方圣恩，張秋虎，林友勤，張笑華

（1.福州大學土木工程學院，福建 福州350108；2.合肥工業(yè)大學土木與水利工程學院，安徽 合肥230009）

引 言

過去20年來，有限元模型修正技術已經廣泛應用于參數識別和損傷識別等領域［1，2］。當前絕大多數的模型修正方法都屬于確定性方法，無法考慮結構參數和響應的不確定性，使得實用性大大降低。由于模型誤差、構件幾何尺寸和材料變異性、制造誤差、噪聲等因素的影響，不確定性廣泛存在于實際結構的參數和響應中［3］，是無法回避的問題。因此，為了提高參數識別、損傷識別結果的可靠性，在有限元模型修正過程中結合概率方法進行分析是十分必要的［4］。

工程分析中可以將不確定性分為偶然型不確定性（aleatory uncertainty）和認知型不確定性（epistemic uncertainty）［5］。前者一般指結構或構件由于制造誤差或材料離散性所導致的幾何參數和材料變異性，可以被量化，但無法避免或人為消除；后者源于對結構的認識或測量信息上的不足（比如僅有少量的測量數據），但可以通過補充相關信息來降低甚至消除。在模型修正方面，通過結合概率分析方法可以有效考慮上述不確定性，使得修正結果的可靠性得到大大提高［6］。早期的概率模型修正方法主要針對測量誤差所引起的不確定性，通過最小化測量噪聲的方差來尋求參數均值的最佳估計值［6］。此外，貝葉斯方法的應用可以獲得更加可靠的識別結果［7，8］，雖然修正過程會變得更為復雜、計算量更大。近些年來，采用攝動方法在參數設計點上基于截斷泰勒展開的方式來表示修正方程的各個項，并以此構建概率模型修正（probabilistic model updating）過程，可以有效提高修正效率［9］，因此得到了一定的應用。但概率修正方法的精度依賴于對結構參數和響應概率分布特性的準確估計，要求有大量的測試信息來建立準確的概率分布函數。對大多數工程問題而言，考慮到測試成本和可行性，上述要求往往無法得到滿足。此外，某些情況下參數或響應的上下界（極限值）對工程分析或設計來說更有實際意義，而非關注于具體的概率分布形式。此時可以采用區(qū)間數來表示結構的參數和響應，即構建區(qū)間模型修正（interval model updating）問題［10］。

目前為止，針對區(qū)間模型修正問題的相關研究還非常少。同時由于區(qū)間數運算法則和傳統(tǒng)數學算法非常不同［11］，因此主要還是在確定性框架內進行區(qū)間反向優(yōu)化（interval inverse optimization）問題的求解，并不是真正意義上的區(qū)間優(yōu)化反演過程。對簡單結構而言，可以通過求解區(qū)間線性方程組來估計區(qū)間參數［12］。更常見的辦法是將區(qū)間模型修正問題分解為兩個確定性修正過程，即分別獨立修正參數的上界和下界（或者區(qū)間中值和區(qū)間半徑），以避免區(qū)間數運算可能導致的優(yōu)化困難［13］。此時可以采用一階泰勒展開式來表示結構的特征矩陣，并將區(qū)間模態(tài)參數作為目標響應。當修正得到的響應區(qū)間和實測區(qū)間基本吻合時，即可認為優(yōu)化過程收斂，其間可以采用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法進行求解［14］。值得注意的是，區(qū)間算法的運算過程普遍存在著一個問題，即區(qū)間擴張（intervals overestimation）現象。該問題是由于區(qū)間變量在區(qū)間方程中多次出現所導致的，可以采用頂點法（vertex solution），通過合理組合參數的上下界求解響應區(qū)間［15］。頂點法對求解簡單結構的特征值問題（頻率）非常有效［16］，但其要求結構的剛度和質量矩陣是參數的線性函數。該條件對于復雜結構而言通常無法滿足，因此是頂點法的重要應用缺陷。與此同時，該方法也不能采用特征向量（模態(tài)振型）作為響應，因為此時無法保證參數－響應關系的單調性［17］。因此，有必要尋求一種更為通用的方法求解區(qū)間模型修正問題。此外，區(qū)間模型修正過程的計算效率也值得關注。為了提高修正效率，可以采用元模型（meta－model，如響應面模型和Kriging模型）替代有限元模型，以建立結構參數和響應之間的關系式。然后通過不斷調整參數區(qū)間的大小，并在每個迭代步開始時重構Kriging模型實現修正過程［17］。這種方法具有比頂點法更優(yōu)的通用性，但其修正過程比較復雜且計算量大，不利于在復雜結構問題上的應用。

本文將傳統(tǒng)響應面模型和區(qū)間算法相結合，提出了區(qū)間響應面模型（interval response surface model，縮寫IRSM）的概念，使得區(qū)間模型修正過程中可以直接在IRSM表達式上進行區(qū)間數運算和優(yōu)化計算，避免了將問題分解為數個確定性過程來分別求解，從而大幅提高了修正效率。此外，本文方法對結構參數－響應之間的關系（單調或非單調，線性或非線性）沒有要求，且可以同時采用特征值和特征向量作為目標響應。更重要的是，采用區(qū)間響應面模型不會發(fā)生區(qū)間擴張現象，可以有效提高修正結果的可信度。最后，文中通過一個數值質量－彈簧系統(tǒng)和一組試驗鋼板驗證了所提出方法的可行性和可靠性。

1 區(qū)間響應面模型

1.1 區(qū)間擴張問題

區(qū)間數的運算法則（包括加、減、乘、除）和傳統(tǒng)數學算法非常不同［11］，導致在區(qū)間反問題的求解過程中直接進行區(qū)間運算非常困難，比如計算區(qū)間函數的梯度。因此，當前絕大多數研究仍然在確定性框架下進行求解，并非完全意義上的區(qū)間模型修正。此外，區(qū)間運算過程中的區(qū)間擴張現象始終存在，很大程度上降低了修正結果的可信度。舉例來說，定義函數f（x），g（x）和h（x）如下

可以看到，3個函數從傳統(tǒng)數學理論上來說是完全一樣的，僅表達式不同而已。若將函數中的變量x用區(qū)間數xI＝ ［0，1］表示，此時通過區(qū)間數運算可得

可見3個函數求解得到的區(qū)間值完全不同，其中僅h（x）給出了正確解，而其他2個函數都出現了區(qū)間擴張現象。這是由于x在f（x）和g（x）表達式中出現了2次，在運算過程中被認為是2個獨立變量所造成的。因此，文獻［15］提出了頂點法來解決這個問題。但如前所述，頂點法在復雜問題上的應用有著很大局限性，因此有必要尋求更為通用的求解方法。

1.2 區(qū)間響應面建模

本文將傳統(tǒng)響應面模型和區(qū)間算法相結合，提出了IRSM的概念。傳統(tǒng)的響應面模型實際上是一種顯式的多項式數學表達式，可以將系統(tǒng)的參數x和響應y聯系起來［18］

式中β為常系數，通過對函數近似誤差ε的最小二乘估計來求解；k為參數個數；xi表示參數主效應，xixj表示參數間相互效應。式（3）為2階響應面模型的完整表達式，其對大多數工程問題來說精度可以滿足要求，因而得到了廣泛應用［19］。而在構建IRSM過程中，需要對式（3）進行改造。首先要忽略掉相互效應項，因為大多數情況下，參數間相互效應對響應面模型總方差的貢獻非常小［20，21］，忽略后并不影響模型的精度，反而還能提高求解效率。然后利用配方法將式（3）轉化為完全平方項

這樣可以使表達式中xi僅出現一次，從而在區(qū)間運算過程中避免了區(qū)間擴張現象的出現。最后，將xi用區(qū)間數表示，可以得到

式中 上標I表示區(qū)間數或區(qū)間變量。

式（5）即IRSM的理論表達式。利用該模型可以直接進行區(qū)間運算，以方便地求得響應yI的區(qū)間值，并在優(yōu)化過程進行快速反向求解。

1.3 區(qū)間響應面和傳統(tǒng)響應面的異同

本文提出的IRSM是建立在傳統(tǒng)的2階響應面模型基礎上，通過對后者表達式的變換并引入區(qū)間數，得到IRSM表達式。該表達式的特點是每個區(qū)間參數都僅出現一次，以此有效避免區(qū)間運算過程中的區(qū)間擴張現象。此外，傳統(tǒng)響應面僅能針對實數進行分析，而IRSM可以同時考慮區(qū)間數和實數，即將實數作為“點區(qū)間”來進行運算，這也是IRSM的優(yōu)勢之一?？傮w來說，這兩種響應面類型之間既有聯系，也有區(qū)別，同時二者的應用領域也有所不同。

2 區(qū)間模型修正過程

區(qū)間模型修正過程與傳統(tǒng)的確定性修正有著很大不同，前者需要采用區(qū)間算法來處理區(qū)間變量。除了前述的IRSM，本文提出的區(qū)間模型修正方法還需要考慮的問題包括：1）參數和響應的選?。?）區(qū)間目標函數的建立；3）區(qū)間優(yōu)化算法。

2.1 參數和響應的選取

選擇合適的參數和響應是區(qū)間模型修正成功與否的關鍵一環(huán)。在結構參數方面，一般可以選取代表結構剛度和質量的參數，比如彈性模量、截面慣性矩、材料密度等。在響應的選擇上，可以采用結構的靜動力測量值如撓度、應變、頻率、模態(tài)振型等作為目標響應，其中使用較多的是頻率（特征值）和振型（特征向量）。測量頻率要比振型簡單得多，精度往往也更高。但振型包含了結構的空間信息，對損傷定位來說又是非常必要的，雖然考慮振型會使得區(qū)間模型修正問題變得更為復雜。同時要注意的是，需要根據具體的修正策略和方法來確定響應，比如頂點法就無法采用模態(tài)振型作為響應，這點可以通過理論推導來說明。

特征值對結構質量和剛度矩陣（元素）的偏微分可以表示為［22］：

式中 λ和φ分別表示特征值和特征向量；K和M表示結構的剛度和質量矩陣，其分塊矩陣（或元素）為kj和mj。因為M和K分別為正定和半正定矩陣，所以式（6），（7）的符號在特定參數區(qū)間內不會發(fā)生變化，即滿足單調性條件。因此，特征值區(qū)間的上下界容易通過剛度和質量元素的上下界值組合求得。對特征值而言，其偏微分可以表示為［17］

其中

由式（9）可見，由于λi－λk的正負號會發(fā)生變化，即αik的正負號會發(fā)生變化，使得式（8）的單調性條件無法得到保證。因此，剛度和質量元素的上下界值組合未必對應特征向量區(qū)間的上下界，導致頂點法不適用。但是若采用區(qū)間響應面模型進行修正，則不要求滿足單調性條件，因此可以同時采用特征值和特征向量作為目標響應，這也是本文方法的主要優(yōu)點之一。

2.2 區(qū)間目標函數

區(qū)間模型修正目標函數的構造與傳統(tǒng)的確定性修正問題有所不同，前者不能直接采用區(qū)間響應相對誤差的最小化來求解優(yōu)化問題。舉例來說，數值估計的區(qū)間響應yI＝ ［20 ，30］ 與實測響應區(qū)間＝［20，30］的相對誤差應該為零。但對區(qū)間運算來說并非如此，比如：

由上式可見，在確定性模型修正中常用的目標函數表達式F1和F2，經過區(qū)間運算后，其相對誤差值都不為零，因而不能直接用于區(qū)間模型修正中。有鑒于此，本文提出采用響應yI的上下界和來構建目標函數，即有

式中m表示響應的數目。

2.3 區(qū)間優(yōu)化算法

構造目標函數后，即可以通過最小化F求解區(qū)間優(yōu)化問題

每個迭代步中首先調整參數區(qū)間的大??；然后利用區(qū)間響應面模型快速計算結構響應區(qū)間，并與實測區(qū)間進行對比，若不符合收斂性要求，則重新調整參數區(qū)間大小，再次優(yōu)化；反復進行上述調整直至F值小于預先設置的容差（tolerance），此時迭代過程收斂。要注意的是，優(yōu)化過程要設置約束條件，即參數的下界x不能大于其上界，以保證修正參數區(qū)間的合理性。

在算法實現上，本文采用單目標優(yōu)化方式，函數F中每階響應在優(yōu)化過程中的權重相同，并通過建立線性約束來設置參數變化的界限，最后通過二次規(guī)劃算法求解F最小值的最優(yōu)解。值得一提的是，待修正參數的初始區(qū)間范圍（不確定性大?。┛梢栽O置較大，其對參數區(qū)間的最終估計精度影響很小。同時本文建議一次修正的參數數目不宜過多，因為響應面構建時所需的樣本數會隨著參數數目的增加而呈指數級增長，使得計算量大為增加。同時過多參數也容易導致優(yōu)化過程出現病態(tài)問題，使得優(yōu)化求解無法收斂或者降低了參數區(qū)間估計的精度。

圖1 3自由度質量－彈簧系統(tǒng)Fig.1 Three degree of freedom mass－spring system

3 數值算例

本文首先通過一個數值質量－彈簧系統(tǒng)來驗證所提出的方法，如圖1所示。系統(tǒng)由3個質量塊和6組彈簧組成，其中假定k1，k2，k5為不確定的區(qū)間參數。各參數的真實值或區(qū)間如下所設：

本例中采用系統(tǒng)的3階特征值λ1，λ2，λ3以及第一階特征向量的第一分量絕對值φ（1，1）作為目標響應，對應地建立了4個IRSM，其中f1和φ（1，1）的表達式舉例如下：

可以看到，表達式中的變量均為區(qū)間參數，因此區(qū)間運算可以直接在表達式上進行，以快速計算響應區(qū)間。同時可以基于上述模型，通過反向優(yōu)化過程來估計參數區(qū)間。本例中3個待修正參數的初始區(qū)間設為k1＝k2＝k5＝ ［0.5，1.5］，修正后的結果列于表1。由表1可見，區(qū)間修正后參數的平均誤差由初始的［37.5，25.0］%降低至［0.4，0.3］%，說明參數區(qū)間的估計是非常精確的。圖2為系統(tǒng)特征值和特征向量的收斂圖，可以看到預測的響應區(qū)間和實際區(qū)間吻合良好。由本算例分析結果可知，本文方法可以很好地估計不確定性參數的區(qū)間范圍，并且可以同時采用系統(tǒng)特征值和特征向量作為目標響應，比頂點法的應用范圍更廣。此外，采用區(qū)間響應面模型替代有限元模型，可以快速方便地進行區(qū)間運算，有效地簡化了區(qū)間優(yōu)化問題的復雜程度，并提高了修正效率。

表1 質量－彈簧系統(tǒng)參數區(qū)間估計值Tab.1 Estimated parameter intervals of the mass－springsystem

圖2 質量－彈簧系統(tǒng)響應區(qū)間收斂圖Fig.2 Convergence plots of response intervals of the mass－spring system

4 試驗驗證

為了進一步驗證所提出的方法，本文實測了一組共55塊名義上完全相同的鋼板，如圖3所示。鋼板名義幾何尺寸為600mm（長）×120mm（寬）×3 mm（厚）；名義材料特性為楊氏模量210GPa，剪切模量83GPa，質量密度7 860kg／m3。試驗中在鋼板一端的兩個角部（振幅最大處）各布置一個加速度傳感器，并采用橡皮筋懸掛的方式模擬自由邊界條件。然后對每塊鋼板進行錘擊試驗，同時測量錘擊信號和響應信號，以獲取測點處的頻響函數，并提取鋼板前5階自振頻率，用于區(qū)間參數識別。試驗過程為了盡可能減少人為因素和環(huán)境因素的干擾，所有鋼板都由同一個試驗人員進行測試，采用完全相同的試驗步驟和試驗儀器，并且保證鋼板的自由懸掛點和測試敲擊點也完全相同。同時，試驗在相對恒溫的室內進行，以避免溫差造成的頻率變化。最后，由圖4可見，在最終獲取的鋼板模態(tài)中，第1，2，4階為彎曲模態(tài)，第3，5階為扭轉模態(tài)。

為了進行區(qū)間模型修正，首先采用殼單元建立鋼板的有限元模型，沿鋼板短邊劃分10個單元，長邊劃分30個單元，共得到300個殼單元，如圖4所示。然后根據鋼板的幾何尺寸和材料特性名義值計算得到前5階頻率的區(qū)間中值為44.37，122.89，136.54，242.11及279.80Hz。而對5階模態(tài)振型來說，彎曲模態(tài)主要由鋼板厚度t和楊氏模量E控制；扭轉模態(tài)主要由t和剪切模量G控制。考慮了扭轉模態(tài)后，區(qū)間參數識別的難度增加，更能有效驗證所提出方法的可靠性。

圖3 鋼板錘擊試驗Fig.3 Impact testing of the steel plates

圖4 鋼板有限元模型和振型Fig.4 The FE model and modal shapes of the plates

4.1 參數和響應的選取

本算例選取t，E，G作為待修正參數，主要考慮到：1）鋼板在冷軋制造過程中，厚度t的變異性比長度和寬度大得多，因為切割鋼板的時候長寬容易控制，而軋制過程則很難控制鋼板厚度（僅3mm）的均勻性（見表2所示）。更重要的是，同樣百分比的厚度改變所造成的鋼板頻率變化要比長寬改變所造成的大得多。2）對于鋼材來說，由于材料的均質性，其材料特性是穩(wěn)定的。但加工工藝等因素可能會導致鋼板的材性呈現不均勻變化。

表2 厚度參數區(qū)間估計值Tab.2 Interval estimations of the thickness parameters

此外，考慮到頻率的測量精度相對較高，本例中選取鋼板的前5階頻率作為目標響應。由表3可見，對此類均質鋼板來說，頻率的不確定性很小，體現在實測頻率的小區(qū)間范圍上，因而對區(qū)間模型修正具有一定的難度。

表3 鋼板頻率區(qū)間修正值（厚度）Tab.3 Frequency intervals of the steel plates（thickness）

4.2 厚度t的區(qū)間識別

首先識別厚度t的區(qū)間范圍。為了提高識別精度，將t沿板長邊方向分為3個等分區(qū)域t1，t2和t3。試驗前對每個區(qū)域的厚度用高精度千分尺測量2次并取平均值，進而得到55塊鋼板的厚度區(qū)間為t1＝ ［2.936，2.987］mm，t2＝ ［2.942，2.987］mm，t3＝ ［2.932，2.994］mm。

為了建立區(qū)間響應面模型并進行修正，t1，t2，t3的初始區(qū)間均設為［2.8，3.1］mm，然后對應于5階頻率分別建立了5個IRSM。以第1階為例，其表達式如下

最后通過區(qū)間修正估計的參數區(qū)間值列于表2。由修正結果可見，厚度的估計值非常接近于實測值，絕對平均誤差由初始的［4.6，3.7］%降至［0.9，0.4］%，說明區(qū)間優(yōu)化過程沒有發(fā)生區(qū)間擴張現象，修正精度高。此外，修正后的頻率區(qū)間誤差（見表3所示）也由初始的［4.2，4.0］%降低至［0.7，0.8］%，說明區(qū)間優(yōu)化過程是收斂的，如圖5所示。

圖5 鋼板頻率區(qū)間收斂圖（厚度參數）Fig.5 Convergence plots of frequency intervals of the steel plates（thickness parameters）

4.3 材料參數的區(qū)間識別

本算例同時對材料參數E，G的區(qū)間值進行了識別，即認為鋼板頻率的不確定性主要由材料參數的變異性所引起的。試驗中不可能對所有鋼板進行取樣，因此僅對幾塊鋼板材料試樣進行了單向拉伸試驗，并根據試驗結果設置了E，G的初始區(qū)間分別為E＝ ［190，220］GPa，G＝［77，89］GPa。隨后建立了前5階頻率的IRSM，其中第1階的表達式舉例如下

經過區(qū)間修正得到E，G的區(qū)間估計值分別為E＝［196.5，203.6］GPa，G＝［79.5，83.4］GPa，比初始區(qū)間大為縮小。二者的區(qū)間中值分別為200.1 GPa和81.5GPa，屬于鋼材材料特性的合理值，說明參數識別結果是合理的。修正后的頻率區(qū)間誤差（如表4所示）也由初始的［1.9，4.1］%降低至［0.4，0.2］%，說明區(qū)間優(yōu)化過程是收斂的，如圖6所示。

表4 鋼板頻率區(qū)間修正值（材料參數）Tab.4 Frequency intervals of the steel plates（material properties）

圖6 鋼板頻率區(qū)間收斂圖（材料參數）Fig.6 Convergence plots of frequency intervals of the steel plates（material parameters）

5 結 論

目前在模型修正領域，針對不確定性參數的非概率識別方法還很少，特別是基于區(qū)間分析的相關研究。本文將響應面模型和區(qū)間算法相結合，提出了區(qū)間響應面模型的概念，用于簡化區(qū)間模型修正過程，以避免區(qū)間擴張問題并提高修正效率。所提出的方法可以精確識別一個數值質量－彈簧系統(tǒng)的彈簧剛度區(qū)間范圍，同時也能很好地識別出一組試驗鋼板的幾何及材料參數的變異性區(qū)間。本文的研究可以得到以下結論：

1）利用IRSM可以快速、方便地估計結構響應的區(qū)間，同時還有利于區(qū)間優(yōu)化反問題的求解，避免了區(qū)間擴張現象和參數靈敏度的計算，大幅簡化了優(yōu)化過程并提高了修正效率。

2）區(qū)間響應面模型修正過程可以同時采用特征值和特征向量作為目標響應，不要求參數－響應的單調性關系，因此比頂點法的應用范圍更廣泛。

3）區(qū)間響應面模型修正所需的目標函數可以根據響應的上下界建立，而非直接采用區(qū)間數，以此避免區(qū)間運算導致的誤差。

4）所提出的方法為區(qū)間模型修正技術提供了一個新的問題解決途徑。

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