孫健，王翠芳..天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津300350

應(yīng)用型本科線性代數(shù)教學(xué)模式的探索——基于MATLAB在解方程組中應(yīng)用實(shí)踐的分析

孫健1，王翠芳2
1.2.天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津300350

MATLAB以其理論簡單、方便實(shí)用、易于編程等特點(diǎn)受到廣大師生的推崇，將MATLAB軟件引入到方程組求解的教學(xué)中，一方面，可以幫助學(xué)生加深對知識(shí)的理解；另一方面，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，更多的讓學(xué)生參與實(shí)際教學(xué)，從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)的興趣，達(dá)到學(xué)有所用，學(xué)以致用的目的。因此，將MATLAB引入到線性代數(shù)的教學(xué)中已經(jīng)成為應(yīng)用型本高校線性代數(shù)教學(xué)課程改革的趨勢。

應(yīng)用型本科；MATLAB；線性代數(shù)；方程組的解

一、前言

2014年教育部頒布了關(guān)于地方本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展的指導(dǎo)意見（征求意見稿），標(biāo)志著中國部分本科高校向應(yīng)用型本科院校轉(zhuǎn)型的開始，隨著示范點(diǎn)的不斷增多，作為工程學(xué)的核心數(shù)學(xué)課程——線性代數(shù)也面臨著教學(xué)的調(diào)整和改革，改革的方式一般是加入更多的教學(xué)輔助工具，思路通常是將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入線性代數(shù)課程的教學(xué)過程中，再結(jié)合一些數(shù)學(xué)軟件的使用讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的同時(shí)，掌握一門能夠解決實(shí)際問題的工具，進(jìn)而體現(xiàn)出應(yīng)用型本科院校本科生以“應(yīng)用為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生為主導(dǎo)”的特點(diǎn)。

在眾多的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件中MATLAB以其理論簡單、方便實(shí)用、易于編程等特點(diǎn)受到廣大師生的推崇，特別是近些年來隨著全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的飛速發(fā)展，更是將學(xué)習(xí)熱情推向了高潮，因此將MATLAB引入到線性代數(shù)的教學(xué)中已經(jīng)成為應(yīng)用型本科高校線性代數(shù)教學(xué)課程改革的一種趨勢。將MATLAB軟件應(yīng)用到線性代數(shù)課程的教學(xué)中既能加深學(xué)生對理論知識(shí)的理解，又能突出該學(xué)科與數(shù)學(xué)建模、微分方程、數(shù)值優(yōu)化等課程的聯(lián)系，提高學(xué)生的參與度，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，達(dá)到“學(xué)有所用，學(xué)以致用”的教學(xué)理念。

二、MATLAB軟件的相關(guān)命令

常用的MATALB軟件命令表

三、MATLAB軟件在方程組求解中的應(yīng)用

1.MATLAB在齊次方程組求解的應(yīng)用

例1：求解線性方程組

解：在MATLAB命令窗口輸入程序：

A=[1-1 0 2-2；1 0 1 2 0；1 1-1 1-1；1 2 0 0 -2]；

r=rank（A），%求系數(shù)矩陣的秩

y=null（A，′r′）%求齊次方程組的基礎(chǔ)解系

output：r=4，y=（6-2 0-3 1）T

結(jié)果分析：（1）系數(shù)矩陣的秩rank（A）=4＜5（未知數(shù)的個(gè)數(shù)），說明該齊次方程組有非零解，并且基礎(chǔ)解系中有一個(gè)列向量；（2）通過null（A，′r′）命令得到了該齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

2.MATLAB在解非齊次方程組的應(yīng)用

（1）非齊次線性方程組解的存在性定理：

若系數(shù)矩陣的秩（rank（A））增廣矩陣的秩（rank（B）），則該方程組無解。

例2：求解線性方程組

解：在MATLAB命令窗口運(yùn)行以下命令：

A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；2 1-4 2]；%系數(shù)矩陣

b=[1；2；-1；0]；%常數(shù)列向量

B=[A b]；%增廣矩陣

rank（A），rank（B）%系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩

x0=A/b%求該方程組的一個(gè)特解

output：rank（A)=3，rank（B）=4，

Warning：Matrix is sin gular to working precision

x0=（NaN Inf Inf Inf）T。

結(jié)果分析：rank（A）≠rank（B），故該非齊次線性方程組無解。

（2）非齊次線性方程組解的存在性定理：

若系數(shù)矩陣的秩 （rank（A））=增廣矩陣的秩（rank（B））=未知數(shù)個(gè)數(shù)，則該方程組有唯一解。

例3：求解線性方程組

解：借助MATLAB軟件求解，具體程序如下：

A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；1 1-2-2]；b=[1；2；-1；0]；B=[A b]；rank（A），rank（B）

output：rank（A）=4，rank（B）=4

結(jié)果分析：由于rank（A）=rank（B）=4（未知數(shù)個(gè)數(shù)），因此說明該方程組有唯一解，下面分別利用兩種方法對該方程組進(jìn)行求解。

方法1：應(yīng)用Cramer法則結(jié)合det命令求解，具體程序：

A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；1 1-2-2]；b=[1；2；-1；0]；

x1=det（[b A（:，2）A（:，3）A（:，4）]）/det（A），x2=det（[A（:，1）b A（:，3）A（:，4）]）/det（A）

x3=det（[A（:，1）A（:，2）b A（:，4）]）/det（A），x4=det（[A（:，1）A（:，2）A（:，3）b]）/det（A）

output：x1=2x2=8x3=3x4=2

方法2：應(yīng)用求逆矩陣命令inv（A）求解（X=inv（A）·b）。A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；1 1-2-2]；b=[1；2；-1；0]；X=inv（A）·b

方法3：運(yùn)用左除運(yùn)算符“”求解.

A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；1 1-2-2]；b=[1；2；-1；0]；X=A

（3）非齊次線性方程組解的存在性定理：

若系數(shù)矩陣的秩 （rank（A））=增廣矩陣的秩（rank（B））＜未知數(shù)個(gè)數(shù)，則該方程組有無窮多解。

例4：求解線性方程組

解：輸入MATLAB命令：

A=[2-1-1 1；1 2-1-1；5 5-4-2；0 5-1-3]；b=[1；1；4；1]；B=[A b]；rank（A），rank（B）

output：rank（A）=2，rank（B）=2

從運(yùn)行結(jié)果分析可知，rank（A）=rank（B）=2＜4（未知數(shù)個(gè)數(shù)），說明該線性方程組有無窮多解，下面介紹兩種方法求解該線性方程組。

方法1：調(diào)用rref命令將增廣矩陣化為行最簡形求解，程序如下：

方法2：根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，先運(yùn)用左除運(yùn)算符“”求出原方程組的一個(gè)特解，再調(diào)用null（A′，r′）命令求解對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，最終得到原方程組的通解，具體命令：

四、結(jié)束語

通過將MATLAB軟件引入到方程組求解的教學(xué)中，一方面，可以幫助學(xué)生加深對知識(shí)的理解；另一方面，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，更多的讓學(xué)生參與實(shí)際教學(xué)，從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)的興趣。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的同時(shí)了解MATLAB軟件，并能運(yùn)用MATLAB解決方程組求解的問題，進(jìn)而達(dá)到學(xué)有所用，學(xué)以致用的目的，體現(xiàn)應(yīng)用型本科“應(yīng)用為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生為主導(dǎo)”的特點(diǎn)。

[1]吳贛昌.線性代數(shù)（理工類第四版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

[2]陳懷琛，龔杰明.線性代數(shù)實(shí)踐及MATALB（理工類第四版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2015.

[3]陳永勝，劉洋萍.基于MATLAB求解非齊次線性方程組[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，（10）：1-2.

[4]歐陽異能，楊婷.MATLAB在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014，（10）：113-114.

責(zé)任編輯：張旭周曉華

Linear Algebra Teaching Mode in Application-Oriented University——Based on the Practical Analysis of MATLAB in the Solution of Equations

SUN Jian1,WANG Cui-fang2
（1,2 Tianjin Sino-German Vocational Technical College,Tianjin 300350）

MATLAB is highly praised by the majority of teachers and students for its simple, convenient and practical theory and easy to program.If the software MATLAB is introduced into the teaching of equation solving,on the one hand,it can help students deepen their understanding of knowledge;on the other hand,it can change the traditional way of teaching,make more students participate in the actual teaching,arise the students'enthusiasm and interest in learning,gear their study to practice and apply their knowledge in practice.Therefore,the introduction of MATLAB to linear algebra teaching has become a trend in the curriculum reform of applied linear algebra in universities.

application-oriented university;MATLAB;linear algebra;solution of equations

O151.2-4

A

2095－5537（2015）06－00071－03

2015-10-21

天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院2015校級(jí)教學(xué)改革與建設(shè)項(xiàng)目“線性代數(shù)精品課程建設(shè)的研究與實(shí)踐”（ZDJY2015-20）；天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院2015校級(jí)設(shè)項(xiàng)目“應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)課程建設(shè)探索”（zdkt2015-019）。

1.孫?。?983—），男，漢族，天津市人，天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部講師，碩士。研究方向：偏微分方程，數(shù)學(xué)教學(xué)。2.王翠芳（1981—），女，漢族，天津市人，天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部副教授，碩士。研究方向：數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)教學(xué)。