彭娟　范周田　黃秋梅

摘要：在高等數(shù)學(xué)教材中，介紹弧微分定義是在給出曲線弧長定義之前，其中用到了曲線弧上兩點(diǎn)非常接近時弧長與弦長之比極限為這一結(jié)論，由于學(xué)生很難理解，本文提出了兩個解決方案。

關(guān)鍵詞：弧長；弦長；第一個重要極限

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）48-0244-02

度量問題是數(shù)學(xué)中一個非常古老的問題，而長度的度量是最常用的。有關(guān)長度的度量都以線段的長度定義為基礎(chǔ)，例如計算平面上一段曲線的弧長，最早也是最直接的方法是用一些直線段來作出和曲線相似的形狀，以直線段的長度代替曲線的弧長。僅憑直覺，關(guān)于曲線的弧長認(rèn)識往往存在偏差，下面是一個典型的例子。

一、一個有趣的錯誤

如圖1，有一個直徑為1的圓C，其長為L，在圓外作一個邊長為1的外切正方形C1，其長為4；然后將正方形的四個角向內(nèi)折，使得直角的頂點(diǎn)接觸圓的邊（見圖2），這時曲線C2的長度仍為4；進(jìn)一步將曲線C2的8個向外突出的直角內(nèi)折，使直角的頂點(diǎn)接觸圓的邊（見圖3），形成的曲線C3長度仍不變。同法，每次將曲線Cn-1的向外突出的直角內(nèi)折，使其直角的頂點(diǎn)接觸圓的邊，得到曲線Cn，其長度一直不變。隨著n的增大，曲線Cn越來越接近曲線C，所以曲線C的長度L=4，由此得到圓周率=圓周長/直徑=4。

上面的做法隱含了這樣一個假設(shè)：如果n趨于無窮時，曲線列Cn趨于曲線C，則曲線列Cn的長趨于曲線C的長。實(shí)際上，這個假設(shè)不成立。下面看一個反例。

二、有關(guān)弧微分和弧長定義的先后順序問題

在多數(shù)《高等數(shù)學(xué)》教材的內(nèi)容安排上，都是先講授一元函數(shù)微分學(xué)，后講積分學(xué)。為了介紹曲率都先給出弧長的微分的定義。

這里試圖給出弧微分公式的推導(dǎo)，但其中用到的弧長與弦長之比趨于1這個暫時無法證明的結(jié)論，反而使得學(xué)生更難以理解，怎么解決大家的疑惑呢？有兩種處理方法。

方法一：給個具體實(shí)例。

在第一個重要極限的證明中，我們做了一個單位圓，如圖8。

由此我們得到了圓周上兩點(diǎn)間距離很小時弧長與弦長之比極限等于1的結(jié)論，這是一個直觀的例子，這有助于學(xué)生的理解。

教師在介紹第一個重要極限時，往往只強(qiáng)調(diào)這個極限在推導(dǎo)正弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式中的作用，從未從幾何上去分析它的實(shí)際意義，在教學(xué)過程中補(bǔ)充幾何意義，即說明了圓周上距離很小的兩點(diǎn)之間弧長與弦長之比極限等于1，這樣會提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

方法二：先給出弧長的嚴(yán)格定義，再介紹弧微分。

弧長的定義默認(rèn)了當(dāng)曲線弧上兩點(diǎn)無限接近時，弧長與對應(yīng)弦長之比極限等于1，有了這個結(jié)論再介紹弧微分的定義就不會有什么困難了。

弧長的定義也說明了第一部分中求圓的周長應(yīng)該利用圓內(nèi)接正多邊形的周長來逼近。

顯然，從邏輯上來說方法二是一個最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖龇?，但是現(xiàn)有的高數(shù)教材都是先介紹弧微分，后來在介紹定積分的應(yīng)用時才引入弧長的定義。這是因?yàn)榍蕦儆趯?dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，討論曲率必須有弧微分的定義；而弧長的計算屬于定積分的應(yīng)用，自然在后來才介紹。

我們以后講弧微分的定義時可以采用第一種方法，給個直觀的例子幫助學(xué)生理解就可以了。

參考文獻(xiàn)：

[1]范周田，張漢林.高等數(shù)學(xué)教程[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.