●王勇強(湖州市教育科學研究中心浙江湖州313000)

平面解析幾何復習要點指津

●王勇強(湖州市教育科學研究中心浙江湖州313000)

1 知識內容

平面解析幾何是17世紀由法國數學家笛卡爾和費馬等數學家創(chuàng)立并發(fā)展，借助于坐標系，把幾何問題轉化為代數問題來研究的一門幾何學分支，是高中數學的核心內容之一.平面解析幾何在高中階段的知識內容主要包含直線與圓、簡單的線性規(guī)劃、圓錐曲線及其綜合問題.

2 命題分析

1)直線與圓、簡單的線性規(guī)劃:這一塊內容是解析幾何的基礎知識，在每年的高考中均有涉及，直接命題時通常考查相關的基本概念和基本公式(如直線的傾斜角與斜率、直線的方程及其應用、2條直線的平行與垂直關系、點到直線的距離公式、圓的方程及其應用、直線與圓的位置、2個圓的位置關系、簡單的線性規(guī)劃問題等);考查時經常會與函數、不等式、三角函數、平面向量等結合，其中還會滲透數形結合、分類討論思想等.

2)圓錐曲線及綜合問題:這一塊內容是平面解析幾何的重點與核心知識，命題主要圍繞著3個方面進行，包括圓錐曲線的定義、標準方程、性質的應用，求曲線的方程，用坐標法解決直線與圓錐曲線的位置關系的綜合問題.近5年的圓錐曲線小題基本上考查了與雙曲線有關的知識如漸近線、離心率，有時也考橢圓、拋物線，在選擇題中的位置比較靠后，屬較難題;解答題的命題主要圍繞后2個方面進行，求曲線方程的問題主要涉及的求解方法有定義法、直接法、交軌法、待定系數法、相關點法、幾何法、參數法等;直線與圓錐曲線的位置關系方面，理科考查的圓錐曲線主要是橢圓(只有2011年的解答題沒有考查橢圓，但在填空題的最后一題考查了橢圓)，偶爾也考拋物線和圓(2011年)，而文科大題則年年考查拋物線.平面解析幾何解答題主要考查坐標法、數形結合以及運用代數方法研究幾何問題這一核心思想，一般來說解題思路清晰，但運算量較大，特別要考查學生的運算求解基本功.

3 典題剖析

(2014年浙江省數學高考理科試題第16題)

分析本題考查求雙曲線離心率的問題，故只需要找到雙曲線標準方程中a，b，c這3個基本量中任意2個的等量關系即可，根據條件易列出關于a，b的等量關系.將該雙曲線的2條漸近線方程分別與x－3y+m=0聯立，求得點A，B的坐標，從而得到AB的中點Q的坐標為

由|PA|=|PB|得PQ與已知直線垂直，故

解得a2=4b2，

例2已知點A(－2，3)在拋物線C:y2=2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為( )

(2014年遼寧省數學高考理科試題第10題)

分析本題考查平面解析幾何中的雙基，涉及直線的方程、拋物線的焦點、準線等基本概念和斜率公式等基本公式，同時考查了求拋物線切線的基本思想方法(方程的思想)和數形結合的基本數學思想等.由點A(－2，3)在拋物線C的準線上，可求得拋物線C的方程，再求出過點A的切線方程及切點B的坐標，從而求出直線的斜率為.故選D.

圖1

注若了解有關阿基米德三角形的特性，則此題只需一步就可完成.如圖1所示，利用阿基米德三角形的特性知，AF⊥BF，可求出直線BF的斜率為.高三復習教學過程中，解完一道好的試題，不要急著結束思考過程，而應對該試題的背景、

源頭、蘊藏的數學本質以及教學價值作進一步的思考，對試題可作一些適當的延伸、拓展和變式.像本題的背景就是阿基米德三角形，可進一步研究該試題中隱含的阿基米德三角形的其他重要結論與性質，用于指導解決類似的問題，從而使問題的求解既快又準.

(2014年浙江省數學高考理科試題第13題)

分析本題考查線性規(guī)劃中含參數的問題和數形結合的思想方法，可用圖解法或代特殊點法(線性目標函數的最優(yōu)解一般在可行域圖形的頂點處取到).先作出可行域.

圖2

解法1取點D的坐標(0，1)，點E的坐標(0，4)，由圖2可得

解法2代特殊點法.由于ax+y的最值只可能在點A，B，C某處取到，故只要滿足

注自從高中數學引入線性規(guī)劃內容以來，相關的問題一直是高考中的熱點，是高考中的必考知識之一.從歷年高考來看，對線性規(guī)劃問題的考查難度一般不大，題型以選擇題、填空題為主.線性規(guī)劃問題對內容的考查主要有根據可行域的圖形求直線的截距、斜率的最值，還有求平面區(qū)域的面積、求點到直線的距離等較易的問題;稍難的則有考查目標函數的取值范圍以及根據目標函數中的取值范圍去逆求約束條件的參變量范圍等問題.對線性規(guī)劃問題的能力考查主要考查學生的畫圖能力、識圖能力，同時對觀察能力、推理及轉化能力提出了較高的要求.對線性規(guī)劃問題的數學思想考查則集中體現在數形結合、運動變化思想、化歸思想以及分類討論思想等.在復習教學中除了要掌握常見的圖解法和代特殊點法，還需提高觀察推理能力和滲透數形結合、轉化化歸以及運動變化等數學思想.

1)求橢圓C的標準方程;

2)若動點P(x0，y0)為橢圓外一點，且點P到橢圓C的2條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

(2014年廣東省數學高考理科試題第20題)

分析本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關系以及動點的軌跡方程，將直線與二次曲線公共點的個數利用Δ的符號進行轉化，計算量較大，涉及了方程思想的靈活應用，充分體現了圓錐曲線的“方程”本性，屬于難題.2014年浙江省數學高考理科試題第21題的考查目標與解題方法與此類似.

代入橢圓C的方程并化簡得

利用Δ=0，得

可求得點P的軌跡方程為x2+y2=13(當從點P所引的2條切線均與坐標軸垂直時，點P的坐標也符合該方程x2+ y2=13).

注根據直線與橢圓的位置關系建立關于斜率k的一元二次方程時，考查了運算求解能力;觀察到k與是一元二次方程的2個實根，考查了轉化與化歸思想的應用;對直線斜率存在性進行討論，考查了分類討論思想的應用.因此在復習過程中，除了要加強運算能力的培養(yǎng)，還需加強一些常見的數學思想(如本題解法中蘊含的轉化與化歸思想、分類討論思想、方程思想)在解析幾何中的滲透，有助于學生形成關于平面解析幾何問題的解題策略.

圖3

例5如圖3，O為坐標原點，橢圓C1:(其中a＞b＞0)的左、右焦點為F1，F2，離心率為e1;雙曲線C2:

1)求C1，C2的方程;

2)過點F1作C1的不垂直y軸的弦AB，M為AB的中點，當直線OM與C2交于點P，Q時，求四邊形APBQ面積的最小值.

(2014年湖南省數學高考理科試題第21題)

分析本題以橢圓、雙曲線為載體，考查圓錐曲線的定義、標準方程、性質的應用以及直線與圓錐曲線位置關系的綜合問題.重點考查了相交弦長、點到直線的距離公式、最值求法以及數形結合、函數方程等數學思想.其中弦長問題一般都是采用設而不求的思想方法，運用根與系數的關系進行整體代入，這是解決弦長問題以及其他直線與二次曲線問題的最基本方法.本題的求解需要考生有較強的化簡、計算、推理論證能力，屬于難題.

第1)小題利用橢圓與雙曲線標準方程中基本量a，b，c之間的關系，由題目中的條件即可得到關于a，b的2個方程，解方程組即可求出a，b的值，得到C1，C2的方程分別是:

第2)小題利用第1)小題所求出的焦點F1的坐標，設出弦AB的直線方程x=my－1，聯立直線與橢圓方程，消去x可得關于y的一元二次方程，再利用根與系數的關系得到點A，B縱坐標之間的和與積，從而得到點M的橫、縱坐標，進而求出直線OM的方程，即為直線PQ的方程，聯立直線PQ與橢圓的方程可求得PQ的弦長.利用點到直線的距離公式得到點A，B到直線PQ的距離表達式，并表示出四邊形QPBQ的面積，利用函數的單調性即可得到四邊形QPBQ面積的最小值為2.

注本題考查的知識內容與思想方法非常樸實與常規(guī)，但樸實中孕育基礎，常規(guī)中彰顯能力.第1)小題考查橢圓與雙曲線標準方程中的基本量，很樸實但卻重視基礎;第2)小題中的最值、范圍問題雖很常規(guī)，但能很好地滲透對函數方程思想和數形結合思想的考查，故一直是高考考查能力的重點，特別是有關焦點弦和中點弦等問題，涉及圓錐曲線的定義、中點公式、根與系數的關系以及點差法、設而不求、整體代入等的重要解題方法，?？汲Ｐ?

解決圓錐曲線中最值、范圍問題要讓學生具備明確的解題意識或策略，其解題的基本意識或策略是建立目標函數或建立不等關系，根據目標函數求最值、范圍，因此這類問題的難點就是如何建立目標函數和不等關系.建立目標函數和不等關系應選用一個合適的變量，其原則是這個變量能夠表達所要解決的問題，可以是直線的斜率、截距、點的坐標等，要根據問題的實際情況處理.明確的解題意識就像大海中的燈塔，能夠引導學生解題思路往哪里走.

例6已知拋物線C:y2=2px(其中p＞0)的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|.當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形.

1)求C的方程.

2)若直線l1∥l，且l1和C有且只有1個公共點E，

①證明:直線AE過定點，并求出定點坐標.

②△ABE的面積是否存在最小值?若存在，求出最小值;若不存在，請說明理由.

(2014年山東省數學高考理科試題第21題)

分析本題以拋物線為載體，在知識方面考查拋物線的定義、性質、直線方程、點到直線的距離、基本不等式及絕對值等基本知識;在能力方面，考查函數思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、方程思想及分析問題、解決問題的能力和運算能力.幾個小問環(huán)環(huán)相扣，最后運用代數基本不等式求最值.本題的立意對高三的解析幾何復習具有非常鮮明的指導意義.

第1)小題利用拋物線的定義求出p=2，故所求拋物線方程為y2=4x.

第2)小題中，①由直線l1∥l且l1和C有且只有1個公共點E，求出含參數的直線AE的方程為

注本題重點考查直線與拋物線的位置關系.在2014年的各地高考中，有關直線與拋物線的位置關系的一個最大熱點就是三角形面積問題，在多地高考卷中出現，并以多種形式，結合不同內容出現，基本上多以求面積定值和最值為主，考查的數學能力較多，與函數、不等式相結合，綜合性強，難度較大，是高考中壓軸的題目.特點是選擇怎樣的方式去求三角形面積，需要合理地選擇底和高，再配合大量的參數運算.本類問題在今后的高考中，還會反復出現，需要更好地把握其基本的解題思想和方法.

眾所周知，平面解析幾何的核心方法是“用代數方法研究幾何問題”，核心思想是“數形結合”，核心要求是“綜合的運算能力”.在高三復習教學過程中如能做到以下3點，定能取得較好的復習效果:

1)要讓學生掌握求解解析幾何問題的5種意識:①幾何條件代數化;②代數運算幾何化;③一般問題特殊化;④最值問題多樣化;⑤去除思維模式化.解題意識的形成要經過“實踐—認識—再實踐—再認識”循環(huán)往復的提高過程，光靠教師的講還不行，一定要讓學生親歷解題過程、體驗和反思.

2)要重視數學思想在解析幾何學習中的滲透，讓數學思想指明解題的方向，指導學生找到解題思路，從而高效地解題.

3)要落實運算教學，爭取避繁就簡.對運算能力有較高要求一直是解析幾何學習最突出的特點，因此，在遵循“設—列—解”的程序化運算的基礎上，力求做到設而不求，在復習教學中努力克服“重分析思路方法、輕視運算”的頑疾，注意利用圓錐曲線的定義和平面幾何知識來化繁為簡，讓學生在動手運算的過程中培養(yǎng)數感，提升數學運算能力.

4 精題集萃

1.在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y－4=0相切，則圓C面積的最小值為( )

3.已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線離心率的倒數之和的最大值為( )

4.已知F是拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的2側，(其中O為坐標原點)，則△ABO與△AFO 面積之和的最小值是______.

5.若F1，F2分別是橢圓E:(其中0＜b＜1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于點A，B.若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E 的方程為_____.

7.點A(1，2)是拋物線C:y2=2px(其中p＞0)上一點，直線l:y=kx+b與拋物線C交于點B，C，若拋物線C的焦點F恰是△ABC的重心，則直線l 的方程是______.

8.已知橢圓C:x2+2y2=4.

1)求橢圓C的離心率;

2)設O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，求直線AB與圓x2+y2=2的位置關系，并證明你的結論.

1)求橢圓C的標準方程.

2)設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=－3上任意一點，過點F作TF的垂線交橢圓C與點P，Q.

①證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點);

10.已知拋物線C:x2=4y，過點M(0，2)任作一直線與C相交于點A，B，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(其中O為坐標原點).

1)證明:動點D在定直線上;

2)作C的任意一條切線l(不含x軸)與直線y=2相交于點N1，與第1)小題中的定直線相交于點N2，證明: |MN2|2－|MN1|2為定值，并求此定值.

參考答案

1.A 2.C 3.A

4.3

7.y=－2x+1

2)①略;②點T的坐標是(－3，1)或(－3，－1).

10.1)點D在定直線y=－2x(其中x≠2)上(證明略).

2)|MN2|2－|MN1|2為定值8(證明略).