸出結果可知，這次抽樣的樣本量是185，平均成績ˉy=66．403，平均成績的均方偏差v(ˉy)=1．555，總體平均分的 95% 置信區(qū)間是［63．335，69．471］也即是

這里需要注意的是在對sample2的數據進行分析時，層與層之間的抽樣比差別不大，因此校正前后的結果差別不大。如果是在每層的抽樣比差別比較大的情況下時，加權是必要的。

從分析結果可知，這次抽樣的樣本量是329，均的值，這里α=0．05。而事實上，由大學數學教學部統(tǒng)計出來的該學期南昌校區(qū)概率論與數理統(tǒng)計總體平均分是67．643，可以看出包含在此置信區(qū)間內。

(2)分層樣本下的對總體的估計。如果分層抽樣樣本是從每一層獨立抽取的，每一層內抽取的是簡單隨機樣本，且每層的總體平均值ˉY用簡單估值時，則估計量是的無偏估計。對應的均方偏差為，而它的一個無偏估計為

對樣本sample2中的329位同學的高等數學Ⅱ試卷成績進行調查統(tǒng)計后，要估計出總體平均成值及其95%的置信區(qū)間。與不分層的情況不同的是，在用過程步proc surveymeans進行樣本分析之前，要先給出每批考試的總人數。

將每批考試的總人數讀入一個數據集groups。

程序運行后在結果窗口中可以看到對總體成績、其均方偏差和95%置信區(qū)間的估計(見表3)。

表3 高等數學Ⅱ平均成績的估計結果

在抽樣的時候，由于抽樣個數是整數，取整時造成實際上各層之間單元抽樣的概率并不相同。為了對結果進行校正，可以將每層的抽樣概率的倒數作為權重對考試成績進行加權。而用proc surveyselect進行分層抽樣時各個樣本單元的抽樣比及其倒數(samplingweight)已經包含在樣本數據中，所以在proc surveymeans過程中可以將該變量作為權重進行計算，也即是在上面的語句中再加上weight samplingweight語句，可得到校正后的結果(見表4)。值，均值的均方偏差v(ˉy)=1．201，總體均值的95%置信區(qū)間是［59．648，64．373］。而事實上，大學數學教學部統(tǒng)計出來的該學期本科生高等數學Ⅱ成績均值為62．834，在此置信區(qū)間內，且與估計值絕對誤差僅有0．824。

表4 高等數學Ⅱ平均成績校正后的估計結果

2．2 比例估計

在對成績進行調查時，往往還希望了解該課程的考試優(yōu)秀率(成績大于或等于90分)或不及格率(成績低于60分)。以調查不及格率為例，如果將不及格稱為特征，而我們要調查的這一特征的比例，其實就是符合該特征的個體的個數占總單元數的比例。令

則z=z1+z2+…+zn即為樣本中具有該特征的個體總數n1，而平均數是該樣本中具有該特征的單元的比例p，是總體中具有該特征的比例P的一個無偏估計。因此我們只需要將樣本中具有該特征的個體標記出來，然后用前面介紹的proc surveymeans過程對總體進行推斷即可。

要了解概率論與數理統(tǒng)計中考試不及格的學生占的比例，需要先生成一個數據集，將含有該課程成績的樣本中不及格的標注出來，不妨取該變量名為 fail。

再用推斷概率論與數理統(tǒng)計平均成績的方法進行分析即可，只需將分析的數據集換成sample3，分析的變量換成fail。

在輸出窗口看到的結果如表5所示。

表5 概率論與數理統(tǒng)計考試不及格率的推斷結果

從結果中可以知道，推斷總體中不及格比例為0．227，而該比例的 95% 置信區(qū)間為［0．169，0．285］。

而對于高等數學Ⅱ成績不及格的比例的推斷過程與之類似，只需要將proc surveymeans的分析方法換成2．2節(jié)中對分層樣本的分析即可。

3 結束語

SAS的surveyselect過程能實現的抽樣的方法較多，除了簡單隨機抽樣(srs)，可重復的簡單隨機抽樣(urs)還有系統(tǒng)抽樣(sys)、序列抽樣(seq)、pps抽樣(pps)等抽樣方法［3］。在本文中介紹的兩種抽樣方法使用比較普遍，除了對試卷的抽樣，比如還有對大四畢業(yè)生的就業(yè)實習和畢業(yè)論文的抽查，由于這些材料由各個學院組織完成，因此材料抽查要在各學院分別進行，這時要用分層抽樣法進行抽樣。但如果抽樣時只抽取學院，且要以該學院的規(guī)模大小作為權重時，使用pps抽樣比較恰當。抽樣時具體選用哪種抽樣方法進行抽樣要視應用時的實際情況而定。

另外需要注意的是，在每次對同一個總體進行抽樣的時候，如果種子數沒有指定，或者每次隨機抽取的時候給定的種子數不同，可能得到的抽樣結果不同。在對總體情況進行推斷時，在允許的條件下盡量多抽幾次樣本，對每次抽得樣本的分析結果取平均值來作為總體的估計值。

［1］孫山澤．抽樣調查［M］．北京:北京大學出版社，2012:1-203．

［2］黨輝，郭家鋼．SAS統(tǒng)計軟件的SURVEYSELECT過程在血吸蟲病流行病學抽樣調查中的應用［J］．熱帶病與寄生蟲學．2006，4(2):67-70．

［3］譚志軍，徐勇勇，等．應用SAS和SPSS進行復雜抽樣［J］．中國衛(wèi)生統(tǒng)計，2012，29(1):145-146．

［4］汪海波，等．SAS統(tǒng)計分析與應用——從入門到精通［M］．北京:人民郵電出版社，2011:411-438．

［5］王睿，賀佳．隨機抽樣方法的SAS實現［J］．中國衛(wèi)生統(tǒng)計，2007，24(1):85，93．