陳 忠，張憲民，符和超，陳隆生

（1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州510641；2.中國(guó)人民解放軍75752部隊(duì)，廣東 佛山528100）

引 言

傳動(dòng)系統(tǒng)（包括齒輪箱、尾傳動(dòng)軸等）是直升機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的重要組成部件，對(duì)其進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)與振動(dòng)信號(hào)分析是確保直升機(jī)的飛行安全和效能有重要意義［1］。傳統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)分析方法包括基于時(shí)標(biāo)、周期、無(wú)轉(zhuǎn)角傳感的時(shí)域同步平均方法；基于傅里葉變換的功率譜、倒譜和解調(diào)分析的頻域分析方法；基于小波、魏格納（Wigner）、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾葧r(shí)頻域分析方法［1，2］。直升機(jī)啟動(dòng)及變速過(guò)程中包含了豐富的傳動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)信息，以上方法不能很好適應(yīng)變速工況的狀態(tài)特征提取。

朱利民等針對(duì)變速機(jī)械弱時(shí)變響應(yīng)信號(hào)的特征，采用離散頻譜多點(diǎn)平均幅值修正法的理論和方法，改善信號(hào)處理效果［3］。李志農(nóng)等提出了一種結(jié)合雙譜和因子隱Markov模型的因子隱Markov模型狀態(tài)識(shí)別法用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械升降速過(guò)程的故障診斷［4］。Candès等于2006年提出線調(diào)頻小波路徑追蹤方法，利用基于多尺度線調(diào)頻小波（chirplet）及chirp圖的內(nèi)在信息構(gòu)建結(jié)構(gòu)化算法，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)路徑追蹤［5］。彭富強(qiáng)、梅檢民等進(jìn)一步將稀疏信號(hào)分解與線調(diào)頻小波路徑追蹤算法進(jìn)行結(jié)合，提出一種基于多尺度線調(diào)頻基的稀疏信號(hào)分解方法，并把該方法用于時(shí)變信號(hào)的特征提取上［6～8］。本文將采用chirplet匹配追蹤方法實(shí)現(xiàn)直升機(jī)尾傳動(dòng)軸的振動(dòng)信號(hào)稀疏分解與振動(dòng)初步辨識(shí)，在此基礎(chǔ)上提出原子濾波方法建立時(shí)變特征的稀疏分解，并完成尾傳動(dòng)軸某一時(shí)變特征的提取。

1 快速線調(diào)頻小波匹配追蹤算法及原子濾波分解

1.1 快速線調(diào)頻小波匹配最追蹤算法

Mallat和Zhang提出的匹配追蹤算法能夠?qū)崿F(xiàn)一種基于原子字典投影方法的信號(hào)稀疏分解方法［9］。原子字典的選擇和匹配追蹤算法是基于匹配追蹤方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)稀疏分解的關(guān)鍵。用于匹配追蹤算法的原子主要包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、離散余弦函數(shù)等傅里葉基函數(shù)和小波、小波包和克羅內(nèi)克脈沖函數(shù)等時(shí)頻函數(shù)。而線調(diào)頻小波是一種高斯線調(diào)頻函數(shù)，帶有尺度s、平移時(shí)間u、頻率ξ、調(diào)頻斜率c四個(gè)參數(shù)，具有極大的信號(hào)表達(dá)自由度，其原子表達(dá)如下式所示

標(biāo)準(zhǔn)的匹配追蹤算法是一種貪婪的信號(hào)投影分解算法，它通過(guò)遍歷具有冗余特征的原子字典D＝｛gγ，（s，u，ξ，c）記為γ｝，迭代計(jì)算m階分解殘余信號(hào)Rm－1x，直到達(dá)到迭代條件要求，算法具體如下：

1）計(jì)算｜〈Rm－1x，gγ〉｜2，gγ∈D

2）選擇最佳原子

3）更新投影殘余信號(hào)

針對(duì)長(zhǎng)度為N的離散信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)匹配追蹤算法計(jì)算量大（其計(jì)算復(fù)雜度為O（MN2lgN））的缺點(diǎn)，由于chirp字典是Garbor字典的擴(kuò)展，Gribonval［10］采用“脊”追蹤思想，通過(guò)在Garbor字典尋優(yōu)構(gòu)建Garbor子字典Dm，并采用快速估計(jì)方法得到最佳chirp原子。通過(guò)迭代計(jì)算最終得到規(guī)模很小的chirp原子字典，然后采用正則匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)信號(hào)的快速稀疏分解。該快速匹配追蹤算法的計(jì)算復(fù)雜度為O（MN）。

1.2 基于原子篩選的濾波分解

通過(guò)采用快速線調(diào)頻小波匹配追蹤算法可快速實(shí)現(xiàn)復(fù)雜信號(hào)具有4自由度原子的稀疏表達(dá)。但對(duì)于復(fù)雜時(shí)變機(jī)械振動(dòng)信號(hào)來(lái)說(shuō)，還不足以反映機(jī)械設(shè)備振動(dòng)的本質(zhì)特征。為此，提出一種基于快速線調(diào)頻小波匹配追蹤算法的原子篩選濾波分解方法，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)信號(hào)的信號(hào)分解。具體算法如下：

1）對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)x（t）進(jìn)行快速線調(diào)頻小波匹配追蹤投影，得到選擇的原子字典及投影參數(shù)：尺度g′γ.s，幅值g′γ.v，中心頻率g′γ.ξ和調(diào)頻斜率g′γ.c。由此，得到各投影原子在時(shí)頻平面上的幾何框架g′.frame，該幾何框架與其尺度、中心頻率和調(diào)頻斜率有關(guān)。

2）根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)的先驗(yàn)知識(shí)，進(jìn)行基于帶寬與幅值約束的原子初步篩選，更新原子字典D′。篩選的 原 子g′γ.滿 足 條 件：g′γ.v≤Vthresh∪ξ0≤g′γ.ξ≤ξ1。

3）過(guò)濾沖擊特征原子，更新原子字典D′。所過(guò)濾的具有沖擊特征原子g′γm滿足條件：0≤g′γ.s≤2。

4）針對(duì)最新的原子字典D′，采用原子在時(shí)頻平面上的幾何框架的重疊與鄰近原則進(jìn)行聚類，得到所需要的特征原子類Dn，其中∪Dn＝D′，∩Dn＝0，n＝1，2，…，N。

5）去除與原子趨勢(shì)不同的毛刺原子g′γn，更新原子類Dn，并得到其上的信號(hào)投影xn（t）。過(guò)濾的原子滿足的條件是其中i為原子類Dn中的原子序號(hào)；ε為人為設(shè)定的常量；函數(shù)fc（ξ）為原子類Dn中各原子中心頻率的三次樣條擬合線在頻率ξ處的斜率。

通過(guò)以上基于快速線調(diào)頻小波匹配追蹤的原子濾波算法可實(shí)現(xiàn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的自適應(yīng)分解，同時(shí)避免了經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）、小波分解等方法對(duì)帶有沖擊特征信號(hào)分解的能量泄露問(wèn)題。

2 直升機(jī)尾傳動(dòng)軸振動(dòng)辨識(shí)

2.1 直升機(jī)地面振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)

直升機(jī)尾傳動(dòng)軸用于主減速器和尾減速器之間的動(dòng)力傳遞，并形成由通過(guò)法蘭聯(lián)接的多段柔性細(xì)長(zhǎng)軸構(gòu)成的多支承柔軸系統(tǒng)。針對(duì)某型直升機(jī)尾傳動(dòng)軸振動(dòng)測(cè)試分析，建立振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)，如圖1所示。在直升機(jī)尾傳動(dòng)軸靠近尾槳的支承處通過(guò)螺栓安裝壓電加速度傳感器，通過(guò)IOTechZonicbook 618動(dòng)態(tài)分析儀及eZanalyst信號(hào)分析軟件完成振動(dòng)信號(hào)的采集。

圖1 直升機(jī)地面振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)Fig.1 Ground vibration testing system for a helicopter

2.2 尾傳動(dòng)軸啟動(dòng)過(guò)程振動(dòng)分析

直升機(jī)按照正常地面試車過(guò)程從靜止到穩(wěn)態(tài)工作轉(zhuǎn)速。通過(guò)所搭建的振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)完成直升機(jī)尾傳動(dòng)軸的全程振動(dòng)信號(hào)采集。由于動(dòng)態(tài)信號(hào)采集系統(tǒng)的限制，不能連續(xù)采集，因此采取分段全程信號(hào)采集的方法。按時(shí)間順序選擇有代表性的分段采集數(shù)據(jù)，見(jiàn)圖2所示。顯然，s1～s5對(duì)應(yīng)直升啟動(dòng)到穩(wěn)態(tài)運(yùn)行之前階段的振動(dòng)信號(hào)，有明顯的沖擊現(xiàn)象；s6對(duì)應(yīng)直升機(jī)處于穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的振動(dòng)信號(hào)，表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性。

為了更清楚地從時(shí)頻全貌上理解直升機(jī)尾傳動(dòng)軸振動(dòng)的情況，分別對(duì)這6段共19.2s的數(shù)據(jù)進(jìn)行快速線調(diào)頻小波匹配追蹤稀疏分解，各分解為300個(gè)原子的投影。分解的時(shí)頻結(jié)果如圖3，4（a），5（a），6（a），7（a），8所示，圖中幅值單位為dB，用彩色表示（赤橙黃綠青藍(lán)紫，0dB對(duì)應(yīng)最大幅值用紅色表示，－75dB對(duì)應(yīng)最小幅值用紫色表示，黑色為背景色）。

圖2 直升機(jī)尾傳動(dòng)軸全程振動(dòng)信號(hào)Fig.2 Vibration signals of a tail driving shaft of a helicopter in a whole running process

圖3 信號(hào)s1的線調(diào)頻小波匹配追蹤時(shí)頻圖Fig.3 Time－frequency spectrum of signal s1using chirplet matching pursuit method

2.2.1 基本原子特征分析

由于各時(shí)頻結(jié)果顯示的是各高斯chirp原子的時(shí)頻圖的疊加，明確各高斯chirp原子的屬性特性，有助于理解各段振動(dòng)信號(hào)匹配追蹤稀疏分解的時(shí)頻圖的物理意義。高斯chirp原子的主要屬性包括尺度s、幅值v、調(diào)頻斜率c、中心頻率ξ和中心時(shí)間t。當(dāng)原子尺度s較?。?≤s≤2），原子對(duì)應(yīng)的是振動(dòng)沖擊特征，如圖3，4（a），5（a），6（a），7（a），8中的a1原子所示；當(dāng)原子尺度s很大，幾乎是整個(gè)信號(hào)的寬度，同時(shí)調(diào)頻斜率滿足：0≤c≤ε，ε為一極小量，這時(shí)原子對(duì)應(yīng)的是穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如圖8的原子a2所示；當(dāng)原子尺度s較小，時(shí)頻圖上表現(xiàn)為一“斑點(diǎn)”，這時(shí)原子對(duì)應(yīng)為噪聲，如圖3，4（a），7（a），8的原子a3所示；當(dāng)原子調(diào)頻斜率c不為0或極小，時(shí)頻圖上原子為一斜線，表明振動(dòng)信號(hào)有線性調(diào)頻現(xiàn)象，如圖5（a），6（a），7（a）原子a4所示，或者有多段斜線構(gòu)成一趨勢(shì)變化，表明存在復(fù)雜的調(diào)頻現(xiàn)象，如圖7（a）原子a4表示存在具有線性調(diào)頻趨勢(shì)的復(fù)雜調(diào)頻現(xiàn)象；對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械變速工況，如果原子尺度較大，同時(shí)調(diào)頻頻率c滿足：0≤c≤ε，ε為一極小量，這時(shí)該原子表示機(jī)械系統(tǒng)的共振特征，其中心頻率ξ對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的固有頻率，如圖3，5（a），6（a），7（a）的原子a5所示，同時(shí)該原子的中心頻率一致，表明在直升機(jī)的不同啟動(dòng)階段激勵(lì)起靜止結(jié)構(gòu)的共振。

圖4 信號(hào)s2的線調(diào)頻小波匹配追蹤時(shí)頻圖Fig.4 Time－frequency spectrum of signal s2using chirplet matching pursuit method

2.2.2 各變速階段振動(dòng)辨識(shí)

旋翼、尾傳動(dòng)軸和尾槳葉的工作轉(zhuǎn)速分別為350，4 009和3 665r／min，直升機(jī)從開(kāi)車啟動(dòng)到停機(jī)轉(zhuǎn)速變化情況：1）轉(zhuǎn)速?gòu)?～40%（最高轉(zhuǎn)速的40%）由電機(jī)帶動(dòng)，時(shí)間為0～30s；2）轉(zhuǎn)速?gòu)?0%～90%由電機(jī)和發(fā)動(dòng)機(jī)共同帶動(dòng)，時(shí)間大概30s以內(nèi)；3）轉(zhuǎn)速?gòu)?0%～100%由發(fā)動(dòng)機(jī)單獨(dú)帶動(dòng)，時(shí)間10s內(nèi)；4）從最高轉(zhuǎn)速到停車（指發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率為0）大概30s。由于直升機(jī)自由渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)準(zhǔn)確啟動(dòng)過(guò)程、主減速器傳動(dòng)參數(shù)等未知，不能由這些時(shí)頻圖詳細(xì)分析各原子或原子族對(duì)應(yīng)的機(jī)械系統(tǒng)物理特征。但可以通過(guò)提取調(diào)頻斜率為0～ε的水平原子，評(píng)估變速工況下引起的結(jié)構(gòu)有阻尼固有頻率。對(duì)信號(hào)s2～s5的匹配追蹤結(jié)果進(jìn)行原子濾波，設(shè)定調(diào)頻斜率c范圍為0～0.01Hz／s，尺度范圍為256～16 384（以消除噪聲原子，數(shù)值對(duì)應(yīng)采樣數(shù)），分別提取出相應(yīng)的水平原子，如圖4（b），5（b），6（b），7（b）所示（圖中數(shù)字為各原子的中心頻率，單位為Hz）。

圖5 信號(hào)s3的線調(diào)頻小波匹配追蹤時(shí)頻圖Fig.5 Time－frequency spectrum of signal s3using chirplet matching pursuit method

因?yàn)橹鄙龣C(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，存在隨轉(zhuǎn)速變化的歌氏力及復(fù)雜的空氣動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有阻尼固有頻率會(huì)隨轉(zhuǎn)速的變化發(fā)生偏移［11］。因此，采取對(duì)不同提速階段的振動(dòng)信號(hào)辨識(shí)直升機(jī)的有阻尼固有頻率的策略。

（1）信號(hào)s2對(duì)應(yīng)低速變轉(zhuǎn)速下的工況，從圖4（a）可以看出，振動(dòng)信號(hào)集中在0～1 000Hz，因而可以從提取的水平原子分析該階段0～1 000Hz范圍的系統(tǒng)固有頻率成分。從圖4（b）可以得到，827.5～865Hz，230Hz，285Hz，667～682.5Hz對(duì)應(yīng)該階段系統(tǒng)的固有頻率。這些原子尺度大小不一，反映了模態(tài)阻尼不同，振動(dòng)衰減快慢不同。

圖6 信號(hào)s4的線調(diào)頻小波匹配追蹤時(shí)頻圖Fig.6 Time－frequency spectrum of signal s4using chirplet matching pursuit method

（2）信號(hào)s3對(duì)應(yīng)了低中速變速階段的工況，從圖5（a）可以看出，振動(dòng)信號(hào)集中在500～1 500Hz。從提取的水平原子圖（圖5（b））看出，存在570～626 Hz，887～995Hz，1 250～1 330Hz三處系統(tǒng)固有頻率點(diǎn)。隨著轉(zhuǎn)速提高，高階的固有頻率振動(dòng)被短時(shí)激勵(lì)起來(lái)。

（3）信號(hào)s4對(duì)應(yīng)了中速提速段的工況，從圖6（a）可以看出，振動(dòng)信號(hào)集中在500～2 000Hz，并且振動(dòng)主要集中在1 000Hz附近。從提取的水平原子圖（圖6（b））看出，1 020～1 116Hz固有頻率特征特別明顯，這也印證了1 000Hz附近的振動(dòng)量較大的現(xiàn)象。

圖7 信號(hào)s5的線調(diào)頻小波匹配追蹤時(shí)頻圖Fig.7 Time－frequency spectrum of signal s5using chirplet matching pursuit method

（4）信號(hào)s5對(duì)應(yīng)了中高速提速段的工況，從圖7（a）可以看出，振動(dòng)信號(hào)集中在7 00～2 000Hz，表現(xiàn)出兩個(gè)振動(dòng)成分族（700～1 200Hz，1 400～2 000 Hz）。從提取的水平原子圖（圖7（b））看出，存在849，1 081，1 263，1 605～1 620和1 887Hz系統(tǒng)固有頻率。特別是849，1 081，1 263Hz原子尺度較大，反映出該階段在這些頻率點(diǎn)振動(dòng)激勵(lì)的持續(xù)性。

2.2.3 穩(wěn)態(tài)工作階段振動(dòng)辨識(shí)

根據(jù)已知信息，尾傳動(dòng)軸額定轉(zhuǎn)頻為66.8Hz，尾槳葉額定激勵(lì)頻率為671.9Hz（因尾槳葉數(shù)目為11）。根據(jù)圖8尾傳動(dòng)軸穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的分析結(jié)果，圖中原子a2的中心頻率對(duì)應(yīng)尾槳葉激勵(lì)頻率。同時(shí)時(shí)頻圖中明顯存在多條間隔接近66.8Hz的水平原子。為了進(jìn)一步確定，對(duì)信號(hào)s6進(jìn)行希爾伯特解調(diào)譜分析。如圖9所示，存在65Hz峰值，這進(jìn)一步說(shuō)明該階段存在尾傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象。因此，由穩(wěn)態(tài)分析結(jié)果，可以追蹤尾傳動(dòng)軸尾槳葉激勵(lì)頻率的原子軌跡，從而可以深入分析直升機(jī)啟動(dòng)過(guò)程。

圖8 信號(hào)s6的線調(diào)頻小波匹配追蹤時(shí)頻圖Fig.8 Time－frequency spectrum of signal s6using chirplet matching pursuit method

圖9 信號(hào)s6的希爾伯特解調(diào)譜Fig.9 Demodulation spectrum of signal s6using Hilbert method

圖10 信號(hào)s5的線調(diào)頻小波匹配追蹤原子濾波時(shí)頻圖Fig.10 Time－frequency spectrum of signal s5using the atomic filtering

2.3 尾傳動(dòng)軸振動(dòng)特征的路徑追蹤

為追蹤尾傳動(dòng)軸尾槳激勵(lì)振動(dòng)特征，采用基于快速線調(diào)頻小波匹配追蹤的原子濾波算法，分解對(duì)應(yīng)的尾傳動(dòng)軸上的尾槳激勵(lì)振動(dòng)特征原子。根據(jù)尾傳動(dòng)軸全程振動(dòng)信號(hào)的線調(diào)頻小波匹配追蹤的稀疏分解結(jié)果的分析以及尾傳動(dòng)軸已知參數(shù)，按照原子濾波算法的要求，確定濾波頻帶及原子最小幅值閾值，對(duì)振動(dòng)信號(hào)s5，s6進(jìn)行原子濾波篩選，分解后的信號(hào)時(shí)頻投影結(jié)果見(jiàn)圖9，10。很顯然，算法能夠篩選出對(duì)應(yīng)的原子，并濾去了重疊的沖擊特征（如圖7所示）和毛刺原子（如圖8所示）。

圖11 信號(hào)s6的線調(diào)頻小波匹配追蹤原子濾波時(shí)頻圖Fig.11 Time－frequency spectrum of signal s6using the atomic filtering

根據(jù)圖10及相應(yīng)的原子構(gòu)成，可知該段線性特征并不是由一個(gè)原子構(gòu)成，而是由多個(gè)尺度不同的原子構(gòu)成，且其調(diào)頻斜率各不相同，分別是0.73，0.8，50，1.87，1.08，58，15.7，16.5，22，11，81Hz／s等。由圖10可知，其平均線性調(diào)頻斜率為24.5 Hz／s，對(duì)應(yīng)尾傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速變化為133.6r／min／s。這些現(xiàn)象說(shuō)明，在機(jī)師進(jìn)行線性加速的過(guò)程中，實(shí)際的轉(zhuǎn)速存在較大的波動(dòng)，這些波動(dòng)必然會(huì)產(chǎn)生沖擊，引起結(jié)構(gòu)共振。

3 結(jié) 論

（1）提出了一種基于快速線調(diào)頻小波匹配追蹤的原子濾波算法，該算法能夠有效濾除沖擊特征與毛刺原子，克服信號(hào)分解中的混疊。運(yùn)用該算法準(zhǔn)確提取了直升機(jī)尾傳動(dòng)軸的尾槳激勵(lì)振動(dòng)特征。

（2）快速線調(diào)頻小波匹配追蹤算法具有快速、準(zhǔn)確的特點(diǎn)，在直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)（包括尾傳動(dòng)軸）的振動(dòng)監(jiān)測(cè)方面較其他傳統(tǒng)方法有一定優(yōu)勢(shì)。本文運(yùn)用該方法成功辨識(shí)了直升機(jī)尾傳動(dòng)軸的振動(dòng)特征。

［1］ 沈國(guó)際.振動(dòng)信號(hào)處理技術(shù)在直升機(jī)齒輪箱故障診斷中的應(yīng)用［D］.長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2005.SHEN Guoji.Research on vibration signal processing techniques and applications to fault diagnosis of helicopter gearbox［D］.Changsha：National University of Defense Technology，2005.

［2］ Blunt D M，Keller J A.Detection of a fatigue crack in a UH－60Aplanet gear carrier using vibration analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2006，（20）：2 095—2 111.

［3］ 朱利民，鐘秉林，熊有倫.變速機(jī)械弱時(shí)變信號(hào)幅值譜校正的多點(diǎn)平均法［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2001，14（1）：47—52.Zhu Limin，Zhong Binglin，Xiong Youlun.Amplitude correction approach using average of several points in discrete spectrum for analyzing the dynamic signal of rotating machinery with varying speed［J］.Journal of Vibration Engineering，2001，14（1）：47—52.

［4］ 李志農(nóng)，丁啟全，吳昭同，等.旋轉(zhuǎn)機(jī)械升降速過(guò)程的雙譜－FHMM 識(shí)別方法［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2003，16（2）：171—174.Li Zhinong，Ding Qiquan，Wu Zhaotong，et al.Study on bispectrum－FHMM recognition method in speed－up and speed－down process of rotating machinery［J］.Journal of Vibration Engineering，2003，16（2）：171—174.

［5］ Candès E J，Charlton P R，Helgason H.Detecting highly oscillatory signals by chirplet path pursuit［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2008，24（1）：14—40.

［6］ 彭富強(qiáng)，于德介，劉堅(jiān).一種基于多尺度線調(diào)頻基的稀疏信號(hào)分解方法［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2010，23（3）：333—338.Peng Fu－qiang，Yu De－jie，Liu Jian.Sparse signal decomposition method based on multi－scale chirplet［J］.Journal of Vibration Engineering，2010，23（3）：333—338.

［7］ 彭富強(qiáng)，于德介.基于多尺度線調(diào)頻基稀疏信號(hào)分解的軸承故障診斷［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46（7）：88—94.Peng Fu－qiang，Yu De－jie.Sparse signal decomposition method based on multi－scale chirplet and its application to bearing fault diagnosis［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46（7）：88—94.

［8］ 梅檢民，肖云魁，周斌，等.基于FRFT的改進(jìn)多尺度線調(diào)頻基稀疏信號(hào)分解方法［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2013，26（1）：135—142.MEI Jian－min，XIAOYun－kui，ZHOU Bin，et al.Improved multi－scale chirplet sparse signal decomposition method based on Fractional Fourier Transform［J］.Journal of Vibration Engineering，2013，26（1）：135—142.

［9］ Mallat S，Zhang Z.Matching pursuit with time－fre－quency dictionaries［J］.Signal Processing，1993，41（12）：3 397—3 415.

［10］Gribonval R.Fast matching pursuit with a multiscale dictionary of Gaussian chirps［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，2001，49（5）：994—1 001.

［11］Ewins DJ.Modal Testing：Theory，Practice and Application，Second Edition［M］.Baldock，Hertfordshire，England：Research Studies Press Ltd.，2000：80—98.