韋玉球　李春梅　劉立明　任北上

摘要：求解析幾何中的參變量范圍問(wèn)題的題型是高考中的熱門(mén)題型。解析幾何中求參變量范圍問(wèn)題往往將幾何、代數(shù)、三角知識(shí)交叉滲透，具有頗大的挑戰(zhàn)性。參變量范圍問(wèn)題能夠很好地考查學(xué)習(xí)者的綜合數(shù)學(xué)解題能力。這種問(wèn)題涉及知識(shí)點(diǎn)多，而且含參變量的不等式關(guān)系經(jīng)常比較隱蔽難以找出，給解題帶來(lái)諸多困難。本文主要就解析幾何中的參變量范圍問(wèn)題，結(jié)合實(shí)例淺析解析幾何中求解參變量范圍問(wèn)題的策略。

關(guān)鍵詞：解析幾何；參變量范圍；策略

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）13-0180-03

解析幾何是中學(xué)教學(xué)中不可缺少的內(nèi)容，在考查數(shù)學(xué)綜合能力方面起著不可替代的作用。代數(shù)幾何系統(tǒng)的應(yīng)用研究，解析幾何的知識(shí)和方法，使數(shù)形結(jié)合的思想和方法取得了前所未有的進(jìn)展。而解析幾何中經(jīng)常用參變量作為命題的內(nèi)容，近年來(lái)，在高考試題及高考模擬題中求參變量范圍的問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮。高考中解析幾何試題的命制往往以求參變量的取值范圍問(wèn)題為思路設(shè)計(jì)，涉及學(xué)科知識(shí)廣，使得各知識(shí)點(diǎn)交匯于一處，形成了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。因?yàn)檫@些問(wèn)題大部分是高難度的，而且發(fā)現(xiàn)含參變量的不等關(guān)系也是存在一定的難度的，所以給問(wèn)題的解決帶來(lái)了很多困難。通過(guò)對(duì)此課題的深入研究將總結(jié)與歸納出更完善、更全面的解決解析幾何中的參變量范圍問(wèn)題的策略，使學(xué)習(xí)者掌握解決這類(lèi)問(wèn)題的思考途徑，不斷提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、解析幾何中的參變量范圍問(wèn)題

解析幾何中的參變量范圍問(wèn)題涉及廣泛的學(xué)科知識(shí)，例如解析幾何、函數(shù)、不等式、向量、平面幾何等等。參變量就是一個(gè)變量，在不同情況下數(shù)值不同的量，在指定情況下是一個(gè)常數(shù)值，也被稱(chēng)為“參變數(shù)”、“參量”、“參數(shù)”。中學(xué)所涉及到的幾何中的參變量范圍問(wèn)題，就是確定某一個(gè)變量的取值范圍（例如截距、點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、斜率等等），能夠使得問(wèn)題中出現(xiàn)的幾何圖形或者具有某一種幾何特點(diǎn)，或者與數(shù)量存在某種關(guān)系，或者存在某種位置關(guān)系。

二、解析幾何中的參變量范圍問(wèn)題的求解策略

參變量范圍問(wèn)題是一類(lèi)綜合的、應(yīng)用性強(qiáng)而且情景新穎，涉及廣泛學(xué)科知識(shí)的問(wèn)題。通常運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值等來(lái)求解。

1.利用圖形直觀(guān)性尋找不等式關(guān)系求參變量取值范圍。如果題目涉及“點(diǎn)點(diǎn)距”（即圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離）與“點(diǎn)線(xiàn)距”（即圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的距離）之間的關(guān)系，常常利用圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義將它們與離心率聯(lián)系起來(lái)，并借助于圖形的直觀(guān)性來(lái)挖掘隱含的不等關(guān)系。

例1 已知雙曲線(xiàn) - =1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)F 、F ，右準(zhǔn)線(xiàn)l，M是雙曲線(xiàn)右半支上一點(diǎn)，并且有MF 是M到l的距離d與MF 的比例中項(xiàng)，求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍。

分析：如圖1，容易發(fā)現(xiàn)在ΔMF F 中，顯然隱含著不等關(guān)系MF +MF ≥2c.憑借這一關(guān)系建立含有離心率e的不等式，問(wèn)題將很容易被攻破。

解：∵M(jìn)F =d·MF ，

∴ = =e.∴MF =eMF ？搖 ①？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

由雙曲線(xiàn)定義，有MF -MF =2a ②

聯(lián)立①、②，解得，MF = ，MF = .

在ΔMF F中，有MF +MF ≥2c，？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

∴ + ≥2c.即 ≥e，又∵e>1，∴1

（1）容易發(fā)現(xiàn)在ΔMF F 中，MF +MF ≥F F ，如果等號(hào)成立，那么此三角形將變成一條線(xiàn)段，若雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)與點(diǎn)M重合，那么點(diǎn)M在線(xiàn)段F F 上，由此可得∠MF F =∠MF F =0° ，∠F MF =180° ，MF +MF =F F .這由初中的三角形基礎(chǔ)知識(shí)可以推出；（2）此例題的解答過(guò)程，既運(yùn)用了雙曲線(xiàn)的第一定義又運(yùn)用了其第二定義。

2.運(yùn)用題設(shè)中的不等關(guān)系，建立含參變量的不等式求參變量取值范圍。如果知道題目條件中存在不等關(guān)系，那么可以直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于求含參變量的不等關(guān)系；如果題設(shè)中存在不止一個(gè)變量，而且它們之間存在某種關(guān)系，那么已知的變量通常要用所求的參變量來(lái)表示，或者構(gòu)造恰當(dāng)?shù)牟坏仁?，然后通過(guò)求解不等式來(lái)求出參變量的取值范圍。

例2 雙曲線(xiàn) - =1（a>1，b>0）的焦距為2c，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)l的距離之和h≥ c，求雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍。

分析：用含a、b、c的式子表示h，并利用已知“h≥ c”來(lái)求解。

解：由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為 + =1，即bx+ay-ab=0.依據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，且a>1，可得點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)l的距離h = ；同理得點(diǎn)（-1，0）到直線(xiàn)l的距離h = .于是h=h +h = =

？搖由5a ≥2c ，于是5 ≥2e ，即4e -25e +25≤0，解得 ≤e ≤5.又由于e>1，所以e的取值范圍是 ， 。注意對(duì)隱含條件“雙曲線(xiàn)的離心率大于1”。

3.利用幾何不等式或代數(shù)基本不等式構(gòu)造不等式求參變量范圍。

ab≤ ≤ 是最基礎(chǔ)的代數(shù)基本不等式。當(dāng)遇到某些與參變量范圍有關(guān)的題目時(shí)，若解題過(guò)程中需探討形如“a+b”、“ab”、“b +a ”等的式子之間的關(guān)系時(shí)，可以嘗試?yán)没静坏仁胶蛶缀瘟恐g固有的大小關(guān)系來(lái)建立符合題意的含參變量的不等關(guān)系。

例3 設(shè)橢圓 + =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F ，F(xiàn) ，若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使得∠F QF =90°，求此橢圓離心率e的取值范圍。

解析：由∠F QF =90°，可知在△QF F 中，有

QF +QF =F F ①

由橢圓定義，有2a=QF +QF

對(duì)該式兩邊平方，得4a =QF +QF +2QF ·QF ②

由基本不等式，知2QF ·QF ≤QF +QF ？搖 ③

當(dāng)且僅當(dāng)QF =QF ，即b=c= a時(shí)取等號(hào)。

由①②③得4a ≤2（QF +QF ）=2F F =8c ，于是 ≥ ，即e ≥ ，又0

本題還可以利用圖形的幾何特性來(lái)求解。

4.挖掘曲線(xiàn)自身的幾何性質(zhì)，尋找隱含不等式求參變量范圍。解析幾何中的圓錐曲線(xiàn)自身都包含了一些不等關(guān)系。常見(jiàn)的含不等關(guān)系的性質(zhì)有：拋物線(xiàn)離心率等于1，橢圓的離心率大于0而小于1，雙曲線(xiàn)的離心率大于1。而且圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是有一定的取值范圍的。所以可以利用它們的取值范圍建立不等關(guān)系。當(dāng)然有的不等關(guān)系比較隱蔽，因此要用心地分析題中給出的條件及結(jié)論。

（1）利用點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系構(gòu)造不等式求參變量范圍。

點(diǎn)Q（x ，y ）與圓錐曲線(xiàn)方程f（x，y）=0存在三種關(guān)系：若Q在圓錐曲線(xiàn)上，則f（x ，y ）=0；若Q在圓錐曲線(xiàn)內(nèi)，則f（x ，y ）<0；若Q在圓錐曲線(xiàn)外，則f（x ，y ）>0.由此可見(jiàn)，平面內(nèi)曲線(xiàn)與點(diǎn)都滿(mǎn)足一定的關(guān)系。因此可以用這些關(guān)系來(lái)構(gòu)造不等式解題。

例4 若直線(xiàn)y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 + =1總有公共點(diǎn)，則求x的取值范圍。

解析： + =1y=kx+1消去y，

得（m+5k ）x +10kx+5-5m=0

又因?yàn)閙+5k ≠0，因此直線(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn)必須滿(mǎn)足

Δ=（10k） -4（m+5k ）（5-5m）≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)k恒成立，化簡(jiǎn)25mk +5m -5m≥0

又因?yàn)閙>0，得m≥1-5k 對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，因此有m≥1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，因此5>m，因此m的取值范圍是[1，5）.

直線(xiàn)與公共點(diǎn)的問(wèn)題通常都可以轉(zhuǎn)化為方程根的討論。

（2）利用曲線(xiàn)方程中變量的范圍建立不等式求參變量范圍。

圓錐曲線(xiàn)上的坐標(biāo)是有界的，例如橢圓 + =1上的點(diǎn)Q（x，y）滿(mǎn)足-a≤x≤a，-b≤y≤b.于是可以利用有界性構(gòu)造不等式求解。

例5 設(shè)點(diǎn)Q（x ，0）是橢圓 + =1上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，求x 的取值范圍。

分析：要求x 的取值范圍，必須從題目條件中找出含x 的不等關(guān)系，然而題目條件中給出了橢圓上的任意兩點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可以知道橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)必須滿(mǎn)足-4≤x≤4，可以通過(guò)利用這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與x 之間的關(guān)系來(lái)求解。

利用這種方法求參變量范圍的關(guān)鍵是尋找參變量與長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率等之間的關(guān)系（如題中尋找x +x 與x 之間關(guān)系）。

5.運(yùn)用函數(shù)與方程思想，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值求參變量范圍。利用函數(shù)與方程思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值，對(duì)解決解析幾何中的參變量范圍問(wèn)題起著至關(guān)重要的作用。運(yùn)用函數(shù)與方程思想，運(yùn)用判別式（或區(qū)間根原理）建立不等式求參變量范圍，用“方程”來(lái)表示“曲線(xiàn)”是解析幾何的一大特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用方程的思想和方程有實(shí)數(shù)解的條件，就可以找出一個(gè)與討論對(duì)象有關(guān)的不等關(guān)系了。從直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系出發(fā)，當(dāng)題設(shè)中給出的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，可以將直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)結(jié)起來(lái)，消除其中的一個(gè)未知數(shù)，從而化簡(jiǎn)得出只含有一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，就可以運(yùn)用判別式Δ≥0或Δ<0（或者區(qū)間根原理）構(gòu)造出含欲求參變量的不等式，解出參變量范圍。

例6 過(guò)雙曲線(xiàn) - =1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F作雙曲線(xiàn)斜率大于零的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)l垂足為Q，設(shè)l與C的左、右兩支交于A、B兩點(diǎn)，求雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍。

分析：由于直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的左、右兩支交于A、B兩點(diǎn)，因此可以聯(lián)立直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的方程，消除y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，且此方程有兩個(gè)不同符號(hào)的實(shí)根，由此可以建立起與離心率e有關(guān)的含參數(shù)a、b、c所滿(mǎn)足的不等式。

利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式求參變量范圍。當(dāng)遇到與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以考慮從三角函數(shù)的有界性出發(fā)構(gòu)造不等式來(lái)求解。圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程既表明了曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與第三變量之間存在的關(guān)系，使得點(diǎn)的坐標(biāo)表示以及之間的關(guān)聯(lián)簡(jiǎn)潔明了，又為某些問(wèn)題的解決提供了不同的選擇。當(dāng)三角函數(shù)應(yīng)用到直線(xiàn)、圓和圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程時(shí)，可以利用其三角函數(shù)來(lái)化簡(jiǎn)式子，并利用其有界性建立不等式。

例7 雙曲線(xiàn) - =1（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F 、F ，若Q為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且QF =2QF ，求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍。

分析：此例題要考查的內(nèi)容是與雙曲線(xiàn)有關(guān)的性質(zhì)，離心率的求解方法及焦半徑問(wèn)題。利用余弦定理建立起兩個(gè)焦距與焦半徑之間的關(guān)系，然后依據(jù)三角函數(shù)的取值范圍來(lái)構(gòu)造不等式來(lái)求解。

解：設(shè)QF =m，∠F QF =θ（0<θ≤π），若Q在右頂點(diǎn)處，那么θ=π，

e= = = ，

∵-1

本例題也可以運(yùn)用三角形的兩邊之和大于第三邊，及兩邊之差小于第三邊的關(guān)系來(lái)求解。但必須注意的是前面的解法可以取到等號(hào)，因?yàn)槿c(diǎn)可以在同一直線(xiàn)上，也可以運(yùn)用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系。

利用函數(shù)的值域和最值求參變量范圍。有關(guān)參變量取值范圍問(wèn)題，可以通過(guò)恰當(dāng)引入變量（例如點(diǎn)的坐標(biāo)，角，斜率等），構(gòu)造參變量與相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)解析式的特征，通過(guò)變形和轉(zhuǎn)換，運(yùn)用配方法、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識(shí)求出函數(shù)的最值和值域，從而確定參變量范圍。

三、結(jié)束語(yǔ)

求解解析幾何中的參變量范圍問(wèn)題往往運(yùn)用轉(zhuǎn)化和化歸思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解參數(shù)的方程。在某給定范圍內(nèi)有解的問(wèn)題或?qū)ふ翌}設(shè)的約束條件，把問(wèn)題轉(zhuǎn)變成與參變量存在一定關(guān)系的問(wèn)題，再綜合運(yùn)用方程、不等式以及函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)求解參變量的范圍問(wèn)題。注意題中的已知條件，利用題設(shè)條件使欲求參變量與圓錐曲線(xiàn)上的坐標(biāo)或者圓錐曲線(xiàn)的特征參數(shù)建立起聯(lián)系。還需注意平面上的二次曲線(xiàn)自身的范圍以及已知變量的范圍，二次方程有解的條件。

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