張學(xué)良，陳永會，溫淑花，蘭國生，丁紅欽，王南山，張宗陽

（1.太原科技大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原030024；2.東南大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 南京211100；

3.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院，陜西 西安710049；4.徐州徐工基礎(chǔ)工程機械有限公司，江蘇 徐州221004）

引 言

機械結(jié)構(gòu)都是組合結(jié)構(gòu)，其中包含了各種各樣的結(jié)合面，結(jié)合面的存在使得機械結(jié)構(gòu)不再具有連續(xù)性，導(dǎo)致了其結(jié)構(gòu)靜動態(tài)特性的復(fù)雜性。結(jié)合面的接觸剛度常常是機械結(jié)構(gòu)整體剛度的重要組成部分，如對機床結(jié)構(gòu)而言，其結(jié)合面的接觸剛度約占機床總剛度的60%～80%［1］。關(guān)于結(jié)合面接觸剛度的研究［3～6，9～10，12～14］，往 往 僅 考 慮 了 結(jié) 合 面 微 凸 體彈性接觸變形和塑性接觸變形兩個階段，而忽略了微凸體的彈塑性接觸變形。文獻［2，18］分別首先提出了粗糙表面接觸的三維和二維接觸分形模型；文獻［3，4］最早建立了結(jié)合面法向接觸剛度分形模型，在此基礎(chǔ)上，文獻［4］研究建立了考慮微接觸域擴展因子影響的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型，之后，文獻［7，9，10，12～14］再次對結(jié)合面法向接觸剛度模型進行了改進，但都沒有考慮彈塑性接觸變形，而僅僅考慮了彈性接觸變形和塑性接觸變形。文獻［15］提出了包含彈性變形、彈塑性變形和塑性變形情況下的接觸模型，但該模型對于彈塑性變形區(qū)間的預(yù)估不夠精確，與文獻［16］有限元分析結(jié)果存在較大誤差。文獻［7，8，11］基于文獻［16］關(guān)于彈塑性變形階段的分析結(jié)果，在考慮結(jié)合面微凸體彈性變形、彈塑性變形和塑性變形的基礎(chǔ)上，分別建立了結(jié)合面法向接觸剛度和靜摩擦因數(shù)的統(tǒng)計模型，并通過仿真分析揭示了結(jié)合面微觀形貌對結(jié)合面法向接觸剛度和靜摩擦因數(shù)的影響規(guī)律。但是，法向接觸剛度統(tǒng)計模型中的粗糙表面統(tǒng)計參數(shù)與取樣長度和測試儀器的分辨率有關(guān)，不具有客觀唯一確定性。鑒于此，本文基于接觸分形理論和MB模型及文獻［16］的彈塑性接觸變形機制，綜合考慮結(jié)合面微凸體的彈性接觸變形、塑性接觸變形和彈塑性接觸變形的兩個不同階段，建立了結(jié)合面法向接觸剛度的分形模型，并通過仿真揭示了彈塑性接觸變形機制及相關(guān)參數(shù)對結(jié)合面法向接觸剛度的影響，進而應(yīng)用實驗實例驗證了該模型的正確可信性。該模型的特點是具有尺度獨立性，綜合考慮了結(jié)合面微凸體的彈性接觸變形、塑性接觸變形和彈塑性接觸變形的兩個不同階段，因此更加符合結(jié)合面實際接觸情況，具有較高的計算精度。

1 結(jié)合面微凸體接觸變形機制

結(jié)合面是由兩個粗糙表面接觸形成，通常將兩粗糙表面的接觸簡化為一粗糙表面和一剛性平面的接觸，對于粗糙表面的單個微凸體，將其等效為半球體，其等效曲率半徑為R，如圖1（a）所示。當(dāng)在法向載荷p作用下，接觸區(qū)域半徑為r，法向接觸變形為δ，如圖1（b）所示。

圖1 等效微凸球體和剛性平面接觸前后狀態(tài)Fig.1 The two states of the equivalent microcontact sphere against a rigid flat plane before and after contact

1.1 微凸體彈性接觸變形階段

當(dāng)微凸體的接觸變形在完全彈性變形范圍時，根據(jù)Hertz理論，球體接觸變形量為δ時，單個微凸體的圓形接觸面積ae和法向接觸載荷Fe分別為

式中E為復(fù)合彈性模量，，E2為兩接觸材料的彈性模量；ν1，ν2為兩接觸材料的泊松比。

1.2 微凸體彈塑性變形階段

文獻［16］利用有限元法對微凸體彈塑性變形階段進行了分析，當(dāng)微凸體變形量大于彈性臨界變形量δc時，開始發(fā)生屈服現(xiàn)象，微凸體即進入彈塑性變形區(qū)域，彈性臨界變形量δc可表示為［17］

式中H為較軟材料的硬度，對于大部分延性材料，硬度和屈服強度Y之間關(guān)系為H＝2.8Y；根據(jù)文獻［17］，硬度系數(shù)K和較軟材料的泊松比ν之間的關(guān)系為K＝0.454＋0.41ν。

根據(jù)文獻［16］的研究結(jié)果，彈塑性變形區(qū)域的范圍介于δc≤δ≤110δc，并將彈塑性區(qū)域進一步劃分為兩個區(qū)域，變形量在δc≤δ≤6δc范圍內(nèi)，屈服區(qū)域都發(fā)生在接觸面下方，而當(dāng)變形量隨載荷逐漸增加時，接觸面下方的屈服區(qū)域逐漸擴大。當(dāng)變形量為δ＝6δc時，屈服區(qū)域由接觸面下方擴大至接觸表面。當(dāng)變形量為δ＝68δc時，屈服區(qū)域擴大至整個接觸表面。但當(dāng)平均接觸壓力仍小于材料的硬度，當(dāng)變形量增加至δ＝110δc時，平均接觸壓力才等于硬度。所以當(dāng)變形量達(dá)到彈性臨界變形量δc的110倍，即δp＝110δc時，微凸體才進入完全塑性變形區(qū)域。有限元分析結(jié)果，得到微凸體彈塑性變形階段的接觸載荷、接觸面積和變形量之間的關(guān)系為［16］：

當(dāng)δc≤δ≤6δc時，

當(dāng)6δc≤δ≤110δc時，

1.3 微凸體塑性變形階段

當(dāng)微凸體的變形量δ＞δp＝110δc時，進入完全塑性變形階段，微凸體的接觸面積和法向接觸載荷可以分別表示為：

2 結(jié)合面微凸體彈塑性接觸變形模型

2.1 結(jié)合面接觸分形基本理論

結(jié)合面微接觸點的面積分布密度函數(shù)為［18］

式中al為最大微接觸點的面積，D為粗糙表面的分形維數(shù)。

根據(jù)文獻［2，12］，結(jié)合面微凸體的變形量為

式中G為粗糙表面的分形粗糙度參數(shù)，α為大于1的常數(shù)，對于服從正態(tài)分布的隨機表面，α＝1.5較符合高頻密度和相位隨機的情況。

根據(jù)微凸體變形量與曲率半徑之關(guān)系，微凸體曲率半徑為［2，12］

當(dāng)δ＝δc時，相應(yīng)的接觸面積即為臨界接觸面積ac，且

2.2 結(jié)合面微凸體接觸載荷與接觸剛度模型

將式（11）和（12）代入式（2）中，得微凸體在彈性接觸變形階段的接觸載荷為

因此，單個微凸體在彈性接觸變形階段的法向接觸剛度為

將式（3），（11）和（12）代入式（5）中，得微凸體在彈塑性接觸變形第一階段的接觸載荷為

因此，單個微凸體在彈塑性接觸變形第一階段的法向接觸剛度為

將式（3），（11）和（12）代入式（7）中，得微凸體在彈塑性接觸變形第二階段的接觸載荷為

因此，單個微凸體在彈塑性接觸變形第二階段的法向接觸剛度為

3 考慮彈塑性接觸變形機制的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型

結(jié)合面的真實接觸面積包括處于完全彈性接觸真實接觸面積、處于完全塑形接觸真實接觸面積和處于彈塑性接觸變形第一階段的真實接觸面積及處于彈塑性接觸變形第二階段的真實接觸面積，即

將式（10）代入（20），則

當(dāng)結(jié)合面上的微凸體的法向接觸變形量δ≥110δc時，將處于完全塑性變形范圍，即當(dāng)接觸變形處于彈性和彈塑性階段的微凸體才存在法向接觸剛度。

因此，結(jié)合面的法向接觸剛度為

將式（10），（15），（17）和（19）代入式（22）中，得

結(jié)合面法向總載荷與結(jié)合面真實接觸面積之間的關(guān)系為

當(dāng)1＜D＜2，且D≠1.5時

當(dāng)D＝1.5時

將式（23），（25）和（26）無量綱化，得

當(dāng)D≠1.5時

當(dāng)D＝1.5時

以上即為綜合考慮彈塑性接觸變形機制（即彈性接觸變形、彈塑性接觸變形第一階段和第二階段、塑性接觸變形）的結(jié)合面法向接觸載荷和法向接觸剛度分形模型，且法向接觸剛度與法向接觸載荷之間存在復(fù)雜的非線性關(guān)系。

需要指出的是，本文是將結(jié)合面（兩粗糙表面接觸）等效為一粗糙表面與一剛性平面的接觸，因此上述相關(guān)式中涉及到的參數(shù)D和G實質(zhì)上是等效粗糙表面的參數(shù)，其確定方法參見文獻［5，13］。

4 結(jié)合面法向接觸剛度分形模型的仿真及結(jié)果分析

4.1 仿真及結(jié)果

給定一固定的無量綱真實接觸面積A＊r，便可以計算得到無量綱法向總載荷P＊和無量綱法向接觸剛度K＊n。一般工程表面的塑性指標(biāo)范圍在0.7～2.5之間，所以給定φ分別為2.5，1.5和0.7，G＊分別為10－9，10－10和10－11，D分別取1.1～1.9，仿真計算結(jié)果如圖2～5所示，其中圖2中的“elastic and plastic”是指文獻［3］中僅考慮彈性和塑性變形機制的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型的仿真計算結(jié)果，“elastoplastic”是指本文提出的考慮彈塑性接觸變形機制的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型的仿真計算結(jié)果，其余圖中的仿真結(jié)果數(shù)據(jù)均由本文提出的模型仿真計算獲得。

圖2 K＊n隨P＊的變化規(guī)律（G＊＝1.0×10－10，φ＝1.5）Fig.2 Change curves of K＊nwith P＊（G＊＝1.0×10－10，φ＝1.5）

圖3 D對K＊n的影響曲線（G＊＝1.0×10－10，φ＝1.5）Fig.3 Influence curves of Don K＊n（G＊＝1.0×10－10，φ＝1.5）

圖4 G＊對Kn＊ 的影響曲線（φ＝1.5）Fig.4 Influence curves of G＊on Kn＊ （φ＝1.5）

圖5 φ對Kn＊ 的影響曲線（G＊＝1.0×10－10）Fig.5 Influence curves ofφon Kn＊（G＊ ＝1.0×10－10）

4.2 仿真結(jié)果分析

（1）從圖2（a）～（i）可以看出，綜合考慮彈塑性接觸變形機制的結(jié)合面無量綱法向接觸剛度K＊n大于僅考慮彈性和塑性變形機制的結(jié)合面無量綱法向接觸剛度值?？梢姡瑥椝苄越佑|變形機制對結(jié)合面無量綱法向接觸剛度影響很明顯。當(dāng)分形維數(shù)D＝1.1～1.4時，結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著無量綱法向總載荷的增大而增大，且表現(xiàn)出較強的非線性關(guān)系；而當(dāng)分形維數(shù)D＝1.4～1.9時，二者之間的非線性關(guān)系逐漸弱化并接近直線關(guān)系。

（2）從圖3（a），（b）及（b），（c）可以分別看出，當(dāng)分形維數(shù)D＝1.1～1.6時，結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著分形維數(shù)D的增大而增大；而當(dāng)分形維數(shù)D＝1.6～1.9時，結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著分形維數(shù)D的增大而減小。

（3）基于上述分析結(jié)果，這里分別選取了兩個代表性的分形維數(shù)值，即D＝1.3，1.7，從相應(yīng)的仿真結(jié)果圖4（a），（b）和5（a），（b）可以分別看出，結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著分形粗糙度G＊的增大而減小，卻隨著塑性指數(shù)φ的增大而增大。

5 結(jié)合面法向接觸剛度分形模型的實驗實例驗證

這里借助文獻［13］的結(jié)合面實驗裝置——啞鈴模型及其實驗數(shù)據(jù)，對本文所建立的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型進行間接驗證。

啞鈴模型結(jié)合面的配對表面分別為HT250表面和45號鋼表面，其中 HT250表面參數(shù)為［13］：彈性模量E1＝116GPa，泊松比υ1＝0.27，密度ρ1＝7 340kg／m3，屈服強度σy1＝240MPa，硬度H1＝700MPa；45號鋼表面參數(shù)為［13］：彈性模量E2＝205GPa，泊松比υ2＝0.3，密度ρ2＝7 833kg／m3，屈服強度σy2＝353MPa，硬度H2＝500MPa。結(jié)合部的2個重要分形表征參數(shù)為［13］：D＝1.4241，G＝2.9820×10－10m。

每個螺栓的擰緊力矩分別控制為［13］：30，60，90N·m。

根據(jù)上述參數(shù)，應(yīng)用本文提出的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型，可以分別計算得到三種預(yù)緊面壓下的結(jié)合面法向接觸剛度，與之相應(yīng)的結(jié)合面切向接觸剛度由文獻［5］中的模型3計算得到。

將計算得到的法向和切向接觸剛度以彈簧單元的等效模式嵌入到啞鈴模型整體的有限元模型中。啞鈴模型整體的有限元模型總共有5 100個單元、6 360個節(jié)點，其中彈簧單元108個，如圖6所示。

圖6 啞鈴模型有限元模型及結(jié)合面單元Fig.6 Finite element modeling and joint element of dumbbell

結(jié)合面的兩接觸面上各自對應(yīng)均布36個節(jié)點，各對應(yīng)節(jié)點之間嵌入3個COMBIN14單元（x，y，z三個方向，其剛度值即為上述所求得的相應(yīng)的結(jié)合面接觸剛度的 1／36）。根據(jù)文 獻 ［13］，實驗裝置——啞鈴模型為自由狀態(tài)，因此將有限元模型的邊界條件設(shè)置為自由狀態(tài)。對有限元模型進行自由模態(tài)分析，得到前6階模態(tài)振型及相應(yīng)的固有頻率，按照振型相似，模態(tài)固有頻率定量比較的原則，表1給出了計算固有頻率與文獻［13］實驗固有頻率的比較。文獻［13］和本文的計算結(jié)果均表明，啞鈴模型的前6階振型分別為繞z軸旋轉(zhuǎn)（1階）、繞y軸旋轉(zhuǎn)（2階）、繞x軸旋轉(zhuǎn)（3階）、沿x軸平動（4階）、沿y軸平動（5階）、沿z軸平動（6階）。顯然，繞y軸旋轉(zhuǎn)（2階）、繞x軸旋轉(zhuǎn)（3階）和沿z軸平動（6階）的三個模態(tài)與結(jié)合面法向接觸剛度關(guān)系密切，而本文關(guān)于這三個模態(tài)頻率的計算結(jié)果的相對誤差的絕對值除了第3階稍大于文獻［13］的結(jié)果外，其他兩階均明顯小于文獻［13］的結(jié)果，且本文相對誤差均為負(fù)值，而文獻［13］關(guān)于這三階計算結(jié)果的相對誤差有正有負(fù)，是不太合理的。其他三階模態(tài)與結(jié)合面切向接觸剛度關(guān)系密切，本文結(jié)果與文獻［13］的比較這里不再多述。

可見，基于本文所提出的模型計算結(jié)合面的法向接觸剛度進而用于進行啞鈴模型的模態(tài)計算具有較高的計算精度，說明該模型是正確可信的，同時也具有較高的精度。

表1 計算固有頻率與實驗固有頻率的比較Tab.1 Comparison of the computed and experimental natural frequencies

6 結(jié) 論

（1）基于接觸分形理論及MB模型，綜合考慮結(jié)合面微凸體接觸變形所處的彈性接觸變形、塑性接觸變形和彈塑性接觸變形的兩個不同階段，建立了結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。

（2）彈塑性接觸變形機制對法向接觸剛度影響明顯，且考慮彈塑性接觸變形機制的結(jié)合面法向接觸剛度大于僅考慮彈性和塑性接觸變形機制所對應(yīng)的法向接觸剛度。

（3）結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著無量綱法向接觸載荷的增大而增大，且分形維數(shù)取值不同而呈較強的非線性關(guān)系（D＝1.1～1.4）或近似線性關(guān)系（D＝1.4～1.9）；結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著分形維數(shù)增大而增大（分形維數(shù)D＝1.1～1.6）或者減?。ǚ中尉S數(shù)D＝1.6～1.9）；結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著無量綱分形粗糙度的增大而減小，而隨著塑性指數(shù)的增大而增大。

（4）實驗實例驗證說明了考慮彈塑性變形機制的結(jié)合面法向接觸剛度模型是正確可信的，具有較高的計算精度。

［1］ 張學(xué)良.機械結(jié)合面動態(tài)特性及應(yīng)用［M］.北京：中國科技出版社，2002.Zhang Xueliang.Dynamic Characteristics of Machine Joint Surfaces and Its Applications［M］.Press of Science and Technology of China，Beijing，2002.

［2］ Yan W，Komvopoulos K.Contact analysis of elasticplastic fractal surfaces［J］.J.Appl.Phys.，1998，（84）：3 617—3 624.

［3］ 張學(xué)良，黃玉美，傅衛(wèi)平，等.粗糙表面法向接觸剛度的分形模型［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2000，17（2）：31—35.Zhang Xueliang，Huang Yumei，F(xiàn)u Weiping，et al.Fractal model of normal contact stiffness between rough surfaces［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，2000，17（2）：31—35.

［4］ 張學(xué)良，黃玉美，韓穎.基于接觸分形理論的機械結(jié)合面法向接觸剛度模型［J］.中國機械工程，2000，11（7）：727—729.Zhang Xueliang，Huang Yumei，Han Ying.Fractal model of the normal con tact stiffness of machine joint surfaces based on the fractal contact theory［J］.Chinese Mechanical Engineering，2000，11（7）：727—729.

［5］ 溫淑花，張宗陽，張學(xué)良，等.固定結(jié)合面剛度分形模型［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2013，44（2）：255—260.Wen Shuhua，Zhang Zongyang，Zhang Xueliang，et al.Stiffness fractal model for fixed joint interfaces［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery.2013，44（2）：255—260.

［6］ 溫淑花，張學(xué)良，武美先，等.結(jié)合面法向接觸剛度分形模型建立與仿真［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2009，40（11）：197—202.Wen Shuhua，Zhang Xueliang，Wu Meixian，et al.Fractal model and simulation of normal contact stiffness of joint interfaces and its simulation［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2009，40（11）：197—202.

［7］ 尤晉閩，陳天寧.結(jié)合面靜態(tài)接觸參數(shù)的統(tǒng)計模型研究［J］.振動與沖擊，2010，29（11）：47—50.You Jinmin，Chen Tianning.Statistical model for static contact parameters of joint surfaces［J］.Journal of Vibration and Shock.2010，29（11）：47—50.

［8］ 尤晉閩，陳天寧.結(jié)合面靜摩擦系數(shù)的統(tǒng)計模型［J］.振動與沖擊，2010，29（12）：26—29.You Jinmin，Chen Tianning.Statistical model of static friction coefficient between joint surfaces［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29（12）：26—29.

［9］ 尤晉閩，陳天寧.基于分形接觸理論的結(jié)合面法向接觸參數(shù)預(yù)估［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報，2011，45（9）：1 275—1 280.You Jinmin，Chen Tianning.Estimation for normal parameters of joint surfaces based on fractal theory［J］.Journal of Shanghai Jiao Tong University，2011，45（9）：1 275—1 280.

［10］尤晉閩，陳天寧.結(jié)合面法向動態(tài)參數(shù)的分形模型［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報，2009，43（9）：91—94.You Jinmin，Chen Tianning.Fractal model for normal dynamic parameters of joint surfaces［J］.Journal of Shanghai Jiao Tong University，2009，43（9）：91—94.

［11］You J M，Chen T N.Statistical model for normal and tangential contact parameters of rough surface［J］.Proc.I Mech E，225（Part C）：171—185.

［12］Shuyun Jiang，Yunjian Zheng.A contact stiffness model of machined joint surfaces［J］.Journal of Tribology，Transactions of ASME，2010，（132）：1—7.

［13］田紅亮，趙春華，朱大林，等.金屬材料結(jié)合部法切向剛度修正與實驗驗證［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2012，43（6）：207—214.Tian Hongliang，Zhao Chunhua，Zhu Dalin，et al.Modification of normal and tangential stiffness for joint interface with metallic material and experimental validation［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2012，43（6）：207—214.

［14］Tian H L，Li B，Liu H Q，et al.A new method of virtual material hypothesis－based dynamic modeling on fixed joint interface in machine tools［J］.International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2011，51（3）：239—249.

［15］Zhao Y W，Maietta D M，Chang L.An asperity microcontact model incorporating the transition from elastic deformation to fully plastic flow［J］.ASME Journal of Tribology，2000，122（1）：86—93.

［16］Kogut L，Etsion I.Elastic－plastic contact analysis of a sphere and a rigid flat［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，2002，69（5）：657—662.

［17］Chang W R，Etsion I，Bogy D B.An elastic－plastic model for the contact of rough surfaces［J］.ASME J.Tribol，1988，101（1）：15—20.

［18］Mjumdar A，Bhushan B.Fractal model of elastic－plastic contact between rough surfaces［J］.J.Tribol.，1991，（113）：1—11.