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        數(shù)值計(jì)算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及優(yōu)勢(shì)

        2015-12-10 20:29:26文林
        教育教學(xué)論壇 2015年32期
        關(guān)鍵詞:量子力學(xué)數(shù)值計(jì)算諧振子

        文林

        摘要:量子力學(xué)一直以來都是高等物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。為了避免煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo),提高學(xué)生對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,應(yīng)將數(shù)值計(jì)算作為一個(gè)虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)引入到量子力學(xué)的教學(xué)中。

        關(guān)鍵詞:量子力學(xué);數(shù)值計(jì)算;諧振子

        中圖分類號(hào):G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2015)32-0278-02

        一、引言

        量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科,與相對(duì)論一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)[1]。對(duì)于高等院校物理專業(yè)的學(xué)生,量子力學(xué)在基礎(chǔ)課程中占有核心地位。通過學(xué)習(xí)量子力學(xué),可進(jìn)一步將學(xué)生對(duì)客觀物質(zhì)世界的感性認(rèn)識(shí)提升到理性認(rèn)識(shí)。因此,對(duì)于高校量子力學(xué)教師而言,形象、生動(dòng)的課堂教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且還能完善和拓展學(xué)生的物理專業(yè)知識(shí),從而提高學(xué)生的思維水平和培養(yǎng)他們的科研能力。

        對(duì)于大部分初學(xué)者,除了難以理解量子力學(xué)中一些與常理相悖的知識(shí)外,煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)使很多同學(xué)對(duì)量子力學(xué)望而生畏。如果高校教師繼續(xù)沿用傳統(tǒng)的解析推演、口述筆寫的教學(xué)方式,將加大學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的難度。此外,量子力學(xué)的授課內(nèi)容大部分屬于理論知識(shí),受條件的限制,許多高校無法為學(xué)生開設(shè)實(shí)驗(yàn)課程,這使得學(xué)生對(duì)抽象的量子力學(xué)現(xiàn)象缺乏客觀認(rèn)識(shí)。隨著計(jì)算機(jī)的不斷發(fā)展,很多教師將一些數(shù)值計(jì)算引入到了量子力學(xué)教學(xué)中,不僅有效地規(guī)避了煩瑣的數(shù)學(xué)解析推演,而且也能作為量子力學(xué)授課的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái),為學(xué)生形象地展示量子力學(xué)中的一些抽象且難以理解的量子現(xiàn)象和概念[2,3]。因此,為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的難度,提高學(xué)生對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,應(yīng)鼓勵(lì)高校教師將計(jì)算機(jī)及數(shù)值計(jì)算搬進(jìn)量子力學(xué)的教學(xué)課堂。本文將通過具體的一些量子力學(xué)實(shí)例來說明數(shù)值計(jì)算應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過程中的優(yōu)勢(shì)。

        二、數(shù)值計(jì)算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例

        我們將以一維勢(shì)場(chǎng)中單個(gè)粒子的定態(tài)及含時(shí)演化為例來說明數(shù)值計(jì)算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。為了簡(jiǎn)單,我們以Matlab軟件作為數(shù)值計(jì)算的平臺(tái)。

        例1:一維定態(tài)薛定諤方程的數(shù)值計(jì)算

        在量子力學(xué)中,描述單個(gè)粒子在一維勢(shì)場(chǎng)V(x)中運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程如下:

        - +Vxψx=Eψx (1)

        這里我們假設(shè)m=?攸=1。原則上,通過從定態(tài)薛定諤方程中求解出波函數(shù)ψ(x),我們可以知道該粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)中運(yùn)動(dòng)的所有信息。然而,方程(1)是否存在解析解,在很大程度上依賴于勢(shì)場(chǎng)V(x)的具體形式。對(duì)于較為簡(jiǎn)單的勢(shì)場(chǎng),例如大家熟知的無限深勢(shì)阱及諧振子勢(shì)阱,很容易解析求解方程(1)。相反,如果勢(shì)場(chǎng)V(x)的形式比較復(fù)雜,如周期勢(shì)或雙勢(shì)阱,則必須借助于數(shù)值計(jì)算。因此,當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)值計(jì)算求解無限深勢(shì)阱或諧振子勢(shì)阱中的定態(tài)薛定諤方程時(shí),則很容易舉一反三的將其推廣至較為復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng),從而避免了煩瑣的數(shù)學(xué)問題。

        以下是基于Maltab軟件并利用虛時(shí)演化方法所編寫的計(jì)算定態(tài)薛定諤方程的程序:

        clearall

        N=100;x=linspace(-6,6,N+1);dx=x(2)-x(1);dt=0.001;dxdt=dt/dx^2;

        V=0.5*x.^2;%諧振子勢(shì)函數(shù)

        temp=1+dxdt+dt*V;

        psi=rand(1,N+1);%初始波函數(shù)

        psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化波函數(shù)

        psi1=psi;

        for k=1:10000000

        %---------迭代法求解三對(duì)角方程---------

        psi2=zeros(1,N+1);

        for m=1:100000000

        for j=2:N

        psi2(j)=(psi(j)+0.5*dxdt*(psi1(j+1)+psi1(j-1)))/temp(j);

        end

        emax=max(abs(psi2-psi1));psi1=psi2;

        ifemax<1e-8

        break

        end

        end

        psi1=psi1/sqrt(sum(abs(psi1).^2*dx));emax=max(abs(psi-psi1));psi=psi1;

        ifemax<1e-6 %波函數(shù)收斂條件

        break

        end

        end

        作為例子,我們利用上述程序分別計(jì)算出諧振子和雙勢(shì)阱中的基態(tài)解。程圖1(a)中展示了諧振子的基態(tài)解,從中可以看出,數(shù)值計(jì)算的結(jié)果和精確解一致。對(duì)于V (x)= x +ae 的雙勢(shì)阱(這里a為勢(shì)壘高度,b為勢(shì)壘寬度),由于波函數(shù)滿足相同的邊界條件ψ(x→±∞)=0,則只需要將上述程序中的諧振子換成V (x)即可,其基態(tài)波函數(shù)展示在圖1(b)中。從圖1(b)中可以看出,隨著勢(shì)壘高度的增加,粒子穿過勢(shì)壘的幾率越來越低。由此可見,利用數(shù)值計(jì)算能形象地描述粒子在雙勢(shì)阱中的勢(shì)壘貫穿效應(yīng),這降低了學(xué)生對(duì)該現(xiàn)象的理解難度,同時(shí)提高了教師的授課效率。

        例2:一維含時(shí)薛定諤方程的數(shù)值計(jì)算

        在量子力學(xué)中,描述單個(gè)粒子在一維勢(shì)場(chǎng)V(x)中運(yùn)動(dòng)的含時(shí)薛定諤方程如下:

        i =- +V(x)ψ(x,t) (2)

        該方程為二階偏微分方程,對(duì)于一般形式的外勢(shì)V(x)很難嚴(yán)格求解該方程。因此,我們借助時(shí)間劈裂傅立葉譜方法進(jìn)行數(shù)值求解,其Matlab程序代碼如下:

        clearall

        N=200;L=20;dx=L/N;x=(-N/2:N/2-1)*dx;

        K=2*pi/L;k=fftshift(-N/2:N/2-1)*K;

        V=0.5*3*x.^2;

        psi=exp(-(x-2).^2);psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化初始波函數(shù)

        t=linspace(0,10,1001);dt=t(2)-t(1);F=exp(-i*0.5*dt*k.^2/2);

        for j=1:length(t);

        %---------時(shí)間劈裂譜方法求解---------

        psi=ifft(F.*fft(psi));

        psi=exp(-i*V*dt).*psi;

        psi=ifft(F.*fft(psi));

        U(j,:)=psi;

        end

        作為例子,我們分別選取了諧振子勢(shì)阱的基態(tài)波函數(shù)和非基態(tài)波函數(shù)作為時(shí)間演化的初始值。從圖2中可以看到,當(dāng)初始值為基態(tài)波函數(shù)時(shí),波包的構(gòu)型并不會(huì)隨著時(shí)間的演化而發(fā)生形變,這說明粒子處于動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的狀態(tài)。相反,當(dāng)我們將初始波函數(shù)的波包中心稍作挪動(dòng),則隨著時(shí)間的演化,波包將在勢(shì)阱中做周期性振蕩。我們可以讓學(xué)生利用數(shù)值程序證明波包振蕩周期等于諧振子的頻率。此外,如果我們將初始波函數(shù)改為諧振子的激發(fā)態(tài),并在初始時(shí)刻加上一個(gè)較小的擾動(dòng)項(xiàng),則可利用時(shí)間演化程序證明激發(fā)態(tài)在外界的一定擾動(dòng)下而變得動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定。因此,數(shù)值程序?yàn)槲覀兲峁┝蓑?yàn)證理論結(jié)果的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái),有利于學(xué)生對(duì)抽象物理概念的理解。

        三、結(jié)語

        基于Matlab軟件,我們以量子力學(xué)中的定態(tài)和含時(shí)薛定諤方程為例來說明數(shù)值計(jì)算應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過程中的優(yōu)勢(shì)。數(shù)值計(jì)算不僅有效避免了煩瑣的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo),而且也可當(dāng)作理想的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)來形象地展示量子力學(xué)中一些抽象的物理現(xiàn)象。高校教師借助于數(shù)值計(jì)算能拓展學(xué)生的物理專業(yè)知識(shí),提高他們對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)他們利用數(shù)值計(jì)算做一些簡(jiǎn)單的科學(xué)研究。

        參考文獻(xiàn):

        [1]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷I[M].第五版.北京:科學(xué)出版社,2014.

        [2]張杰.吸收介質(zhì)的Mie散射光學(xué)特性研究[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,9(4):53.

        [3]張小偉,趙華.Matlab在量子力學(xué)教學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].科技信息,2013,(24).

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