馬　偉

(常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系，江蘇 常州 213164)

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增長(zhǎng)型年金現(xiàn)值及終值的求解

馬偉

(常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系，江蘇 常州 213164)

摘要：通過(guò)演示計(jì)算，介紹了增長(zhǎng)型年金這一特殊年金的計(jì)算方式，推導(dǎo)出增長(zhǎng)型年金的現(xiàn)值公式和終值公式，并將其運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中.

關(guān)鍵詞：年金;增長(zhǎng)型;現(xiàn)值;終值

判斷年金的兩個(gè)條件，一是收付的時(shí)間間隔相同，二是收付的金額相等.不管是普通年金(后付年金)、預(yù)付年金(先付年金)、遞延年金還是永續(xù)年金，都可以通過(guò)其公式計(jì)算現(xiàn)值[1-2].在實(shí)際生活中，還經(jīng)常遇到這樣的情況：由于物價(jià)水平不斷上漲，某單位實(shí)施獎(jiǎng)金增長(zhǎng)計(jì)劃，今后5年，在第一年年末獎(jiǎng)金為3萬(wàn)元的基礎(chǔ)上，員工每年年底的獎(jiǎng)金以5%的速度增長(zhǎng)，折現(xiàn)率為3%(圖1)，如何求這類情況的現(xiàn)值；反過(guò)來(lái)，如某人實(shí)施一項(xiàng)存款計(jì)劃，第一年年末存款3萬(wàn)元，且每年存款額以5%的速度增長(zhǎng)，連續(xù)存5年，銀行利率為3%(圖2)，如何求5年后該項(xiàng)存款計(jì)劃的本息數(shù)額.

圖1　某單位獎(jiǎng)金增長(zhǎng)計(jì)劃/元Fig.1　A unit bonus growth plan/yuan

圖2　某人存款計(jì)劃/元Fig.2　Somebody’s deposit plan/yuan

此類情況求現(xiàn)值，可以分別將每年年末不等的金額進(jìn)行折現(xiàn)，折現(xiàn)后金額相加，即得到現(xiàn)值. 第1年~第5年的現(xiàn)值PV1~PV5分別為

現(xiàn)值PV為

PV=PV1+PV2+PV3+PV4+PV5=151 397.47.

終值也可以使用這種方法求解.

這種解決方式容易理解，但若期數(shù)較長(zhǎng)(如20期、40期等)，用這種方式解答會(huì)十分繁瑣，而且容易出錯(cuò).是否可以像普通年金、預(yù)付年金等總結(jié)出公式來(lái)解決呢？

從圖1和圖2不難看出，這類情況和普通年金有相似之處，雖然每期的現(xiàn)金流不等，但每期的現(xiàn)金流增長(zhǎng)速度是相等的，并且每期的時(shí)間間隔是相等的，這種情況可以歸納為增長(zhǎng)型年金.以下推導(dǎo)其現(xiàn)值和終值公式.

1增長(zhǎng)型年金現(xiàn)值公式的推導(dǎo)

假設(shè)首期末的現(xiàn)金流為C，每年以g的速度增長(zhǎng)，折現(xiàn)率為r，一共有n期，求現(xiàn)值PV(圖3).

圖3　增長(zhǎng)型年金現(xiàn)值/元Fig.3　Present value of growing annuity/yuan

將每年的現(xiàn)金流折現(xiàn)后相加，

(1)

1)當(dāng)r=g，(1)式可簡(jiǎn)化為(2)式，

(2)

再簡(jiǎn)化為

(3)

(4)

由(1)式+(4)式得

(5)

由此可見(jiàn)，增長(zhǎng)型年金根據(jù)r是否與g相等，可分別使用(3)式或(5)式求解.

3)當(dāng)n為無(wú)限大時(shí)，該年金為永續(xù)增長(zhǎng)型年金，

(6)

2增長(zhǎng)型年金終值公式的推導(dǎo)

如圖4，假設(shè)首年末的現(xiàn)金流為C，每年以g的速度增長(zhǎng)，銀行利率為r，每年一次復(fù)利計(jì)息，一共有n期，那么該情況下，終值FV是多少？

圖4　增長(zhǎng)型年金終值Fig.4　Final value of growing annuity

計(jì)算每年的終值，然后相加得

FV=C(1+g)n-1+C(1+g)n-2(1+r)+…+C(1+g)2(1+r)n-3+

C(1+g)(1+r)n-2+C(1+r)n-1.

(7)

1)當(dāng)r=g，(7)式可簡(jiǎn)化為

FV=C(1+g)n-1+C(1+g)n-1+…+C(1+g)3+C(1+g)2+C(1+g)(共n-1個(gè)),

(8)

再簡(jiǎn)化為

FV=nC(1+g)n-1.

(9)

C(1+g)(1+r)n-2-C(1+r)n-1-C(1+g)-1(1+r)n，

(10)

由(7)式+(10)式得

(11)

3實(shí)例

例140歲的王先生準(zhǔn)備給自己留一份養(yǎng)老保險(xiǎn)，該養(yǎng)老保險(xiǎn)在41歲年末可領(lǐng)取50 000元，并從42歲年末起每年以5%的速度增加，一直可以領(lǐng)取40年，折現(xiàn)率為6%，問(wèn)這筆養(yǎng)老保險(xiǎn)的現(xiàn)值是多少？

解 由題目可見(jiàn)，折現(xiàn)率與增長(zhǎng)率不相等，使用式(5)求解，

PV=1 577 784.48.

例2小王新婚，與妻子商量買(mǎi)房，準(zhǔn)備每年末存3萬(wàn)元，并根據(jù)收入狀況存款每年增加10%，連續(xù)存5年，最后一次性取出，作為購(gòu)買(mǎi)新房的首付款，銀行年利率為3.5%，復(fù)利計(jì)息，這么5年之后這筆存款為多少？

解該題可直接使用(11)式求解，

4小結(jié)

年金是常用的確定金融資產(chǎn)價(jià)值的方法，普通年金、預(yù)付年金、遞延年金在所有的財(cái)務(wù)管理學(xué)教材中均有介紹.在現(xiàn)實(shí)生活中，單純利用普通年金、預(yù)付年金、遞延年金公式解決實(shí)際問(wèn)題的情況很少，只有完全掌握了年金的含義，才能靈活運(yùn)用.

參考文獻(xiàn)

[1]曹惠民.財(cái)務(wù)管理學(xué)[M].上海：立信會(huì)計(jì)出版社，2011.

[2]馬偉.遞延年金求現(xiàn)值教學(xué)方法的探討——高職高專財(cái)務(wù)管理課程難點(diǎn)解析[J].哈爾濱職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014(6)：16.

Solution to Present Value and Final Value of Growing Annuity

MA Wei

(DepartmentofEconomicandTrade,ChangzhouTextileGarmentInstitute,Changzhou213164,China)

Abstract:The calculation of special pension named growing annuity is introduced. The present value formula of growing annuity and the final value formula are deduced and applied to practical problems.

Key words:annuity; type of growing; present value; final value

中圖分類號(hào)：F22

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-0834(2015)02-0049-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.014

作者簡(jiǎn)介：馬偉(1983—)，男，江蘇泰州人，常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系講師、審計(jì)師.

收稿日期：2014-12-22